構造全等三角形解答平面幾何問題的方法

【摘要】全等三角形問題是中考題中比較靈活多變的一類問題，仔細分析，可發現其背后的解題本質都是一樣的.新的題型中往往蘊含著一些常見的全等三角形模型.因此，掌握一些基本的模型是極其重要的.本文依據幾道例題談構造全等三角形的幾種技巧，以供讀者參考.

【關鍵詞】初中數學；全等三角形；解題技巧

1 倍長中線法

倍長中線法是構造全等三角形的常用方法，可以得到對頂角相等和要證明全等的兩個三角形的對應邊長相等，再結合題目的已知條件，就可以證明三角形全等，繼而利用全等三角形的性質來解答問題.

例1 如圖1所示，CE，CB分別是△ABC和△ADC的中線，且滿足∠ACB=∠ABC，試證明：CD=2CE.

證明 過點B作BF∥AC，與CE的延長線交于點F.

因為點E是AB的中點，

所以AE=EB.

因為BF∥AC，

則∠CAE=∠FBE.

因為對頂角相等，

所以∠AEC=∠BEF，

則可得△ACE≌△BFE，因為全等三角形對應邊相等，

則CE=EF，AC=BF，

即CF=2CE.

因為∠ACB=∠ABC，在三角形中等角對等邊，

則AC=AB.

結合點B是AD的中點可得AC=AB=BD=BF，

利用三角形外角的性質可得∠CBF=∠CBD，

則△CBF≌△CBD.

因為全等三角形對應邊相等，

則CD=CF，CF=2CE，

則CD=2CE.

2 旋轉法

運用一些中心對稱圖形的性質，把圖形旋轉一定角度可以構造出全等三角形.旋轉的作用是將題目中原本分散的條件集中起來，這樣就可以在題目條件和證明結論之間建立起聯系，便于利用全等三角形.

例2 平面中有一正方形ABCD，其中∠FAE=45°，試證明EF=DF+BE.

證明 如圖2所示，將△ADF繞點A旋轉90°到△ABG的位置，

則GB=FD，AF=AG.

因為四邊形ABCD是正方形，

則∠ABG=∠D=90°，AB=AD.

因為△ADF≌△ABG，

所以AG=AF，∠GAB=∠FAD.

又因為∠BAD=90°，∠FAE=45°，

則∠BAE+∠DAF=45°.

所以∠GAB+∠BAE=45°，

即∠GAE=45°，

所以∠GAE=∠FAE.

又因為AE=AE，

所以△AEG≌△AEF.

所以EF=EG=BE+GB=DF+BE.

3 對稱法

三角形問題中經常會利用角平分線作為對稱軸，沿著角平分線翻折，即可得到全等三角形.在翻折的過程中，為了便于作出翻折之后的圖象，可以利用角度或者邊長來作為翻折后圖象的基準量.

例3 在平面中有一△BCG，其中BM為∠CBG的角平分線，點D，S分別是邊BC，BG上的一點，∠DMS+∠CBG=180°，試證明：MD=MS.

證明 在線段BC上截取BH=BS，連接HM.得到如圖3所示的圖象.

因為BM為∠CBG的角平分線，

則∠HBM=∠SBM.

所以相當于將△BSM沿著BM對稱得到了△BHM.

則△BMS≌△BMH，

所以MS=MH，∠BHM=∠BSM.

因為∠DMS+∠CBG=180°，

所以在四邊形BDMS中，

∠BDM+∠BSM=180°.

因為∠BHM+∠DHM=180°，

則可得MD=HM，從而證明MD=MS.

4 平移法

利用平行線來平移一些線段或者是角，可以和旋轉法一樣使條件相對集中，從而構造出全等三角形.在構造平行線時，要抓住題目中的關鍵幾何量，如果有中線、角平分線等重要的幾何線，可以嘗試作它們的平行線.

例4 如圖4所示，△ABC為等邊三角形，延長BC到點D，延長BA到點E，使AE=BD，連接DE，CE，試證明：DE=CE.

證明 過點D作DF∥AC交AE于點F，

則∠BFD=∠BAC.

因為△ABC為等邊三角形，

所以AB=AC，∠BAC=∠B=60°.

則∠BFD=60°，△BFD為等邊三角形，

所以BF=BD=DF.

因為AE=BD，

所以AE=DF，AE=BF.

則EF=AB，AC=EF.

因為∠EFD=∠CAE，

所以△EAC≌△DFE，

則DE=CE.

5 結語

在解題時，構造全等三角形并不是毫無方向的，而是要以題目所求結論為目標，嘗試對三角形進行操作，從而實現條件的位置轉移.掌握以上四種方法有助于更快地找到解題思路，提高解題效率.