圓錐曲線離心率問題的構建探究

【摘要】高中數學離心率問題的構建方式不同，涉及漸近線、特殊位置關系、焦點三角形等內容.解題探究需要把握問題的構建方式，結合對應知識、數形結合構建思路.本文結合實例探究離心率問題的三大構建策略.

【關鍵詞】離心率；高中數學；解題技巧

離心率是研究曲線的重要參數，圓錐曲線考查中常涉及曲線的離心率，問題構建形式多樣，常見的有與漸近線關系構建，與特殊位置關系構建、與焦點三角形構建，下面結合實例具體探究.

1 離心率與漸近線的關系

命題分析 本題給定雙曲線的離心率，以及漸近線條件，要求解線段長，實則考查雙曲線的離心率與漸近線的關系.求弦長時可根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

所以答案為（D）.

小結 求解上述題目時充分把握離心率與漸近線的關系，推導出雙曲線的漸近線，再結合點到直線的距離公式、弦長公式.離心率與漸近線的關系是解題突破的重點，探究解析時可結合雙曲線的特征參數來構建關聯.

2 離心率與特殊位置關系

命題分析 本題目設定了直線與雙曲線相交關系，并構建了切線和等線段關系，求離心率，實則考查離心率與幾何特殊位置關系.根據其中的位置與線段關系，構建方程，再化簡即可求出離心率.

解析 根據題意繪制圖1，過點P作PE⊥x軸，

設∠PFM=θ，

則∠PME=2θ，

設P點坐標為x0，y0，P點處的切線方程為y－y0=kx－x0，

且b2=c2－a2，代入③中化簡，

得49c4－449a2c2+400a4=0，

整理可得49e4－449e2+400=0，

小結 上述求解時充分把握了直線與曲線的相切關系，結合條件構建關于雙曲線特征參數的方程，進而求出了離心率.解題的關鍵是充分理解其中的特殊位置關系，通過數形結合構建思路.

3 離心率與焦點三角形

命題分析 本題設定了焦點，構建了向量條件，求解雙曲線的離心率，實則考查離心率與焦點三角形模型.建議求解時采用數形結合的方法，求解AF2，BF2，BF1，AF1關于a，m的表達式，后續再通過解三角形來完成求解.

解析 根據題意，可設AF2=2m，則BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，繪制如圖2所示的圖象.

在Rt△ABF1中，由勾股定理可得9m2+（2a+2m）2=25m2，

則（a+3m）（a－m）=0，

可解得a=m或a=－3m（舍去），

所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，

則AB=5a，

小結 上述求解時借助了焦點三角形，利用向量的幾何意義構建三角形，結合三角形勾股定理、余弦定理來構建特征參數之間的關系，推導出雙曲線的離心率.過焦點三角形的模型構建是解題的關鍵.

4 結語

總之，圓錐曲線中的離心率問題構建方式多樣，上述所呈現的是其中較為常見的三種.理解漸近線特點，把握特殊位置關系，構建焦點三角形模型是解題分析的關鍵.探究學習中，可總結構建策略，整合知識內容，掌握數形結合方法，探究實例積累經驗.