淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想

【摘要】數(shù)學(xué)是研究空間關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科.數(shù)形結(jié)合思想強調(diào)分析空間和數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系，兩相結(jié)合尋找解題思路，巧妙解決問題.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生多角度探究數(shù)學(xué)問題，在解題中增強學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)自信，激發(fā)學(xué)生參與探究數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)熱情，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式提供優(yōu)勢方法.本文提出以形助數(shù)、以數(shù)助形、精選例題等策略，以期為數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透提供一定的可用參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題策略

新課標(biāo)明確指出：“數(shù)學(xué)教育要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界.”數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系和空間形式兩方面入手解決問題，拓展學(xué)生分析問題的思路，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)知識提供助力.現(xiàn)階段學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)畫圖不準(zhǔn)確、難以把握數(shù)形轉(zhuǎn)換關(guān)鍵節(jié)點等問題，影響了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的發(fā)展.為此，教師必須從高中數(shù)學(xué)實際情況入手分析數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式，使數(shù)形結(jié)合思想融入學(xué)生思維認(rèn)知之中，成為學(xué)生成長發(fā)展的有力支持.

1 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的意義

1.1 深入理解數(shù)學(xué)公式

高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)難度較大，公式概念數(shù)量較多且抽象性強，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中教師為追求教學(xué)進(jìn)度，經(jīng)常會出現(xiàn)強制要求學(xué)生機(jī)械記憶數(shù)學(xué)概念與公式的情況，會背而非會用，了解而不理解的學(xué)習(xí)狀態(tài)導(dǎo)致學(xué)生難以深入理解概念和公式的內(nèi)涵，不利于學(xué)生的成長.為幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念與公式，使學(xué)生具備自主分析問題、理解問題、解決問題的能力，教師將數(shù)形結(jié)合思想融入數(shù)學(xué)公式之中，利用圖形直觀地表達(dá)公式的內(nèi)涵，深化學(xué)生對數(shù)字變化規(guī)律的理解，為學(xué)生準(zhǔn)確、牢固地記憶數(shù)學(xué)公式奠定基礎(chǔ)[1].

1.2 提高數(shù)學(xué)解題能力

高中數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜，數(shù)字關(guān)系較為抽象，學(xué)習(xí)理解難度較大，圖形連環(huán)嵌套，邊角關(guān)系繁復(fù)，如何從眾多的問題條件之中發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵是保證解題效率和解題質(zhì)量的關(guān)鍵.數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換，為學(xué)生提供了全新的解題思路，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識具有重要的促進(jìn)作用.數(shù)形轉(zhuǎn)換思想應(yīng)用于計算題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形和圖象，幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)和考查要點.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于幾何題，將圖形邊、角、面關(guān)系抽象為數(shù)字關(guān)系，分析數(shù)字關(guān)系探索解題要點，提升學(xué)生的解題能力和知識應(yīng)用能力，助力學(xué)生成長.

1.3 提高數(shù)學(xué)思維能力

現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為主要教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，推動抽象數(shù)學(xué)概念與圖形和圖象相互轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化中發(fā)現(xiàn)問題隱藏的條件和解題規(guī)律，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，形成用數(shù)學(xué)化的思維方式分析問題的習(xí)慣，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).此外，數(shù)形結(jié)合思想引入高中數(shù)學(xué)課堂，對學(xué)生觀察力、想象力和分析能力的發(fā)展同樣具有一定的促進(jìn)作用，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.

1.4 提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

建立以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)課堂已經(jīng)成為現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教師的共識.高中數(shù)學(xué)知識復(fù)雜難懂，單純死記硬背和刷題難以使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，且這種教學(xué)方式會極大地?fù)p傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不利于學(xué)生未來的學(xué)習(xí)發(fā)展.數(shù)形轉(zhuǎn)換思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)活動，利用圖形的直觀性幫助學(xué)生理解數(shù)字之間復(fù)雜的關(guān)系，利用數(shù)字關(guān)系探索圖形邊角關(guān)系，多視角看待問題，有效降低數(shù)學(xué)知識的理解難度和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥感，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的趣味性以及數(shù)學(xué)本身的魅力，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的好奇心和探索欲，強化學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在驅(qū)動力，助力學(xué)生成長[2].

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略

2.1 以形助數(shù)，抽象內(nèi)容具象化

數(shù)字關(guān)系抽象難懂，圖形天然具備直觀性和形象性特征，為此教師可運用以形助數(shù)思想，將數(shù)學(xué)公式、概念轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形，用圖形表達(dá)抽象化的數(shù)學(xué)關(guān)系，借助圖形的直觀性闡釋抽象的數(shù)學(xué)概念，組織學(xué)生自主觀察、討論圖形中蘊含的數(shù)學(xué)思想，以學(xué)生為主體自主探究數(shù)學(xué)知識，助力學(xué)生成長.

結(jié)合以形助數(shù)思想構(gòu)建以學(xué)生為主體的探究性數(shù)學(xué)課堂，關(guān)鍵在于如何將數(shù)字關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，為此教師在課上引入小組合作討論教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生以小組討論形式分析數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化過程，自主探究數(shù)形內(nèi)在聯(lián)系，深化學(xué)生對所學(xué)知識的記憶印象的同時，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的能力，助力學(xué)生成長[3].

例如 以人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊第一章“集合與常用邏輯用語”為例，為讓學(xué)生了解集合之間包含與相等的含義，識別給定集合的子集，理解子集、真子集、空集的概念，教師在導(dǎo)入階段設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生思考：“實數(shù)有相等，大小關(guān)系，集合之間是否也存在類似的關(guān)系呢？”教師將學(xué)生分為多個學(xué)習(xí)小組，引導(dǎo)各組學(xué)生觀察下列集合，思考集合元素的內(nèi)在聯(lián)系，A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，C=7，8，9，D=1，2，11，15，此時學(xué)生對集合元素的關(guān)系有一定了解，但認(rèn)識尚不清晰，為此教師引入維恩圖，在黑板上繪制四組封閉曲線圖，假設(shè)一組封閉曲線圖代表一種集合元素關(guān)系，思考圖形對應(yīng)的集合.學(xué)生以小組為單位討論圖形含義，集思廣益，嘗試提出更多的集合關(guān)系，在探索中深化學(xué)生對集合的理解.為增強學(xué)生對集合內(nèi)涵的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示子集、真子集、空集的概念.“同學(xué)們，現(xiàn)在有一個集合，這個集合中的任何一個元素都屬于集合B，此時兩個集合的關(guān)系應(yīng)該怎樣用維恩圖來表示呢？”“如果集合A中任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，此時兩個集合之間的關(guān)系又該怎樣表示？”“如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，此時兩個集合之間的關(guān)系應(yīng)如何用圖形表示？”“a包含于集合A與a屬于集合A之間的區(qū)別能否用圖形區(qū)分？”通過繪圖回答問題逐漸深化學(xué)生對子集、真子集、空集、交集、并集等概念的理解，幫助學(xué)生理解集合與元素之間的區(qū)別，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的意義，助力學(xué)生成長.

2.2 以數(shù)助形，精準(zhǔn)分析內(nèi)在邏輯

幾何知識是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，與數(shù)字關(guān)系相比，幾何知識具有直觀、形象等優(yōu)勢，知識理解難度相對較低，但邏輯性和精準(zhǔn)性的缺失導(dǎo)致學(xué)生如果僅從幾何角度分析知識，不可避免地會在解題中產(chǎn)生錯誤判斷，為此教師有必要使用數(shù)學(xué)語言闡述幾何圖形之間的關(guān)系，拓寬解題思路，多角度分析題目條件，解決數(shù)學(xué)問題，助力學(xué)生成長[4].

常見的以數(shù)助形解題法可被分為兩種，第一種為坐標(biāo)法，根據(jù)幾何問題特點建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，推導(dǎo)數(shù)字關(guān)系，并將推導(dǎo)得到的代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)果，得到問題答案.第二種為向量法，將幾何問題中直線的各邊視為向量，將線段的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，使幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，使圖形關(guān)系代數(shù)化，用數(shù)字分析復(fù)雜的幾何圖形，簡化計算過程，深化學(xué)生對幾何圖形條件的理解.

例如 以人教版高一數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第八章“空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系”為例，為讓學(xué)生認(rèn)識到代數(shù)法的應(yīng)用對解決幾何問題的促進(jìn)作用，教師在課上引入例題：在△ABC中，AB=4，AC=2BC，試求出△ABC面積的最大值.由于三角形中邊AC，BC的長度、方向不明，且缺乏其他有效條件判斷三角形內(nèi)角角度，因此常規(guī)運用平面圖形知識分析解題的難度較大，教師在分析題目條件的前提下引入坐標(biāo)法輔助解題.微課簡單介紹坐標(biāo)法，教師采取問題導(dǎo)學(xué)方式指導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)應(yīng)用坐標(biāo)法解決數(shù)學(xué)問題的過程，問題1：應(yīng)以三角形哪條邊為橫軸建立直角坐標(biāo)系？為什么？問題2：建立直角坐標(biāo)系后，如何求出ABC三點坐標(biāo)？問題3：由于另外兩邊長度不定，三角形面積也不存在定數(shù)，在此種情況下如何確定三角形面積最大值？不同問題對應(yīng)解題關(guān)鍵點不同，△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置決定后續(xù)的解題過程能否順暢進(jìn)行，確定三角形三點坐標(biāo)是將圖形向數(shù)字關(guān)系轉(zhuǎn)化的重要步驟，代數(shù)分析C點坐標(biāo)變化軌跡，發(fā)現(xiàn)C點在以AB中點為圓心的圓上運動，C點縱坐標(biāo)越大，證明三角形的高越長，分析圓形形狀特征，當(dāng)三角形的高與半徑相等時，三角形面積取最大值.循序漸進(jìn)，借助問題引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)闡述幾何圖形內(nèi)在聯(lián)系，助力學(xué)生成長.

2.3 精選例題，培養(yǎng)數(shù)形互化能力

培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想絕非朝夕課程，需要長期的、系統(tǒng)化的訓(xùn)練，為使數(shù)形結(jié)合思想滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，教師在教學(xué)中要有意識地挑選、編制應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的練習(xí)題，圍繞練習(xí)題組織數(shù)形結(jié)合問題精講活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探索問題解決方案，相互交流討論，分享運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的經(jīng)驗，師生共同對比不同解法的優(yōu)勢和缺陷，思學(xué)結(jié)合使數(shù)形結(jié)合思想滲透到學(xué)生的思維認(rèn)知之中，助力學(xué)生成長[5].

錯題同樣是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源類型之一，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解相對有限，因此在解題過程中不可避免地會遇到錯誤，教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)錯題原因，在探索正確解題方法的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生從錯誤中吸取教訓(xùn)，獲得成長，深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解.

例如 以人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊第二章“二次函數(shù)與一元二次方程”為例，教師結(jié)合以往教學(xué)經(jīng)驗分析，導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合理念運用錯誤的主要原因是轉(zhuǎn)化不等價，基于此，教師設(shè)置易錯題，引導(dǎo)學(xué)生重新經(jīng)歷錯題過程，通過分析錯題原因使學(xué)生認(rèn)識到自己在運用數(shù)形結(jié)合解題時存在的問題，助力學(xué)生成長.

例題 試求方程x2－2x=0的解的個數(shù).

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下選擇圖象法求解.將方程x2－2x=0拆分為兩組函數(shù)y=x2與y=2x，分別繪制函數(shù)圖象，分析函數(shù)交點，得到結(jié)果x2－2x=0有兩個解.解題過程出現(xiàn)錯誤的原因是學(xué)生只考慮到當(dāng)x>0時兩圖象有兩個交點，但實際上當(dāng)x<0時，兩圖象在第二象限同樣有交點，在例題最后教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)錯誤原因：圖象繪制不完整.

3 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要意義，教師應(yīng)在把握學(xué)生思維認(rèn)知發(fā)展的前提下，導(dǎo)入問題，從問題入手滲透數(shù)形結(jié)合思想，鼓勵學(xué)生獨立思考問題，解析問題，體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的價值，為學(xué)生解題思維與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展提供有力支持.

參考文獻(xiàn)：

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