題型突破之初中數(shù)學(xué)開放探究型問題研究

【摘要】初中數(shù)學(xué)開放探究型問題研究是教育領(lǐng)域的一個(gè)重要課題.通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究和解決問題，可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力.本文探討初中數(shù)學(xué)中兩種開放探究型問題的題型設(shè)計(jì)與解題思路，并舉例進(jìn)行詳解，以期通過對這些探究性和啟發(fā)性問題的研究，激發(fā)學(xué)生的思維和創(chuàng)造力，促使學(xué)生掌握這類問題的解題技巧.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；題型突破；解題技巧

1 條件開放探究型問題

條件開放型探究問題，是指問題中添加一個(gè)條件即可使某結(jié)論成立，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的問題，其類型包括補(bǔ)充條件型、探索條件型和條件變化型.解決條件開放型探究問題，通常根據(jù)結(jié)論以及題干給出的已知條件，推理出符合要求的一些條件，然后一個(gè)個(gè)分析，找到可以證得結(jié)論的正確條件.

例1 如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點(diǎn)E、F.

（1）求證：AE=CF；

（2）請?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由.

圖1

解 （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以O(shè)A=OC，BE∥DF，

所以∠AEO=∠CFO.

在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，

所以△AOE≌△COF，

所以AE=CF.

（2）添加條件：當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BFDE是菱形.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以O(shè)B=OD，由（1）知△AOE≌△COF，

所以O(shè)E=OF，

所以四邊形BFDE是平行四邊形.

因?yàn)镋F⊥BD，

所以四邊形BFDE是菱形.

2 類比探究型問題

類比探究是一類共性條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形到一般情形（或由簡單情形到復(fù)雜情形）逐步深入，解決問題的思想方法一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜合題為主.類比探究問題解題思路如下：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問；②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT用解決第一問的方法類比解決下一問，進(jìn)行類比時(shí)最重要的是把握住變化過程中的不變特征，圍繞不變特征來解決問題.

例2 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)后，對課本上的知識進(jìn)行探究，將矩形ABCD繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到新的矩形AB′C′D′，已知旋轉(zhuǎn)的角度為α0°<α≤90°，AB的長為1，連接BD.

（1）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在DB的延長線上時(shí)，α=90°，求BC的長；

（2）如圖3所示，連接AC′，過點(diǎn)D′作AC′的平行線D′M，D′M與BD的交點(diǎn)為M，求線段D′M與DM的關(guān)系；

（3）如圖4所示，在（2）的條件下，延長DB分別與AD′、AC′相交，交點(diǎn)為P點(diǎn)、N點(diǎn)，求線段DN、MN、PN的關(guān)系.

圖3

圖4

解 （1）設(shè)BC=x，

因?yàn)榫匦蜛BCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB′C′D′，

所以點(diǎn)A、B、D′在一條直線上，

且AD′=AD=BC=x，

D′C′=AB′=AB=1，

所以D′B=AD′－AB=x－1.

因?yàn)椤螧AD=∠D′=90°，

所以D′C′∥DA.

又因?yàn)辄c(diǎn)C′恰好在DB的延長線上，

所以△D′C′B與△ADB相似，

所以D′C′AD=D′BAB，即1x=x－11，

解得x1=1+52，

x2=1－52（舍去）.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1+52是分式方程的解，

所以BC=1+52.

（2）如圖3所示，連接DD′，

因?yàn)镈′M∥AC′，

所以∠AD′M=∠D′AC′.

因?yàn)锳D′=AD∠AD′C′=∠DAB=90°D′C′=AB，

所以△AC′D′≌△DBASAS，

所以∠D′AC′=∠ADB，

所以∠ADB=∠AD′M.

因?yàn)锳D′=AD，

所以∠ADD′=∠AD′D，

所以∠MDD′=∠MD′D，

所以D′M=DM.

（3）線段DN、MN、PN的關(guān)系為MN2=PN·DN，如圖4所示，連接AM.

由（2）知D′M=DM，

又因?yàn)锳D′=AD，AM=AM，

所以△AD′M≌△ADMSSS，

所以∠MAD′=∠MAD.

因?yàn)椤螦MN=∠MAD+∠NDA，

∠NAM=∠MAD′+∠NAP，

∠NAP=∠NDA，

所以∠AMN=∠NAM，

所以MN=AN.

在△NAP和△NDA中，

因?yàn)椤螦NP=∠DNA∠NAP=∠NDA，

所以△NAP∽△NDA.

所以PNAN=ANDN，

所以AN2=PN·DN，

所以MN2=PN·DN.

這類題目的解題策略可總結(jié)為：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT類比，類比字母、輔助線，以及上一問的解題思路；②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT找到不變特征、幾何結(jié)構(gòu)，對圖形進(jìn)行補(bǔ)全、構(gòu)造；③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT應(yīng)用類比方法，作圖.

3 結(jié)語

隨著教育理念的轉(zhuǎn)變和教學(xué)方法的創(chuàng)新，開放探究型問題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著越來越重要的角色.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究和解決問題，可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力，幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)知識.這種教學(xué)模式不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還能夠激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.對初中數(shù)學(xué)開放探究型問題研究的探討和實(shí)踐具有重要的意義.

參考文獻(xiàn)：

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［3］司文付.初中數(shù)學(xué)類比探究問題解答的研究［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（12）：35-36.