淺談有關恒成立問題的解題策略與技巧

【摘要】本文通過探討數學問題中恒成立的情況，總結解題的常見策略和解題技巧，并通過具體案例展示這些技巧在實際問題解決中的應用，以期為讀者提供解決恒成立問題的有效途徑.

【關鍵詞】高中數學;恒成立問題;解題

在解決恒成立問題的過程中往往需要我們發揮創造性思維，巧妙地運用數學知識和技巧證明或判斷某個恒等式或不等式是否成立.希望通過本文的討論，讀者能夠更好地掌握解決恒成立問題的方法，提高解題的效率和準確性.

1 轉化為二次函數，利用分類討論思想解題

例1 已知函數f（x）=x2－2ax+4在區間［－1，2］上都不小于2，求a的值.

解 由函數f（x）=x2－2ax+4的對稱軸為x=a，

所以必須考查a與－1，2的大小，顯然要分三種情況進行討論.

①當a≥2時，f（x）在［－1，2］上是減函數，

此時，f（x）min=f（2）=4－4a+4≥2，

③當－1<a<2時，

f（x）min=f（a）=a2－2a2+4≥2，

2 確定主元，構造函數，利用單調性解題

例2 對于滿足0≤a≤4的所有實數a求使不等式x2+ax>4x+a－3都成立的x的取值范圍.

解 不等式變形為x2+a（x－1）－4x+3>0，

設f（x）=x2+a（x－1）－4x+3，

則其是關于a的一個一次函數，是單調函數，

解得x<－1或x>3.

3 利用不等式性質解題

例3 若關于x的不等式x－2+x+3≥a恒成立，試求a的范圍.

解 由題意知，只須

a≤（x－2+x+3）min，

由x－2+x+3≥|x－2－（x+3）|=5，

所以a≤5.

4 構造新函數，利用導數求最值

解 f（x）≤g（x）在［0，1］上恒成立，

又x∈［0，1］，

所以F′（x）<0，

即F（x）在［0，1］上單調遞減，

所以F（x）max=F（0），

即F（x）≤F（0）=1－t≤0，得t≥1.

（說明：若將恒成立改成有解，即f（x）≤g（x）在［0，1］上有解，則應F（x）min≤0.）

5 分離參變量，變換成函數問題

例5 已知二次函數f（x）=ax2+x+1對x∈0，2恒有f（x）>0，求a的取值范圍.

解 對x∈0，2，恒有f（x）>0，

即ax2+x+1>0變形為ax2>－（x+1），

當x=0時，對任意的a都滿足f（x）>0，因此只需考慮x≠0的情況，

6 利用數形結合解題

7 結語

通過本文的探討，我們對有關恒成立問題的解題策略與技巧有了更深入的了解.恒成立問題在數學中具有重要的意義，解決這類問題需要我們熟練掌握代入特定值、化簡、利用數形結合等解題策略和技巧.同時，也注重在解題過程中培養創造性思維和邏輯推理能力，靈活運用各種數學知識來解決問題，激發學生對數學問題的探索和思考，為數學學習和解題能力的提升提供有益的參考.

參考文獻：

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