三角函數(shù)在解三角形問題中的應(yīng)用探究

【摘要】在三角函數(shù)中，利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)量的問題是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)問題，需要綜合應(yīng)用兩個(gè)定理及三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答，考查學(xué)生對(duì)條件的轉(zhuǎn)化能力.本文對(duì)三角函數(shù)在解三角形問題中的應(yīng)用進(jìn)行探究，并列舉例題進(jìn)行分析解答，以期幫助學(xué)生更加熟練地運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解答解三角形問題.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；解三角形；高中數(shù)學(xué)

三角形是幾何學(xué)中重要的圖形之一，正弦定理和余弦定理的學(xué)習(xí)可以幫助我們更好地理解三角形的性質(zhì)和特點(diǎn).同時(shí)，正弦定理、余弦定理、三角恒等變換也是解決三角形中各種角度和邊長(zhǎng)關(guān)系的重要工具，通過這些定理和工具的運(yùn)用，一些常見的三角形問題可以得到簡(jiǎn)單快速的解決.

1 利用正弦定理解三角形

（1）已知△ABC的兩角A，B及一邊a，求角C和邊b，c.

（2）已知△ABC的兩邊a，b及一邊的對(duì)角A，求邊c和角B，C.

為2，角B為120°，求BC的長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng) 利用正弦定理可以對(duì)三角形的邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般是都轉(zhuǎn)化為邊或都轉(zhuǎn)化為角，邊角一致有利于解題.

2 利用余弦定理解三角形

（1）已知兩邊a，b及夾角C，求第三邊c和其他兩角A，B.

（2）已知三邊a，b，c（或三邊的關(guān)系），求角A，B，C.

具體方法 直接根據(jù)余弦定理的變形式

例2 如圖1所示，在四邊形ABCD中，已知AD，CD，BD的長(zhǎng)均為1，且AB∥CD.

（2）若AB的長(zhǎng)為BC的2倍，求cos∠BDC.

解 （1）在△ABD中，由余弦定理可得

因?yàn)锳B∥CD，

所以∠BDC=∠ABD，

在△BCD中，由余弦定理可得

（2）設(shè)BC=x，則AB=2x，

在△ABD中，由余弦定理可得

由（1）知∠BDC=∠ABD，

所以cos∠ABD=cos∠BDC，

點(diǎn)評(píng) 涉及角的范圍，遇到a2，b2，c2等，一般可以利用余弦定理進(jìn)行求解.

3 利用正、余弦定理判定三角形形狀

利用正、余弦定理判定三角形形狀有兩種解題思路，一種是先通過正弦定理和余弦定理，將邊與邊之間的關(guān)系化為角與角之間的關(guān)系，再利用三角變換，求出三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，然后判斷三角形形狀；另一種是通過正弦定理和余弦定理，將角與角之間的關(guān)系化為邊與邊之間的關(guān)系，再通過代數(shù)恒等變換，得到三條邊之間的關(guān)系，然后判斷三角形形狀.

例3 在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別用a，b，c表示，如果（a2+b2）sin（A－B）=（a2－b2）sin（A+B），請(qǐng)判斷△ABC的形狀.

解 已知等式可化為

a2sin（A－B）－sin（A+B）

=b2－sin（A-B）－sin（A+B），

所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA，

由正弦定理，上式可化為

sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA，

因?yàn)閟inA≠0，sinB≠0，

所以sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，

由A，B∈0，π，

得0<2A<2π，0<2B<2π，得2A=2B或2A+2B=π，

所以△ABC為直角三角形或等腰三角形

點(diǎn)評(píng) 解答三角形形狀判斷類題型時(shí)，要注意是否有多個(gè)解，注重挖掘題目隱含的條件，不可推算錯(cuò)漏.

4 三角恒等變換與解三角形

三角恒等變換與解三角形的綜合題一般有兩種類型：一是先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系、和角公式等，求出符合正弦定理、余弦定理中的邊與角，再利用正弦定理、余弦定理求值；二是先利用正弦定理、余弦定理確定三角形的邊與角，再代入到三角恒等變換中化簡(jiǎn)求值.而對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)、三角變換及圖象變換、解三角形等相結(jié)合類型的綜合問題，求解時(shí)要理清思路，先把異名、異次、異角化異為同，最終化為一個(gè)函數(shù)一個(gè)變角的三角函數(shù)式，再根據(jù)相應(yīng)知識(shí)逐一解決.

例4 在△ABC中，已知BC的長(zhǎng)為3，且sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，

（1）求A；

（2）求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

解 （1）由正弦定理和已知條件得

BC2－AC2－AB2=AC·AB①=1，

由余弦定理得

BC2=AC2+AB2－2AC·AB·cosA②=2，

（2）由正弦定理及（1）得

點(diǎn)評(píng) 與三角形有關(guān)的問題主要有兩種：一是解三角形求出有關(guān)量，利用公式求面積或周長(zhǎng)；二是將面積或周長(zhǎng)作為已知條件之一，利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的其他量.

5 解三角形的綜合應(yīng)用

解三角形的綜合應(yīng)用類問題，要充分利用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，然后利用三角函數(shù)的和差、倍半公式進(jìn)行三角恒等變換，進(jìn)而求出結(jié)果，得出結(jié)論.

（1）求角B的大小；

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

點(diǎn)評(píng) 解與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí)，主要是利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形邊角的取值范圍、函數(shù)值域的求法求解范圍即可.

6 結(jié)語

總的來說，正弦定理和余弦定理是解決三角形中角和邊關(guān)系的重要工具，利用正弦定理和余弦定理，可以把題干給的已知條件轉(zhuǎn)化為三個(gè)內(nèi)角與三邊之間的三角函數(shù)關(guān)系，然后通過三角函數(shù)恒等變形，找到三角形內(nèi)角以及三邊之間的關(guān)系，不論是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是在實(shí)際問題中都有著重要的應(yīng)用價(jià)值.

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