高中數學不等式的6種解題方法

【摘要】不等式是高考數學常見題型，此類題型多變復雜，再加上不同類型不等式問題具有顯著特征，也因此有多種解題方式.教師需指導學生歸納總結題型和解題方式，切實提升解題準確度與效率.

【關鍵詞】高中數學；不等式；解題技巧

1 運用等價轉化解答問題

（A）結論①②均成立.

（B）結論①②均不成立.

（C）結論①成立，結論②不成立.

（D）結論①不成立，結論②成立.

②當a＜0且b2－4ac＜0時，不等式p：ax2+bx+c＜0（a≠0）解集為{x|x＜p或x＞q}，設p，q為方程ax2+bx+c=0兩個不同實數根.

使ax20－bx0+c＜0，

則x0＜p或x0＞q，

所以無法確定c值

所以結論②不成立，選項（B）為正確答案.

2 運用基本定理解答問題

解 已知x+2y=4，

左右各加1即可獲得x+2y+1=5，

拆分（x+1）（2y+1）獲得2xy+x+2y+1，

3 運用構造法解答問題

解 由g（x）=x3－x2－5，

可得g′（x）=3x2-2x，令g′（x）=0，

則h′（x）=1－2xlnx－x，

又因為h′（1）=0，

當1≤x≤2時，h′（x）＜0，函數h（x）呈單調遞減.

則h（x）max=h（1）=1，

所以a的取值范圍為1，+∞）.

4 運用函數解答問題

例4 已知，函數f（x）在0，+∞上為偶函數，呈單調遞減，若f（2a－1）＞f（1），請問實數a的取值范圍.

解 根據題意得知，函數f（x）為偶函數，

所以f（2a－1）＞f（1）等價于f（|2a－1|）＞f（1）.

因為fx在0，+∞呈單調遞減，

|2a－1|≥0，1＞0，

所以|2a－1|＜1，去絕對值得－1＜2a－1＜1.

所以0＜a＜1.

實數a取值范圍為（0，1）.

5 運用配湊法解答問題

例5 已知正實數x與y，上述兩個實數滿足等

解 已知2x+y=2，若在式子左右兩邊各添加2，

即可獲得2x+y+2=4，

簡化式子可得2（x+1）+y=4.

6 運用數形結合解答問題

例6 已知，關于x的不等式x2≤4－2x+m，如果至少存在一個x≥0使得該不等式成立，請問m的取值范圍是多少.

解 整理不等式x2≤4－2x+m，

獲得2x+m≤－x2+4.

將其視為兩個函數，y=2x+m與y=－x2+4，

在此過程中需思考問題反面，若對于任意x≥0，均有2x+m＞-x2+4如，在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數圖象，圖1所示.

觀察圖1可得知，當m的值發生變化時，函數y=2x+m圖象沿x軸運動，圖1為兩個臨界條件，分別對應m＞4或m＜-5，滿足題意m的取值范圍為－5，4.

參考文獻：

[1]許明貴.高中數學不等式解題的常見方法和解題技巧[J].數理天地（高中版），2023（07）：33-34.