利用導數法解雙變量含參函數的“任意性”問題

【摘要】導數法是解函數問題最基本的方法之一，在求函數的單調區間、極值、最值等問題上有著重要應用.雙變量含參函數的“任意性”問題是高中數學的難點問題，考查學生對轉化思想與函數思想的綜合運用，其解答過程通常會涉及求函數的單調區間、極值、最值等.本文對利用導數法解雙變量含參函數的“任意性”問題進行解題分析，以期幫助學生在解答這類問題時更加熟練.

【關鍵詞】導數法；高中數學；解題技巧

1 “任意=存在”型問題

解 （1）根據題意有

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表1.

f（x）min=－4，f（x）max=－3，

故f（x）的值域為－4，－3.

（2）設函數g（x）的值域為A，函數f（x）的值域為B.

因為a≥1，

所以當x∈0，1時，g′（x）=3（x2－a2）≤0.

所以當x∈0，1時，g（x）為單調減函數，

則g（x）的值域A=1－2a－3a2，－2a.

又由（1）知B=－4，－3，

點評 等價轉化思想指的是在數學問題中，通過變形、化簡或者轉化等方法，將原問題轉化為一個與之等價的形式，從而更容易求解或者理解.本題的等價轉化的基本思想就是：函數f（x）的值域為函數g（x）值域的子集.

2 “任意≥（≤）任意”型問題

即a≥x－x2lnx，

設u（x）=x－x2lnx，

當x∈1，2時，1－x<0，2xlnx>0，

u′（x）<0，u（x）在1，2上遞減.

所以a的取值范圍是1，+∞.

點評 對于“任意≥（≤）任意”型問題，其轉化的思考過程如下：

3 結語

利用導數解決雙變量函數的“任意性”問題，轉化是解題的關鍵.思考過程一般是將等式或不等式成立問題轉化為函數的最值問題，利用導數求出函數的最值，再根據題目要求對所求的最值進行大小比較，從而求得參數的取值范圍.這一過程有時也會用到分離參數法，先將參數與函數進行分離，再用導數法求最值，需隨機應變.

參考文獻：

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