依托化歸思想高效解決高中數(shù)學(xué)試題

【摘要】化歸思想作為在解題中十分常用的思想方法，就是將難以解決的抽象、復(fù)雜、陌生的試題，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸使之成為容易解決的具體、簡(jiǎn)化和熟悉的試題.在高中數(shù)學(xué)日常解題訓(xùn)練中，當(dāng)遇到一些難題時(shí)，教師可引領(lǐng)學(xué)生依托化歸思想來(lái)分析，使學(xué)生高效解題.本文以如何依托化歸思想高效解決高中數(shù)學(xué)試題作研究對(duì)象，同時(shí)分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及的知識(shí)體系龐大、內(nèi)容繁多，相應(yīng)的題型更是多樣.學(xué)生在解題時(shí)既需具備豐富的理論知識(shí)作鋪墊，還要具備一定的解題技巧，且解題思路要靈活多變.教師在解題教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際題目靈活借助化歸思想探尋解題思路，使學(xué)生依托化歸思想找到切入點(diǎn)，幫助他們掌握化歸思想的使用竅門，順利突破難題障礙.

1 依托直接化歸高效解決數(shù)學(xué)試題

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，直接化歸是一個(gè)比較常用的解題方法，即學(xué)生將數(shù)學(xué)試題轉(zhuǎn)變?yōu)榛径ɡ砘蛘吖叫问竭M(jìn)行解題，他們需具備豐富的數(shù)學(xué)理論知識(shí)作鋪墊，不僅要熟記基本數(shù)學(xué)定理和公式，還要靈活、巧妙地進(jìn)行變式使用.所以，教師在平時(shí)教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)學(xué)習(xí)常用的定理和公式，使其明白來(lái)源與使用技巧，逐漸掌握基礎(chǔ)性理論知識(shí)，且搭配習(xí)題練習(xí)熟悉應(yīng)用方法，讓他們感受到直接化歸在解題中的便利[1].

x20=200，那么x5+x6= .

分析 處理本題的關(guān)鍵點(diǎn)是以準(zhǔn)確理解題意為前提，借助直接化歸把陌生的數(shù)列轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ牡炔顢?shù)列或者等比數(shù)列，然后結(jié)合相應(yīng)數(shù)列的性質(zhì)解題.

然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可以得到x1+x2+x3+…+x20=10（x5+x6）=200，

所以x5+x6=200÷10=20.

2 依托換元化歸高效解決數(shù)學(xué)試題

換元化歸就是當(dāng)遇到結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目時(shí)，通過(guò)運(yùn)用新變量將分式轉(zhuǎn)化為整式，減少元的個(gè)數(shù)與降低元的次數(shù)，以此簡(jiǎn)化解題流程，往往可以用來(lái)解答方程、不等式、函數(shù)等常見(jiàn)試題.對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練而言，教師應(yīng)注重對(duì)換元化歸使用方法的講解，像均值換元、三角換元與局部換元等，要求學(xué)生仔細(xì)分析這些常用化歸換元的形式，在實(shí)踐中學(xué)會(huì)依托化歸換元的解題方式，根據(jù)解題需求靈活換元，最終高效解決數(shù)學(xué)試題[2].

例2 已知x，y∈R，且滿足x2+2xy+4y2=6，請(qǐng)求出z=x2+4y2的具體取值范圍.

分析 本題可依托化歸思想來(lái)解題，通過(guò)對(duì)題干中式子特點(diǎn)的認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)可以使用三角換元的化歸方法進(jìn)行解答，以此優(yōu)化解題過(guò)程.

詳解 因?yàn)閤2+2xy+4y2=6，

即為4≤z≤12，

所以z=x2+4y2的具體取值范圍為［4，12］.

3 依托數(shù)形化歸高效解決數(shù)學(xué)試題

數(shù)形化歸的核心便是“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，當(dāng)遇到一些難度比較大或較為抽象的題目時(shí)，教師便可以引領(lǐng)學(xué)生依托數(shù)形化歸思想進(jìn)行解題，使其通過(guò)“數(shù)”和“形”之間的靈活轉(zhuǎn)化找到解題思路，將幾何試題化歸為代數(shù)試題，或者進(jìn)行相反化歸，助推他們高效解答數(shù)學(xué)試題，且感受到數(shù)形化歸的實(shí)用性與簡(jiǎn)便性[3].

分析 處理此類求值域的題目時(shí)，首先需確定未知量x的取值范圍，再依托數(shù)形化歸的方法進(jìn)行解題，通過(guò)對(duì)這一式子的觀察，借助化歸思想可把這一代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成幾何試題，以圖象方式直觀呈現(xiàn)，從而簡(jiǎn)便、輕松地解題.

根據(jù)根式的性質(zhì)可知4－2x≥0，x≥0，

綜合起來(lái)可得x∈［0，2］，

將直線方程代入至橢圓方程里面能夠得到3m2－4tm+2t2－4=0，

則Δ=16t2－12（2t2－4）=0，

4 依托坐標(biāo)化歸高效解決數(shù)學(xué)試題

坐標(biāo)化歸指的是借助坐標(biāo)系的功能將幾何試題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)試題的一種解題方法，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)依托坐標(biāo)化歸進(jìn)行解題時(shí)，教師應(yīng)提示學(xué)生先根據(jù)題意構(gòu)建出適當(dāng)?shù)钠矫孀鴺?biāo)系或者空間直角坐標(biāo)系，讓他們?cè)倬珳?zhǔn)確定所需關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算完成解題.（例題略）

5 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，教師應(yīng)充分意識(shí)到化歸思想在解題中所起的作用和功能，幫助學(xué)生以理解化歸思想的本質(zhì)、原理和使用方法，讓其學(xué)會(huì)結(jié)合具體題目依托化歸思想降低復(fù)雜程度和解題難度，把一些干擾因素排除，從而找到準(zhǔn)確的解題方向，形成簡(jiǎn)潔明了、清晰直觀的解題流程，減少錯(cuò)誤現(xiàn)象的出現(xiàn)，不斷提高他們解答數(shù)學(xué)試題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]游碧華.數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)苑教育，2023（16）：24-26.

[2]裴偉.新高考下化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（05）：41-43.

[3]馬海燕.基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（03）：89-90.