函數(shù)單調(diào)性定義在試題解題中的應(yīng)用分析

【摘要】函數(shù)單調(diào)性是高中階段函數(shù)版塊的重要知識點.靈活運用函數(shù)單調(diào)性可以解決各種函數(shù)問題，如利用單調(diào)性解答不等式問題.判斷函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，主要在定義域內(nèi)探討任意x1＜x2對應(yīng)的fx1，fx2的不等關(guān)系，從而判斷單調(diào)性.本文主要對三種不同函數(shù)題型做出分析，分別解析如何運用函數(shù)單調(diào)性解答不同問題，達到快速解題的目的.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 單調(diào)性證明題

關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的一類證明問題，屬于最為常見的函數(shù)問題，運用單調(diào)性定義解答即可.解答這類問題的思路是在規(guī)定范圍內(nèi)任意取x1＜x2，分析對應(yīng)函數(shù)值fx1和fx2的大小關(guān)系，若fx1＜fx2則函數(shù)單調(diào)遞增，若fx1＞fx2則函數(shù)單調(diào)遞減.

分析 證明函數(shù)單調(diào)性問題可以通過定義域解答，即求出函數(shù)定義域后，在定義域內(nèi)任取兩個數(shù)使x1＜x2，作差得到fx1－fx2，通過變形推斷fx1－fx2是否小于0，即可證明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

2 比較大小問題

比較大小問題通常是對函數(shù)的大小做出比較，可以是帶有函數(shù)符號的數(shù)值，也可以是具體常數(shù)，比較這些已知數(shù)大小需要借助函數(shù)單調(diào)性解答.具體是基于函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)，由自變量大小關(guān)系推斷已知數(shù)的大小關(guān)系.

具體解題步驟為：①根據(jù)已知函數(shù)解析式，將需要比較的數(shù)值轉(zhuǎn)化為等價帶有函數(shù)符號的fa，fb形式；②分別判斷自變量中a，b之間的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，推斷得到fa和fb的大小，對問題做出解答.

解析 因為f（x）=f（-x）恒成立，

所以f（－π）=f（π），

因為函數(shù)f（x）為增函數(shù)，

3 函數(shù)不等式問題

利用函數(shù)單調(diào)性同樣能夠解答與函數(shù)有關(guān)的不等式問題，主要體現(xiàn)在給出不等式求具體解集或已知不等式恒成立求參數(shù)范圍，靈活運用函數(shù)單調(diào)性能對這些問題做出解答，即結(jié)合函數(shù)具體性質(zhì)或解析式將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值不等關(guān)系式，如fx1＜fx2，此時憑借單調(diào)性可以去除函數(shù)符號得到自變量有關(guān)的不等關(guān)系式，運算解答即可.

運用函數(shù)單調(diào)性定義解不等式問題，解題步驟為：①根據(jù)已知不等式構(gòu)造含有函數(shù)值的不等關(guān)系式；②結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義，使fx1＜fx2脫去函數(shù)符號，得到x1＜x2或x2＜x1；③運算求解，得到完整解答.

例3 已知函數(shù)f（x）在定義域－1，1內(nèi)單調(diào)遞減，且滿足－f（x）=f（－x），則當(dāng)f（a2－a－1）+f（4a－5）>0時，實數(shù)a的取值范圍為.

分析 給出的不等式是具有函數(shù)符號的不等關(guān)系式，不需要過度變形.結(jié)合函數(shù)在規(guī)定區(qū)域內(nèi)單調(diào)遞減性質(zhì)，利用單調(diào)性逆向判斷自變量4a－5和a2-a+1的大小關(guān)系，列出不等式組并解答，即可得知參數(shù)a的取值范圍.

解析 由題意可知fa2－a+1+f（4a－5）＞0，

等價于f（a2－a－1）>－f（4a－5），

因為函數(shù)fx在－1，1內(nèi)滿足－f（x）=f（－x），

所以f（a2－a－1）>－f（4a－5）=f（5－4a），

4 結(jié)語

上述例題分別對函數(shù)單調(diào)性的運用都做出了具體的分析與思考，單調(diào)性證明問題解答屬于函數(shù)單調(diào)性定義的常規(guī)應(yīng)用，比較大小和不等式問題解答則需要對相關(guān)等式變形構(gòu)造，才能進一步運用單調(diào)性解答.用函數(shù)單調(diào)性解答不同函數(shù)問題，能夠?qū)瘮?shù)單調(diào)性質(zhì)理解得更加透徹，也有助于同學(xué)們更加變通地解答函數(shù)問題.

參考文獻：

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