關(guān)于三角函數(shù)問(wèn)題構(gòu)建示例的探究

【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)重點(diǎn)，實(shí)際考查時(shí)常結(jié)合關(guān)聯(lián)知識(shí)綜合構(gòu)建.問(wèn)題解析建議開展命題分析，定位考點(diǎn)，再結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)逐步剖析，必要時(shí)可繪制圖象，結(jié)合函數(shù)的周期圖象輔助分析.本文選取三角函數(shù)常見的三種構(gòu)建情形，開展解題探究.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，探究學(xué)習(xí)中需要掌握三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期等知識(shí).問(wèn)題考查構(gòu)建形式多樣，常與其他知識(shí)相融合，變換設(shè)問(wèn)情形，綜合考查學(xué)生的知識(shí)與能力.問(wèn)題解析需要定位考點(diǎn)，結(jié)合知識(shí)要點(diǎn)逐步分析，下面結(jié)合考題舉例探究.

1 三角函數(shù)與零點(diǎn)

考題1 （2023年新高考I卷第15題）已知函數(shù)fx=cosωx－1（ω>0）在區(qū)間0，2π有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.

命題分析 本題目求三角函數(shù)的參數(shù)取值，核心條件為“在區(qū)間0，2π有且僅有3個(gè)零點(diǎn)”，顯然考點(diǎn)為三角函數(shù)與零點(diǎn).解題的關(guān)鍵是把握零點(diǎn)定義，轉(zhuǎn)化條件信息，即令f（x）=0，得cosωx=1有3個(gè)根.后續(xù)可結(jié)合余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.

過(guò)程解析 因?yàn)?≤x≤2π，

所以0≤ωx≤2ωπ.

令f（x）=0，

得cosωx=1有3個(gè)根.

令t=ωx，

則cost=1有3個(gè)根，其中t∈［0，2ωπ］.

繪制如圖1所示圖象，由y=cost的圖象性質(zhì)可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，

故答案為［2，3）.

解后評(píng)析 三角函數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題較為常見，解題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是理解零點(diǎn)的定義，掌握求解思路和轉(zhuǎn)化方法；二是靈活繪制圖象，結(jié)合圖象直觀分析；三是關(guān)注圖象的周期變化，靈活變通調(diào)整變量.

2 三角函數(shù)與對(duì)稱

命題分析 本題目要求解三角函數(shù)值，核心條件有兩個(gè)：一是關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；二是關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸，顯然為三角函數(shù)與單調(diào)性和對(duì)稱性的綜合問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是靈活使用三角函數(shù)的屬性知識(shí)，結(jié)合題意合理轉(zhuǎn)化.

故答案為（D）.

解后評(píng)析 上述將三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、對(duì)稱性交匯考查，構(gòu)建了綜合性較強(qiáng)的三角函數(shù)求值問(wèn)題.探究解析的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是掌握基于y=Asin（ωx+φ），x∈R的圖象求解析式的步驟；二是掌握三角函數(shù)關(guān)于直線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化方法.

3 三角函數(shù)與平移

（A）1. （B）2. （C）3. （D）4.

解后評(píng)析 上述題目設(shè)定三角函數(shù)平移，求解平移后函數(shù)與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合性較強(qiáng)，該類問(wèn)題建議結(jié)合圖象分析.探究學(xué)習(xí)時(shí)注意知識(shí)總結(jié)：一是總結(jié)函數(shù)圖形變換的方法步驟；二是掌握三角函數(shù)與直線相交的處理方法，注意特殊位置的大小比較.

4 結(jié)語(yǔ)

總之，三角函數(shù)問(wèn)題是高考重點(diǎn)問(wèn)題，探究學(xué)習(xí)中建議分三個(gè)階段：階段一，掌握基礎(chǔ)知識(shí)，深刻理解其圖象與性質(zhì)屬性；階段二，開展拓展探究，構(gòu)建知識(shí)關(guān)聯(lián)，總結(jié)常見問(wèn)題類型；階段三，總結(jié)方法策略，結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化訓(xùn)練.