幫你走出數列的兩大“雷區”

【摘要】數列模塊在高考中占有非常重要的位置，近幾年的高考試題中，數列部分一般是一個大題、一個小題，占20分左右，難度中等，但由于數列中知識點較多、關系復雜，歷屆考生經常在數列問題上因思維不嚴謹、方法不靈活而出錯.為此，梳理數列中易出錯的兩大“雷區”，以期引起學生的警示，幫助學生成功地走出“雷區”，從而加深對數列的理解，培養學生思維的靈活性和嚴謹性.

【關鍵詞】數列；函數；高中數學

雷區1 忽視n=1是否需要驗證的問題

教學中發現不少學生總是搞不清楚到底是否需要驗證n=1，非常困惑與苦惱，這類問題主要有以下兩種類型.

類型1 已知前n項和Sn求an時，是否需要驗證n=1.

該類型必須驗證n=1，這是因為an=Sn－Sn－1這個關系式只適合于n≥2，n=1時無意義.

例1 在數列an中，前n項和Sn=3n2－4n，那么數列an的通項公式an= .

解 a1=S1=3－4=－1，

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=3n2－4n－3（n－1）2－4（n－1）=6n－7，

又因為a1適合上式，

所以an=6n－7.

變式1 若將上題中的Sn=3n2－4n改為Sn=3n2－4n+1，那么數列an的通項公式an＝.

解 a1=S1=3－4+1=0，

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=3n2－4n－3（n－1）2－4（n－1）=6n－7，又因為a1不適合

點評 上述步驟可以簡稱為“三步走”，三個步驟缺一不可，尤其是第三步驗證n=1，恰是學生容易遺漏的步驟.在驗證n=1之后，結果有兩種情況：如果a1適合第二步的式子，最后結果就用第二步的一個式子進行表示；如果a1不適合第二步的式子就要寫成分段的形式.因此，這種題型必須驗證n=1.

例2 已知數列an滿足a1+4a2+…+3n－2an=2n，則an＝.

解 當n=1時，a1=2，

因為a1+4a2+…+3n－2an=2n①，

所以a1+4a2+…+3n－5an－1=2n－1，n≥2②，

變式2 已知數列an的首項a1=1，且滿足a1·a2·a3·…·an=n3n≥2，則an= .

解 因為a1·a2·a3·…·an=n3n≥2，

a1·a2·a3·…·an－1=n－13n≥3，

又因為a1=1，a1·a2=23，所以a2=23，

點評 例2雖然不是以Sn的形式出現的，但等式a1+4a2+…+3n－2an=2n左邊也是和的形式，因此實質上和例1是同一種題型；變式2是已知前n項積Tn求an，和已知前n 項和Sn求an的道理一樣，即必須驗證n=1.

類型2 等差（等比）數列的判定時是否需要驗證n=1.

例3 已知Sn表示數列an的前n項和，首項a1=1，且4Sn+1=2Sn－7n∈N*．求數列an的通項公式.

解 因為4Sn+1=2Sn－7，

所以當n≥2時，4Sn=2Sn－1－7，

所以數列an從第二項起是等比數列，

雷區2 構造新數列之后，混淆新舊數列的關鍵項

構造新數列之后，新數列的首項、第n項等關鍵項與舊數列是不同的，一定要搞清新、舊數列的關鍵項，才能成功地避開雷區.

例4 已知數列an的首項a1=4，an+1=3an－4，求數列an的通項公式.

解 設an+1+x=3an+x，

即an+1=3an+2x，

又an+1=3an－4，

所以x=－2，

故an+1－2=3an－2.

又因為a1－2=2，

所以an－2是等比數列，首項為2，公比為3，

所以an－2=2×3n－1，

所以an=2×3n－1+2.

點評 構造新數列an－2之后，新數列的首項是a1－2，而不是a1.

變式3 已知數列an中，a1=8，a2=3，an=2an－1+3an－2n≥3，求這個數列的通項公式.

解 因為an=2an－1+3an－2，

所以an+an－1=3an－1+an－2，

又a1+a2=11，

所以an+an－1是首項為11，公比為3的等比數列，

則an+an－1=11×3n－2①，

又an－3an－1=－an－1－3an－2，a2－3a1=－21，

所以an－3an－1是首項為－21，公比為－1的等比數列，則an－3an－1=－21·－1n－2②，

①②兩式組成方程組即可解得

點評 ①②兩式中等號右邊3的指數是n－2，而不是n－1，這是因為an+an－1是數列an+an－1的第n－1項，而不是第n項.