數形結合，巧妙轉化

【摘要】 向量具有“數”與“形”的高度統一性，平面向量是溝通高中數學代數知識與幾何知識的橋梁，平面向量問題也是高考的必考點之一.運用坐標法解答平面向量問題，是考生必須掌握的一種重要的解題方法.本文希望通過對典型實例中解題思路與方法的探索，加深考生對于這類方法的理解和運用.

【關鍵詞】平面向量；向量共線；坐標運算

向量具有方向和大小，兼具“數”與“形”的特征，是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具.在高中數學中，由于向量的引入，使古老的數學勃發了生機與活力，使各知識點之間的距離縮短了，尤其是運用坐標法來解決那些規則的幾何圖形問題時，具有極大的便捷性.

1 求平面向量共線的坐標類問題

故當μ=－4時，A，B，C三點共線.

解析2 依題意得i=1，0，j=0，1，

具有代數化和程序化的優點[2].

2 坐標運算問題

思路與方法 本題的解題思路是先設出基向

解析 建立如圖3所示的坐標系，

則A（1，0），B（cos120°，sin120°），

因為0°≤α≤120°，

所以30°≤α+30°≤150°，

所以x+y有最大值2，當a=60°時取得最大值2.

思路與方法 本題中由于點C在單位圓上運動，因此可以用OA與OC夾角的三角函數表示點C的坐標，進而利用三角函數的有界性即可求出最值.

4 證明線段類問題

例4 已知四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點E，求證：AF=AE.

證明 如圖4，以正方形ABCD的邊CD、CB所在的直線為x軸、y軸，以C點為原點建立直角坐標系，設正方形的邊長為1，則點A，B的坐標分別為（－1，1）和（0，1），若點E的坐標為（x，y），

所以x·（－1）－1×（y－1）=0 ①，=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT

又由AC=CE及A（－1，1），C（0，0），E（x，y），

可得x2+y2=2②，=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT

5 結語

綜上所述，向量的坐標表示是將幾何問題代數化的具體體現.由于向量的數量積、向量共線等均與坐標有關，因此在求解與向量有關的問題時，通過建立坐標系，將向量的運算轉化為坐標的運算，可使解題思路更清晰，解題過程更加簡捷.教師應引導學生通過典型例題的學習與適量訓練，深刻地體會平面向量“數”的特征及其功效，學會熟練運用坐標法解決與幾何有關的向量運算問題.

參考文獻：

[1]蘇恒連.巧用坐標法創造性解決平面向量問題[J].中華活頁文選（高中版），2022（18）：171—174.

[2]魏燕.探求向量數量積最值問題的求解方法[J].高中數理化，2023（17）：69—70.