“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略

【摘要】在新課標下的高考注重對學生綜合能力的考查，而恒成立問題和存在性問題是考查學生綜合素質的重要途徑.本文將介紹這兩類數學問題的基本類型，通過對這兩類數學問題的特點和解題方法進行分析，總結了常見的解題策略，并對具體案例進行分析，展示了這些策略在解決實際問題中的應用.

【關鍵詞】恒成立問題;存在性問題;解題策略

恒成立問題與存在性問題是數學中常見的兩類問題，解決這兩類問題需要我們靈活運用數學知識和技巧，具有一定的邏輯推理能力和創造性思維，總結一些常見的解題方法，具體研究如下：

1 “恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型

設函數fx，gx，對任意的x1∈a，b，存在x2∈c，d，使得fx1≥gx2，

則fxmin≥gxmin.

2 基本的解題策略

2.1 一次函數型

例1 若x∈（－2，2），不等式kx+3k+1>0恒成立，求實數k的取值范圍.

解 構建函數f（x）=kx+3k+1，轉化為f（x）在x∈（－2，2）內恒大于零.

當k=0時，有f（x）=1>0恒成立；

當k≠0時，f（x）為一次函數，等價于f（－2）>0，f（2）>0

解得k∈（－1，+∞）.

2.2 二次函數型

若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）大于0恒成立，存在有a>0且Δ<0.

類型1 設a>fx在R上恒成立.

f（x）>0在x∈R上恒成立a>fxmax；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立a>fx.

類型2 設在區間［α，β］上恒成立.

（1）當a>fxmin時，

綜上所述，f（x）的定義域為R時，a∈［1，9］.

例3 已知函數f（x）=x2+ax+3－a，在R上f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析 函數圖象都在x軸及其上方，如圖3所示.

略解Δ=a2－43－a=a2+4a－12≤0，所以－6≤a≤2.

變式1 若x∈－2，2時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

希望通過本文所提供的方法，讀者能夠更加自信地應對各種“恒成立問題”與“存在性問題”.在解題過程中要靈活運用所學的數學知識，善用各種解題策略，并鼓勵培養創造性思維，勇于嘗試不同的方法來解決問題.解決數學問題的過程不僅僅是得出答案，更重要的是提高自己的邏輯推理能力和問題解決能力.

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