關于數形結合思想在初中數學解題中的應用探究

【摘要】數形結合思想是一種常見的數學思想方法，是指將數學問題中的數量關系與幾何圖形相結合［1］，它在初中數學解題中應用十分廣泛.本文結合實例探究數形結合思想在初中數學問題中的解題思路，與讀者交流探討.

【關鍵詞】初中數學；數形結合；解題應用

初中學生的數學思維還不夠成熟，對抽象的數學問題理解起來較為困難.數字與圖形的結合可以幫助學生快速理解，得出答案［2］.因此，初中數學教師應重視引導學生數學思想的形成，在解題教學中潛移默化地向學生灌輸數形結合思想，切實提高學生的數學分析能力和解題能力，為學生應對中考提供有利的保障.

1 數形結合思想在函數中的應用

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（-2，4），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連接OA.

（1）求△OAB的面積；

（2）若拋物線y=－x2－2x+c經過點A.

①求c的值；

②將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍.

圖2

思路分析 第一問，根據點A的坐標確定AB、OB的長度，即可求出三角形的面積；第二問，第一小問，根據題意求出拋物線中的未知常數項c，第二小問，需先求出拋物線的頂點坐標，然后向下平移拋物線，確定需要求的點的坐標，進而得出m的取值范圍.

解析 （1）因為點A的坐標為（-2，4），

AB⊥y軸，

所以AB=2，OB=4，

所以S△OAB=12×AB×OB=12×2×4=4.

（2）①因為拋物線y=－x2－2x+c經過點A，

把點A代入y=－x2－2x+c中，

得4=－（－2）2－2×（－2）+c，

所以c=4.

②由①得出，y=－x2－2x+4.

因為y=－x2－2x+4=－（x+1）2+5，所以拋物線y的頂點坐標為（-1，5）.

結合圖形，開始向下移動拋物線，可以得出當拋物線頂點位于AB的中點時，它在△OAB的邊界，繼續向下移動拋物線，開始落在△OAB的內部；當移動到OA的中點時，拋物線頂點位于△OAB的邊界，繼續向下移動拋物線，不再滿足落在△OAB內部的條件，如圖2.所以求出AB的中點坐標、OA的中點坐標即可求出m的取值范圍.

經計算AB的中點坐標為（－1，4），OA的中點坐標為（－1，2），

所以m的取值范圍為1＜m＜3.

評析 本題主要考查二次函數的綜合應用以及數形結合思想，是中考試題中一種常考的題型，學生要重點掌握，注意細節.

2 數形結合思想在不等式中的應用

例2 如果x=1，y=2是關于x、y的方程（ax+by－12）2+ax－by+8=0的解，求不等式組x-a＞13x+14bax-3＜x+3的解集.

思路分析 解題時，應先將方程的解代入方程，然后利用非負數的性質求出常數的值，最后代入不等式組求解集即可.

解析 因為x=1，y=2是關于x、y的方程（ax+by－12）2+ax－by+8=0的解，

所以（a+2b－12）2+a－2b+8=0，

由非負數的性質可知，a+2b－12=0，

且a－2b+8=0，

聯立上式a+2b-12=0a-2b+8=0，

解得a=2b=5，

將a=2b=5代入不等式組得

x-2＞13x+1452x-3＜x+3

化簡得8x＜－24x＜6，

解第一個不等式得x<－3，

解第二個不等式得x<6，畫出數軸（如圖3），

所以不等式的組得解集為x<－3.

評析 這道題考查了方程解的定義、非負數的性質以及不等式組的解法等知識點，難度中等，在中考中很常見，學生要掌握其解題方法和步驟，利用數形結合的思想，求解不等式或不等式組的解集.

圖4

3 數形結合思想在幾何中的應用

例3 如圖4，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為35厘米，邊長為12厘米的正方形CDEF內接于△ABC，求△ABC的周長為多少厘米？

思路分析 此題文字表述少，考查學生的知識儲備情況.解此題的關鍵是利用相似三角形和勾股定理分別得到一個等式，組合得到一元二次方程組，最后，解一元二次方程組即可.

解析 設BC=a，AC=b，

在Rt△ABC中，AB=35cm，

根據勾股定理得出，a2+b2=352=1225 ①.

由題意知，正方形CDEF內接于△ABC，

所以∠AFE=∠ACB，∠A=∠A，

所以Rt△AEF∽Rt△ABC，

所以EFBC=AFAC，即12a=b－12b，

經化簡得到12b=a（b－12），

即12（a+b）=ab ②，

聯合①②，得出a2+b2=1225，12（a+b）=ab，，

結合計算可得到（a+b）2=1225+24（a+b），

將a+b看成一個整體，

利用十字相乘法解一元二次方程可得

［（a+b）－49］［（a+b）+25］=0，

解得a+b=49或a+b=－25（舍去），

所以△ABC的周長為a+b+35=49+35=84（厘米）.

評析 這道題考查了相似三角形的判定、勾股定理以及解一元二次方程的方法等知識，是一道綜合性很強的題.解題時要注意應用數形結合的思想，方便理解和整理思路.

4 結語

數形結合思想是初中數學學習中最重要的數學思想之一，它是從數量和圖形兩個方面來解決數學問題.本文主要研究數形結合思想在函數、不等式以及幾何這些數學問題中的應用，實踐表明，在初中數學解題過程中，教師要重視學生數學思想的培養，尤其是數形結合思想，它可以幫助學生快速且準確的解決數學問題，提高解題效率，為學生養成良好的思維習慣奠定基礎，為中考提供有利的保障［3］.

參考文獻：

［1］王麗娟.初中數學教學中滲透數形結合思想的策略［J］.家長，2023（26）：22-24.

［2］辛艷，高麗.初中數學教學中如何滲透數形結合思想［J］.新智慧，2023（21）：80-82.

［3］劉媛.核心素養視域下初中數學滲透數形結合思想的策略［J］.試題與研究，2023（21）：97-99.