巧構(gòu)齊次式，妙解幾類題

【摘要】齊次化策略是解決數(shù)學(xué)中一些相關(guān)代數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化時一種特殊的技巧與策略，是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的基本技巧之一．本文就齊次式的構(gòu)建處理幾類結(jié)合三角函數(shù)、函數(shù)與方程以及圓錐曲線等問題，并對技巧方法進(jìn)行歸納總結(jié)．

【關(guān)鍵詞】齊次式；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

解決一些涉及代數(shù)關(guān)系式的函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)、圓錐曲線等相關(guān)應(yīng)用問題，經(jīng)常根據(jù)題設(shè)條件或解析過程中代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征或本質(zhì)屬性，借助自身敏銳的眼光與視角，洞察代數(shù)關(guān)系式的內(nèi)涵，合理構(gòu)建對應(yīng)的齊次式，結(jié)合齊次化策略與應(yīng)用，是分析與解決相關(guān)問題中一種行之有效的技巧方法，倍受大家關(guān)注．本文結(jié)合實例，就齊次式的構(gòu)建與應(yīng)用加以剖析，拋磚引玉．

1 構(gòu)建齊次式解決三角函數(shù)（或解三角形）問題

三角函數(shù)（或解三角形）問題中，經(jīng)常有齊次化策略的影子．在解決一些相關(guān)的三角函數(shù)（或解三角形）問題時，特別是涉及sinx，cosx等三角關(guān)系式的齊次結(jié)構(gòu)，合理利用齊次式的構(gòu)建與轉(zhuǎn)化，靈活代換，巧妙變形，綜合三角函數(shù)或解三角形中的相關(guān)知識、公式等來巧妙求解與應(yīng)用．

分析 根據(jù)題設(shè)條件中三角形的邊的關(guān)系式，利用解三角形思維化邊為角，實現(xiàn)三角形中角的統(tǒng)一性，結(jié)合三角形的基本性質(zhì)以及三角恒等變換公式等加以恒等變形，通過齊次式的構(gòu)建與變形，得以確定三角函數(shù)關(guān)系式的定值問題，并結(jié)合基本不等式來確定相應(yīng)的最值即可．

解 由正弦定理，可知a=2RsinA，

b=2RsinB，c=2RsinC，

其中R為△ABC的外接圓半徑，

結(jié)合a+c=3b，

點評 在解決涉及三角函數(shù)（或解三角形）問題中的形如sinx，cosx的齊次結(jié)構(gòu)問題時，經(jīng)常通過常數(shù)代換、公式變形、換元處理、整體思維等方式，綜合齊次化策略與三角函數(shù)關(guān)系式，合理變形，巧妙應(yīng)用．

2 構(gòu)建齊次式解決函數(shù)與方程（或不等式）問題

抓住函數(shù)與方程（或不等式）問題的結(jié)構(gòu)特征，是齊次化策略應(yīng)用的一個重要場所．在解決一些相關(guān)的函數(shù)與方程（或不等式）問題時，利用齊次式的構(gòu)建與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)對應(yīng)函數(shù)中多元問題的遞減法處理，減少變量的個數(shù)，特別是結(jié)合整體思維或換元變換等處理，可以優(yōu)化解題過程，提升解題效率．

例2 （2022年安徽省安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（理））若存在兩個正實數(shù)x，y使得等式x（2+lnx）=xlny－ay成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

分析 根據(jù)題目條件，通過對相應(yīng)的等式加以恒等變形，巧妙分離參數(shù)，有針對性地通過兩次換元處理，進(jìn)行齊次式處理，合理構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來確定函數(shù)的最值，進(jìn)而得以求解相關(guān)參數(shù)的取值范圍．

解 依題中等式x（2+lnx）=xlny－ay，

令f′（m）=0，解得m=e，

則當(dāng)m∈（0，e）時，f′（m）>0，函數(shù)f（m）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增；

當(dāng)m∈（e，+∞）時，f′（m）<0，函數(shù)f（m）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，

故選擇答案：（D）．

點評 借助齊次式的構(gòu)建，有效轉(zhuǎn)化函數(shù)與方程問題中的等式，為進(jìn)一步換元處理與函數(shù)構(gòu)建提供條件．在解決函數(shù)與方程（或不等式）問題中，要求具備較強的觀察能力與數(shù)學(xué)運算能力，需要對條件中的關(guān)系式進(jìn)行必要的變形處理，合理構(gòu)建齊次式，為問題的分析與解決指明方向．

3 結(jié)語

抓住相關(guān)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，特別是代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征或特殊形式等，結(jié)合代數(shù)式的齊次化策略，合理構(gòu)建齊次式，通過較強的變形能力進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙轉(zhuǎn)化相應(yīng)各項整式、分式中關(guān)系式的次數(shù)，或整體處理，或換元變換，為問題的進(jìn)一步解決與處理提供更加廣闊的空間，從而強化邏輯推理，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，拓展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)．