平面向量積問題的解法策略探究

【摘要】平面向量積問題涉及的知識考點眾多，與幾何、函數、不等式聯系緊密.解析轉化時有多種思路，可從幾何視角分析轉化，也可借助三角函數知識求解，對于其中的最值與范圍問題還可結合不等式的性質求解.本文結合考題，深入探究平面向量積問題的解法策略.

【關鍵詞】向量積；高中數學；解題技巧

平面向量是高中數學的重點知識，其中的向量數量積問題在高考中出現的頻次很高，常與平面幾何、不等式、三角函數等知識相結合.解析該類問題時有三種策略：一是建立坐標系，利用向量積的坐標運算來求解；二是引入角作為變量，利用三角函數知識求解；三是代數運算，利用基本不等式求解.

1 構建坐標系解析

解 以A為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖1所示.

則E（1，0），C（2，2），D（0，2），

根據向量積的坐標運算可得：

評析 上述求解正方形背景下的向量積時采用了坐標系法，即建立平面直角坐標系，將向量坐標化，利用向量積的坐標運算直接求解.

2 三角函數解最值

分析 本題目以直線與圓相切為背景，求解向量積的最大值，可以引入角作為變量，利用三角函數知識來轉化求解.

解 根據題意繪制圖2所示圖象，

分為如下兩種情況討論.

情形1 當點A，D位于直線PO異側時，如圖2（a）所示.

情形2 當點A，D位于直線PO同側時，如圖2（b）.

評析 上述解析直線與圓背景下的向量積最值時引入了角作為變量，轉化為三角函數最值問題，進而利用三角函數的性質來求解最值.

3 基本不等式求最值

分析 第2空是關于三角形背景下的向量積最值問題，可先進行向量線性運算，再結合基本不等式的性質推導最大值.

在△ABC中，根據余弦定理：

BC2=x2+y2－2xycos60°=x2+y2－xy=1，

1129xy2+2，

結合x2+y2－xy=1和基本不等式x2+y2－xy=1≥2xy－xy=xy，可得xy≤1.

分析可知，當且僅當x=y=1取得等號.

評析 上述求解三角形背景下的向量積最值問題，采用了“向量線性運算+基本不等式”相結合的方法.設定參數，將向量積轉化為代數式，再結合不等式的性質來求解.

4 結語

綜上可知，求解平面向量積問題有三種轉化解析策略，從幾何視角分析，建立坐標系，利用坐標運算求解；從函數視角分析，利用三角函數性質解析；從不等式視角分析，利用不等式的性質求解，適用于最值與范圍問題.探究學習中，需要理解向量積的幾何意義，掌握向量運算與轉化的方法，結合實例強化訓練.