深挖教材“思考”，提高教學有效性

【摘要】中共中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》指出，教育評價事關教育發展方向，有什么樣的評價指揮棒，就有什么樣的辦學導向.作為一線教師，要摸透怎么考、考什么，以考促教、以考促學，將課程標準融合于教、學、評過程中.數學教材是教師在實施數學教學過程中最重要的媒介，在日常教學工作中教師要學會深挖教材，對教材中的內容進一步探究、思考、合理拓展，提高學生學習知識的深度.讓教師的教、學生的學和教與學的考核評價更加統一，達到一致性，從而提高課堂的有效性.在高中數學新教材中，專門設置的“思考”環節恰好具有這樣的作用.

【關鍵詞】高中數學；課堂教學；教學評

考試是考驗教學效果的最佳手段，評價的最高境界是教、學、評高度一致.教師的日?；顒佣家越獭W、評一致性為準繩開展.眾所周知，教材是我們教師開展教學工作最主要的依據，同時也是學生學習學科知識最重要的載體.《普通高中新課程標準（2017版2020年修訂）》提出，教材編寫要體現知識的自然生成過程，促進學生的自主探究，體現相關內容的相互聯系，幫助學生全面理解和認識數學[1].高中數學新教材設置了豐富多樣的“思考”，在教師的指導下，讓學生圍繞這些“思考”，積極主動學習，不斷嘗試體驗，獲得成功的喜悅，與新課程精神高度契合，以提高學生的數學核心素養為目標.本文主要探討“思考”欄目的作用，并提出“思考”欄目需要站在學科體系之上，如何實施“思考”的教學方法的案例.

1 高中數學新教材中“思考”的作用

教材中的“思考”為日常教學工作提供了思維教學活動的素材，強調“以學為主”，使學生在思維操作中圍繞主題開展活動，主動解決問題，獲取知識[1].從而培養學生的數學核心素養，“思考”并不是可有可無的部分，而是穿插于正文中的重要環節，與相關內容進行整合，體現了學習目標、學習活動的一致性，是教材整體中不可分割的一部分.

1.1 通過“思考”，引導學生自主思考，培養學生數學建模的能力

就高中數學教材“思考”來說，涉及的內容有一定難度，與課本基本知識相比，這部分內容具有一定的啟發性、實踐性.數學作為一門理解性很強的學科，經常有一些難度較大、比較復雜的問題，那么老師怎么幫助學生來解決呢？情境創設是一種非常重要的方法.通過情境創設，可以化抽象為具體，提供思考的方向.從而提高學生數學建模、數學抽象的能力.情境創設的途徑有很多種，當然可以利用書本現成的“思考”為出發點，為學生創設相應的問題情境，鼓勵學生積極參與開動腦筋全身心思考數學問題，解決數學問題.

又如，必修二第十章“概率”10.1.1中的“思考”：體育彩票搖獎中，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼.這個隨機試驗共有多少種可能的結果？如何表示這種結果？這樣設置的情境，都是利用了學生在生活中可以碰到的感興趣的事物，激發了學生自主學習的興趣，讓學生體會到數學來源于生活，并服務于生活，為他們的思考指明了方向，同時也引入了新課.

1.2 借助“思考”環節，調動學生數學學習興趣，培養學生直觀想象和數學歸納能力

學習是需要主動去做的事情，只有學生愿意主動學習，才能獲得較好的效果.教師可以借助新教材中的“思考”，挖掘學生的求知欲，另外，老師也可以轉變教學思維，將課本中的“思考”和一些趣味性知識、數學文化等結合起來，以此來吸引學生，激發他們的學習興趣[2].

例如 在教材必修二第八章“立體幾何初步”一章中，內容抽象難懂，學生不容易接受，教材設置了很多基于實際生活的“思考”，比如8.4.1中的思考，“把三角板的一個角立在課桌桌面上，三角板所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點呢？”引入面面相交的基本事實.又如8.6.3中的思考：在日常生活中，我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？受此啟發，你認為應該怎樣刻畫二面角的大小呢？這樣的“思考”來源于生活，很容易引起學生學習的興趣.

1.3 借助“思考”，建立新舊知識銜接，完善學生知識的結構體系

任何一個新知識的生成必須是自然的，不能直接硬塞給學生.新教材中“思考”的種類很多，有些是總結性的，有的是探究性的，有些是銜接性的.

例如 必修第二冊第八章8.3.2“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積”一節中設置了這樣一個思考欄目：小學的時候我們學習了圓的面積公式，你還記得是如何推導得出的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？這個“思考”起到了知識銜接和類比的作用，有了圓面積公式的推導方法：分割→近似代替→由近似和轉化為圓面積，學生很容易想到用類似的方法得到球的體積公式.

2 “思考”欄目的教學方法舉例

例如 以人教A版（2019版）選擇性必修第二冊第五章“一元函數的導數及其應用”中的“函數的單調性”中的思考——“請同學們回顧一下函數單調性的定義，并思考在某個區間上單調的函數y=f（x）的平均變化率的幾何意義與f′（x）的正負的關系.”

課本給出了函數f（x）的單調性和導數f′（x）的正負之間的關系，但并沒有證明.對于函數的單調性，學生已有的認知基礎是高一已經學過的函數的定義，對于新知識，最好的探究方法是利用已有知識自然生成，課本中安排這一“思考”，目的就是啟發學生從一般意義上理解單調性與導數之間的聯系，掌握利用導數的正負來判斷函數單調性的方法.在選擇性必修課程中，對拉格朗日中值定理的學習并沒有要求，所以在教學中要讓學生理解函數的單調性與導數符號之間的關系，需要從函數單調性的定義、導數的幾何意義以及幾何直觀著手.

若函數y=f（x）在區間（a，b）內的導數f′（x）>0，下面說明y=f（x）在區間（a，b）內單調遞增.

下面是學生為主體的探究過程.

（1）式的幾何意義是經過點Ax1，f（x1），Bx2，f（x2）的割線AB的斜率.

下面是筆者的具體教學過程和方法，也是一次嘗試.

問題2 我們知道平均變化率的幾何意義是割線的斜率，導數的幾何意義是切線的斜率，請同學們思考如何將斜率相同的割線和切線建立聯系？

因為有斜率提示，學生很容易想到平移的方法.

由于f（x）在區間a，b內處處有導數，所以函數y=f（x）的圖象在區間a，b內處處有切線.

b）內的導數f′（x）為負，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內單調遞增.

問題3 函數y=f（x）在區間（a，b）內單調遞增，能否推出f′（x）>0成立？

舉反例如下：y=x3，x∈（－2，2），單調遞增，f′（0）=0.

問題4 我們知道，函數的單調性與導數的正負有著密切的聯系，在推導過程中，同學們能得到怎樣的結論呢？

高考題來源于課本而又高于課本，那么在平時的教學過程中教師要試著提高課本中知識的高度，適當拓展.而課本中的“思考”恰恰具有很好的探究性.探究型“思考”欄目的作用是促進思考、加深理解，具有催化劑的作用.教師應引導學生從“思考”欄目中推導出的拓展性結論將提高學生的解題能力，在考試中用更短的時間得到更多分數.

在歷年高考數學試題中，經常碰到一些題目，雖然可以利用中學的數學知識解決，但是有時過程繁瑣，這些題在高等數學往往能找到相關的“影子”，也就是所謂的“高觀點”試題，這樣的試題以高等數學知識為背景，體現高等數學中常用的知識方法[3].下面舉例說明拉格朗日中值定理在高考導數問題中的妙用.

例題 （2007年高考全國卷Ⅰ第20題）設函數f（x）=ex－e－x，

（1）證明：f（x）的導數f′（x）≥2；

（2）若對所有x≥0，都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解析 （1）略.

（2）此題學生容易想到分離參數法，但分離之后的函數用高中知識很難求出最小值，所以得尋找另外的方法.

方法1 令g（x）=ex－e－x－ax，

則g′（x）=ex+e－x－a，

令g′（x）=ex+e－x－a=0，

（1）若a≤2，當x>0時，

g′（x）=ex+e－x－a>2－a≥0，故g（x）在0，+∞上為增函數，所以x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

函數g（x）=ex－e－x－ax在0，x1上單調遞減，所以x∈0，x1時，g（x）<g（0）=0，即f（x）<ax，與題設f（x）≥ax相矛盾.

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是-∞，2.

點評 該種解法突破口是構造新的函數，難點是學生不容易想到如何把參數a進行分類討論，這也是平時導數教學中的難點問題.

方法2 當x>0時，

所以a的取值范圍是-∞，2.

由此也可以向學生介紹拉格朗日的生平及貢獻，讓學生了解數學史，提高學生對數學的興趣和數學素養.

3 結語

高中數學教材以“探究”和“思考”串起新知識，“探究”側重于特殊例子的探究或者從特例探究出一般性的結論，“探究”相當于架起一座從已知知識生成新知識的橋梁.“思考”更側重于知識的深化和拓展.“思考”內容中承載著豐富的知識點，同時這些知識點比基礎知識內容更加深奧，具有探索性的開拓.因此，數學老師要重視“思考”內容的教學，用好“思考”，發揮“思考”的最大作用，由此鍛煉學生的思維能力和水平，真正體現出數學的價值，提高學生的數學學習能力和水平，增強高中數學教學課堂的有效性.

參考文獻：

[1]黃軼，孫露薇.品味高中數學教材的“思考”欄目——以蘇教版為例[J]數學教學通訊，2015（33）：4-5.

[2]人民教育出版社，中學數學課程教材研究開發中心[M]北京：人民教育出版社，2007.

[3]吳旻玲.高考中的拉格朗日中值定理[J]中學教研（數學版），2012（07）：44-46.