基于Cook距離的阻尼多道奇異譜分析分離繞射波

摘要：地震繞射是提升小尺度不規則地質體成像橫向分辨率的重要手段。常規地震記錄中的繞射波會被能量強的反射波掩蓋，因此需要分離出繞射波并成像。阻尼多道奇異譜分析是一種秩約束類的去噪方法，其原理為地震數據經過Hankel變換后做奇異值分解，反射波和繞射波分別對應著數值較大和較小的奇異值。然而該算法依賴人工確定反射波場的秩，不適用于海量地震數據處理。為了克服人工選擇奇異值的問題，提出使用Cook距離作為自動計算反射波場秩的解決方案。將Cook距離和阻尼多道奇異譜分析算法相結合以實現反射和繞射波分離。模擬共炮檢距道集和疊后實際數據實驗表明，該方法能夠有效獲得高質量繞射波場。

關鍵詞：繞射波，分離，秩約束，阻尼多道奇異譜分析，Cook距離

中圖分類號：P631文獻標識碼：A DOI：10.13810/j.cnki.issn.1000?7210.2024.04.010

Damped multichannel singular spectrum analysis for diffraction separation based on the Cook?distance

HUO Weiguang1，2，3，CAO Jingjie1，2，4，CHEN Xue1，2，4，ZHAO Jingtao5，ZHAO Shifeng6，CAI Zhicheng1，2，4

（1.Key Laboratory of Intelligent Detection and Equipment for Underground Space of Beijing?Tianjin?Hebei UrbanAgglomeration，Ministry of Natural Resources，Hebei GEO University，Shijiazhuang，Hebei 050031，China；2.Hebei Key Laboratory of Strategic Critical Mineral Resources，Hebei GEO University，Shijiazhuang，Hebei 050031，China；3.School of Mathematics and Science，Hebei GEO University，Shijiazhuang，Hebei 050031，China；4.School ofEarth Sciences，Hebei GEO University，Shijiazhuang，Hebei 050031，China；5.College of Geoscience andSurveying Engineering，China University of Mining and Technology?Beijing，Beijing 100083，China；6.Geophysical Exploration Team，Hebei CoalField Geology Bureau，Xingtai，Hebei 054000，China）

Abstract：Diffraction seismic exploration is a crucial technique for enhancing the lateral resolution of small?scale geological structure imaging.Diffracted waves in conventional seismic records can be obscured by stronger energy reflected waves，making it necessary to separate these two wavefields for imaging purposes.Damped multi?channel singular spectrum analysis（DMSSA）is a rank?constrained denoising method that sepa?rates wavefields by decomposing the seismic data into a Hankel matrix and performing singular value decomposi?tion.In this process，reflected and diffracted waves correspond to larger and smaller singular values respec?tively.However，this method relies on manually determining the rank of the reflected wavefield，which is im?practical for processing large volumes of seismic data.To address the issue of manual selection，this pa?per proposes using Cook?distance to automatically calculate the rank of the reflected wavefield.By combining Cook?distance with the DMSSA algorithm，this paper achieved effective separation of reflected and dif?fracted waves.Experiments on common?shot gathers and post?stack data demonstrate that this method can suc?cessfully obtain high?quality diffraction wavefields，highlighting the effectiveness of the proposed approach.

Keywords：diffracted wave，separation，rank constraint，damped multi?channel singular spectrum analysis（DMSSA），Cook?distance

霍偉光，曹靜杰，陳雪，等.基于Cook距離的阻尼多道奇異譜分析分離繞射波［J］.石油地球物理勘探，2024，59（4）：771-781.

HUO Weiguang，CAO Jingjie，CHEN Xue，et al.Damped multichannel singular spectrum analysis for diffrac?tions separation based on the Cook-distance［J］.Oil Geophysical Prospecting，2024，59（4）：771-781.

0引言

地震繞射波成像是油氣資源勘探的重要方法之一，在小尺度地質體探測中具有重要應用前景。以塔河油田為例，應用該技術能提取溶洞的“串珠狀”信號，在縫洞型儲層的預測方面獲得了較好的應用效果[1]。除此之外，在其他油氣富集地區也應用繞射波成像解決了斷裂識別[2]和潛山裂縫儲層預測[3]等難題。

繞射波分離是實現繞射波成像的前提。由于繞射波較反射波能量弱1～2個量級[4]，通常掩蓋于反射波場中，現有的做法是通過壓制反射能量以保留繞射波信息。基于Radon變換的繞射波分離方法是一種常用的繞射波分離手段，其主要思想是圖像中的直線變換到Radon域后會在對應位置產生極值，這就期望在特定的道集內反射波呈線性形態且繞射波與之有較大的形態差異。Klokov等[4]在傾角域共成像點道集上利用混合域Radon變換消除反射波、保留繞射波。羅騰騰等[5]提出了應用迭代收縮高分辨率Radon變換的繞射波分離方法，解決了繞射波場分離效果不理想和計算效率低的問題。在共炮檢距道集，Chen等[6]提出了雙稀疏變換繞射波分離法，其做法是利用線性高分辨率Radon變換提取反射信號，通過曲波變換提取繞射信號，從而實現繞射波和反射波的高質量分離。應用Radon變換分離繞射波要求輸入數據具有較高的信噪比，分離結果會受到噪聲的影響。

平面波分解（PWD）也是一種常用的反射和繞射波分離方法。在平面波域反射波、繞射波時距曲線分別呈擬線性和雙曲型，通過PWD濾波器可以單獨提取出繞射信息。朱生旺等[7]在平面波分解剖面上采用預測反演方法分離出低傾角繞射信息，彌補了局部傾角估計的不足；孔雪等[8]利用PWD濾波器關于反射同相軸局部傾角估計表現較好的特性提取繞射波；劉斌等[9]將PWD濾波器應用于傾角域共成像點道集成功分離出繞射波場。在疊后域或共炮檢距域分離繞射波會導致疊前信息丟失，且對數據質量要求嚴苛。Lin等[10]基于PWD工作流程將平面波分解的應用擴展到疊前；Wang等[11]用PWD方法壓制反射波，采用雙稀疏字典法提取繞射波進而提升了繞射信號的信噪比。趙驚濤等[12]提出基于曲波變換和平面波分解的多參數稀疏化繞射分離方法，提升了地震波場相切或相交時分離的繞射波完整性。由于PWD是一種基于波動方程的方法，計算復雜，不便于推廣和實際應用。

近年來基于人工智能的繞射波分離方法逐漸成為新的研究方向。Serfaty等[13]在方位角道集采用主成分分析（PCA）和卷積神經網絡分離和歸類反射波與繞射波；Lowney等[14]采用生成對抗網絡（GAN）由疊前數據分離繞射信息，其運行效率優于傳統PWD方法；Lowney等[15]還提出了多域有監督深度學習方法將地震信號自動分類成反射、繞射和噪聲三部分，該方法具有用時少、比PWD方法計算成本低的優勢，但提取繞射波的表現能力相似；盛同杰等[16]利用基于編碼—解碼框架下的U?net網絡和注意力機制分離繞射波，克服了傳統方法難以去除陡傾角反射波的局限；馬銘等[17]提出基于深度神經網絡（DNN）的復雜異常體繞射波分離技術，通過引入空洞卷積降低算法復雜度并增大感受野，同時引進深度可分離卷積在保持相同特征圖數量的條件下減少運算步驟。由于深度學習中使用的訓練數據大多源自物理或數學模型，以此產生的數據在噪聲、振幅、頻率等方面缺乏多樣性，會導致模型的泛化能力較差。

基于秩約束類的方法也被廣泛用于繞射波分離，其理論基礎來源于地震信號的稀疏性假設——地震道的缺失或數據中的噪聲均會增加矩陣的秩。秩約束類的方法目前可采用兩種手段實現，一種是根據反射波和繞射波的相干性對數據直接做奇異值分解（SVD），反射波對應大的奇異值、繞射波對應于小的奇異值，選擇合適的奇異值個數后再做逆SVD變換，這一方法關鍵步驟在于奇異值的截斷。魏巍等[18]利用奇異值重建了繞射波場，但奇異值序列的截斷是通過試驗或人為給定，結果受主觀因素較多。Chen等[19]提出的基于Cook距離的SVD方法則實現了奇異值自動截斷，奇異值重建繞射波場擺脫了主觀因素的束縛。另一種秩約束方法則是基于多道奇異譜分析（MSSA）類的方法，該類方法先將數據在頻率域內做Hankel變換，再對變換結果做SVD分解并奇異值截斷，可以有效提取數據中的反射波場，通過與原波場相減從而得到繞射波場。

目前MSSA在反射波場提取的應用存在兩方面問題。第一，在反射波去噪應用方面存在分離出的噪聲中有反射能量殘余。Huang等[20]通過引入阻尼因子以抑制反射能量殘留，最終形成了阻尼多道奇異譜分析（DMSSA）算法。第二，無論MSSA或DMSSA算法，提取反射波場都依賴人工試驗以確定秩，這并不適用于大規模地震數據處理，需要解決反射波場秩的自動求解問題。為此朱躍飛等[21]、曹靜杰等[22]分別提出了不同的秩計算方法以滿足自動化處理的需要。Lin等[23]將MSSA算法應用于反射和繞射波分離問題。該類方法分離繞射波要重點關注分離出的繞射波場，對秩的選取精準度提出了更高的要求。

本文采用DMSSA算法在共炮檢距域或疊后域進行繞射波和反射波分離。為了克服DMSSA方法人工選擇秩的問題，本文提出采用Cook距離自動確定奇異值個數，設定Cook閾值為3倍的Cook距離均值并對數據進行分塊處理。通過模擬和實際數據驗證了基于Cook距離的DMSSA算法對于繞射波場分離的有效性和適用性。

1方法原理

1.1 DMSSA算法

DMSSA是MSSA的改進算法，二者在數據處理流程上基本一致。DMSSA分離繞射波的流程如下。

共炮檢距道集時間域二維地震數據可表示為矩陣形式

式中m和n分別為道數和樣點數。

第1步：將時間域地震數據通過Fourier變換到頻率域

S=êS2，1 S2，2 S2，mú（2）

寫成行向量的形式

S=（3）

式中Si為第i個頻率分量，有

第2步：將Si排列成Hankel矩陣形式

式中g=?m/2?+1，其中?·?表示向下取整。矩陣H的維數為g×（m－g+1）。

第3步：對矩陣H做SVD分解，即

H=U 0（Σ）0（0）VH=UR VH（6）

式中：上標“H”表示共軛轉置；U是H左奇異向量矩陣，為g階正交方陣；V是H右奇異向量矩陣，為m－g+1階正交方陣；Σ是一對角陣，即

Σ=diag（σ1，σ2，…，σr）（7）

其中：r為H的秩；σj為H的第j個奇異值，且

σ1≥σ2≥…≥σrgt;0（8）

能量強的反射波通常對應著數值較大的奇異值，能量弱的繞射波通常對應著數值較小的奇異值。

第4步：加入阻尼算子D削弱反射波對繞射信號的影響

H=U DΣ）0（0）VH（9）

阻尼算子作用于對角矩陣Σ，Σ的第i個對角元素變為

D（σi）=σi-（10）

式中：K為阻尼因子；N表示待保留的反射波奇異值的個數。

第5步：截斷奇異值（TSVD）——只保留反射波所對應的奇異值部分。式（9）還可以表示為

H=[U r Ud]D（0Σr）D（Σ（0）d）Vd（Vr）H（H）（11）

式中上標“r、d”分別代表反射波和繞射波。令D（Σd）=0，即為截斷奇異值。

第6步：TSVD后的數據按照Hankel矩陣的構造方式還原成初始形態。

第7步：將所有頻率域的數據逆Fourier變換到時間域并構成了反射波場sr，用原始波場減去反射波場即為繞射波場

sd=s-sr（12）

1.2奇異值曲線的性質

TSVD的目的是為了截取反射波所對應的奇異值，從而將式（9）中反射與繞射波分別變換到彼此正交的子空間。在引入Cook距離之前，需要了解奇異值曲線的特征。式（8）中的奇異值序列按大小可以劃分成Xr和Xd兩部分

X r={σ1，σ2，…，σN}（13）

Xd={σN+1，σN+2，…，σr}（14）

Xr包含的元素數值較大，個數占比較小。Xd是數值較小的繞射波奇異值序列。因繞射波的能量遠低于反射波能量，該部分元素個數占整個奇異值序列的大多數。在理想狀態下，反射波奇異值的個數和原始數據中反射波同相軸的條數相匹配[24]，基于該假設，繞射波和反射波的分離問題就轉換為反射波奇異值個數的判定問題。

1.3基于Cook距離分離繞射波

Cook[25]將學生化（Studentized）殘差和殘差的方差估計結合起來構成新的評價指標以增強線性回歸模型評價的可靠性。利用Cook距離確定反射波奇異值個數的原理如下。

對于一個給定的線性回歸模型

y=xβ+ε（15）

式中：y為q維列向量，表示待預測向量；x是q×p維已知滿秩矩陣，是線性回歸模型的自變量；β是p維列向量，包含模型的回歸系數；ε是期望值為0的隨機誤差向量。參數β的最小二乘估計為

β（?）=（x T x）-1 x T y

則估計殘差為

e=y-y（?）=y-xβ（?）=I-x（x T x）-1 xT y（17）

模型的均方誤差為

E 2=e T e/（q-p）（18）

記β（?）（-i）為β移去第i個點的最小二乘估計，并定義第i個觀測值的Cook距離di為

Cook距離的含義是衡量刪除第i個觀測值對整個線性回歸模型的影響，第i個觀測值越突出，di就越大，從而越有可能作為回歸模型中的異常值。進一步地說，需要設置合理的Cook距離閾值判定di是否異常。現有的文獻對Cook距離閾值并未形成統一的觀點。Cook[25]將閾值確定為一個F分布——F（1-α，p，q-p）。該分布的顯著性水平為α，自由度分別為p和q?p。為了適應實際需要，提出了基于經驗法則的Cook距離閾值方案：Algur等[26]將閾值設定為4/q；也有觀點采用4/（q?k?1）作為Cook距離閾值，其中k是自變量個數；此外還有將1、3倍Cook距離均值[27]或4倍Cook距離均值[28]作為閾值。需要強調的是，Cook距離閾值方案的選擇影響奇異值個數的確定。

Hankel矩陣（式（5））奇異值分解得到奇異值序列（式（7））作為觀測數據構成（y，x），其中y=（σ1，σ2，…，σr）T。由線性回歸模型y=xβ+ε得到一條擬合直線，通過擬合直線檢查觀測（y，x）中的異常值。

式（13）和式（14）指出奇異值序列可分成Xr和Xd兩個部分。由于反射地震信號的稀疏性，反射波奇異值的個數只占少數，故Xr與擬合直線間會存在較大的殘差，會對線性回歸模型的參數估計產生較大的影響，反映到Cook距離就表現為di較大。在設定閾值T之后，滿足digt;T的σi就成為了（y，x）的異常值。式（10）中待求的參數N為y中滿足digt;T的觀測總數。

本文采用3倍Cook距離均值作為閾值的方案。該閾值的定義為

T=3

2數值實驗

應用單斷層模型和多斷層模型模擬數據驗證本文方法的繞射波分離有效性。

圖1是用主頻為30 Hz的Ricker子波通過單程波動方程正演模擬的單斷層模型的共炮檢距道集，共360道、1200個樣點，采樣間隔為1 ms，包含2條線性同相軸及斷點繞射。能量較強的反射波同相軸為圖中明亮的直線，能量較弱的繞射波同相軸為較暗的擬雙曲線。

在信號有效頻帶1～100 Hz的每個頻率上，Cook距離檢測出來的反射波奇異值個數如圖2的散點圖所示，最大值為4（紅色箭頭所示）。將1～100 Hz頻率段的反射波奇異值個數設置為4并完成奇異值截斷。圖3和圖4分別是本文算法針對該模型分離出的反射波場和繞射波場。分離后的反射波場中已觀察不到擬雙曲線的繞射波，繞射波場中也不存在能量強的反射波，且雙曲型的繞射波同相軸清晰。在圖3、圖4邊緣處存在能量極弱的同相軸，為波場分離時產生的輕微假象，不會影響對反射波和繞射波的判斷。

圖5～圖7分別是圖1、圖3和圖4的深度偏移成像結果。偏移后的反射波波場（圖6）同相軸清晰，繞射波經過偏移處理后收斂歸位（圖7紅色箭頭所示），繞射點清晰地刻畫了反射界面的邊緣，揭示了斷層所在位置。

圖8是主頻為20 Hz的Ricker子波通過單程波動方程正演模擬的多斷層模型的共炮檢距道集，共650道，每道2048個樣點，采樣間隔為1 ms，包含14條反射同相軸、3條斷層的斷點繞射及4個繞射點的繞射。直線為反射波同相軸，擬雙曲線為繞射波同相軸。Cook距離在該模型的信號有效頻帶1～70 Hz內每個頻率上檢測出的反射波奇異值個數如圖9所示，紅色箭頭所指處為奇異值個數的最大值，即13個。在1～70 Hz頻段上設定反射波奇異值個數為13，完成奇異值截斷。圖10為本文算法分離出的反射波場，同相軸清晰，波場中殘余的繞射能量水平較低。圖11是分離的繞射波場，同相軸完整，沒有反射能量殘留。圖12～圖14分別為圖8、圖10和圖11的深度偏移成像結果。反射波偏移結果同相軸清晰，準確刻畫了界面位置。在繞射波偏移結果中，斷點繞射波收斂，清晰地刻畫了反射界面的邊緣（圖14紅色箭頭所指），揭示了斷層位置；四個繞射點同樣收斂到真實位置（圖14中紅色圓圈處），與全波場偏移結果相近。

3實際數據處理

疊后實際數據來源于日本南海海槽俯沖帶（Madagascar軟件的開源數據），圖15截取了該數據中深水NT62?8二維測線[29]的一部分，共400道。由于實際數據較復雜，在分離反射和繞射波時采用分塊處理的方式，經過多次實驗確定的塊的大小為12樣點×24道。實際數據的頻帶為1～124 Hz，在該頻段內由Cook距離識別出一個數據塊的反射波奇異值個數由圖16所示，紅色箭頭所指處標明奇異值個數的最大值為3（奇異值的個數與分塊的橫向尺寸有關），從而每個頻率上保留3個反射波奇異值，同時將全部數據塊內的奇異值均設置為3。實際數據的復雜程度遠比模擬數據高，特別是圖15中6.0～6.5 s存在大量的反射波和繞射波，二者均呈擬雙曲線型態，對算法的分離能力提出了更高的要求。圖17和圖18是本文算法從疊后實際數據中分離出的反射波場和繞射波場。圖19～圖21分別為圖15、圖17和圖18的疊后時間偏移成像結果。

圖17分離出的反射波在7.2 s處的水平同相軸清晰可見。圖18中基本只含能量弱的繞射波，反射波基本被消除，僅有少量的反射能量殘留。偏移處理后的反射波場中同相軸清晰且連續（圖20），但斷層處清晰度較全波場偏移結果有所下降（對比圖19和圖20紅色方框處）。繞射波偏移結果凸顯了斷層所在位置（圖21）。對全波場、反射波場和繞射波場偏移結果在三條斷層處進行放大對比，如圖22所示，可以發現，繞射波偏移結果中斷層位置更突出、刻畫得更清晰，體現了繞射波對不連續地質體成像分辨率更高的優勢。

綜合以上分析可知，本文算法可以有效地從全波場數據中分離出反射波場和繞射波場。實驗結果表明，分離出的繞射波場經過偏移后給予了斷層、繞射點等小尺度地質異常體充足的照明度，獲得了更加精細的成像結果。

4討論

地震數據中一般會含有噪聲，包括相干噪聲和隨機噪聲。本文的方法將較大的奇異值對應成反射波，較小的奇異值對應成繞射波，因此在分離前需要消除相干和隨機噪聲。

阻尼因子的取值對于本文的分離結果有一定的影響。在數值實驗中，處理不同的數據時使用的阻尼因子各不相同。阻尼效果在因子取值為1時最強，數值遠離1時效果逐漸減弱，本文在處理過程中所獲得的經驗是通過試驗的方式選擇比1稍大的數值，才有可能獲得良好的反射、繞射分離結果。

5結論

傳統的MSSA繞射和反射波分離算法，其核心原理在于反射地震信號的低秩特性，通過截斷反射波奇異值以實現波場分離。這種方法分離出的繞射波場中存在反射能量殘留的現象，并且算法在計算過程中，奇異值的截斷需要人工調參，不能適應大規模數據計算的需求。為此，本文采用MSSA的改進算法DMSSA作為繞射和反射波分離的框架，引入了阻尼因子以提升分離效果。為了解決反射波奇異值自動截斷問題，本文采用Cook距離作為反射波奇異值識別的方法，并將這一方法嵌入到DMSSA框架中以實現自動分離繞射波場和反射波場。模擬和實際數據結果表明，使用本文方法提取的繞射波能清晰刻畫諸如斷層、繞射點等小尺度地質體。

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（本文編輯：宜明理）

作者簡介

霍偉光碩士研究生，1998年生；2020年獲河北地質大學數學與應用數學專業學士學位；現在河北地質大學攻讀應用數學專業學術碩士學位，主要從事地球物理信號處理方面的學習和研究。