高中數(shù)學(xué)有關(guān)抽象函數(shù)的對稱性和周期性的探究

【摘要】抽象函數(shù)的對稱性和周期性在高考數(shù)學(xué)中具有重要的地位，掌握這些概念對于解決各種數(shù)學(xué)問題和應(yīng)對高考數(shù)學(xué)考試至關(guān)重要.本文旨在探究抽象函數(shù)的周期性和對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，探討如何更好地理解和應(yīng)用抽象函數(shù)的對稱性和周期性，分析其特點(diǎn)和規(guī)律，最后巧妙地利用這些性質(zhì)來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 引言

抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，對稱性和周期性是其重要的性質(zhì)，它們反映了函數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律，對于研究函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用都有著重要的意義.近兩年高考真題中出現(xiàn)的抽象函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的交匯題型增加了題目的思維難度，對學(xué)生的創(chuàng)新思維提出了更高的要求.面對這樣的挑戰(zhàn)，學(xué)生需要在平時(shí)做題時(shí)注重對數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)靈活運(yùn)用知識(shí)，從復(fù)雜的情境中抽象出數(shù)學(xué)模型.

2 抽象函數(shù)的對稱性和周期性實(shí)例探究

例1 已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f1－x=－f1+x，下列說法正確的是（ ）

（B）函數(shù)fx的一個(gè)周期為2.

（C）f2023=0.

（D）函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

f2023=f3=f－1=f1=0，選項(xiàng)（C）正確.

規(guī)律總結(jié)：若函數(shù)滿足下面三個(gè)等式之一，

（1）fa+x=－fa－x；

（2）f2a－x=－fx；

（3）f2a+x=－f－x.

則y=fx關(guān)于點(diǎn)a，0中心對稱.

例2 已知y=fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若y=f2x+1的最小正周期為1，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

（A）1個(gè). （B）2個(gè). （C）3個(gè). （D）4個(gè).

解析 y=f2x+1的最小正周期為1，所以f2x+1+1=f2x+1；即f2x+3=f2x+1，f（x）的周期為2；

因?yàn)閒x+2=f（x）=－f（－x），所以f（x）的一個(gè)對稱中心為（1，0），③正確；

規(guī)律總結(jié)：若函數(shù)滿足下面三個(gè)等式之一，

（1）fa+x=fa+x+T；

（2）fT+x=－fx；

則y=fx為周期函數(shù).

例3 已知函數(shù)y=f2x+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱，函數(shù)y=fx+1的圖象關(guān)于點(diǎn)1，0對稱，則下列說法正確的是（ ）

（A）f1=0.

（B）fx是奇函數(shù).

（C）f1－x=f1+x.

（D）fx的周期為4.

解析 由函數(shù)y=f2x+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得f2x+2+1=f2－2x+1，即f3+2x=f3－2x，將2x換為x可得fx+3=f3－x，所以fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

由函數(shù)y=fx+1的圖象關(guān)于點(diǎn)1，0對稱，得函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2，0對稱，即fx+f4－x=0.所以fx的對稱軸x=3關(guān)于2，0的對稱直線x=1也是fx的對稱軸，（C）正確；所以fx的對稱中心2，0關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)0，0也是fx的對稱點(diǎn)，（B）正確；又fx=－f4－x=fx－4，所以fx+4=fx，fx的周期為4，（D）正確.

根據(jù)以上性質(zhì)，不妨作出滿足函數(shù)fx性質(zhì)的一種圖象情況，如圖1.

由圖可知，此時(shí)f1=0不成立，（A）錯(cuò)誤.故選：（B）（C）（D）．

若函數(shù)f（x）的滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f（x）+C（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，無法確定f（x）的函數(shù)值，故（A）錯(cuò)誤.故選：（B）（C）.

方法2 特殊值，構(gòu)造函數(shù)法

3 結(jié)語

本文的研究旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握抽象函數(shù)的對稱性和周期性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，還可以為其他數(shù)學(xué)研究提供有益的參考和借鑒.同時(shí)，本文的研究也有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的改革和發(fā)展，提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量和水平.

參考文獻(xiàn)：

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