輔助圓模型在初中數學解題中的應用探究

【摘要】輔助圓模型在初中數學解題中的應用是一個備受關注的研究領域.本文以對角互補、定弦定角、定點定長三種構造方式為切入點，通過三個例題探討了輔助圓模型在解決幾何問題中的作用和應用，旨在推動輔助圓模型在初中數學教學中的應用，培養學生的數學思維和解決問題的能力.

【關鍵詞】輔助圓模型;初中數學;教學策略

在初中數學教學中，輔助圓作為一種重要的解題工具，被廣泛應用于各種幾何題型的解決過程中.輔助圓模型是指利用與給定圖形相關的圓來輔助解題的方法.經過教學實踐和研究，發現輔助圓模型對于提高學生的幾何問題解決能力和空間想象力具有顯著的促進作用.

1 對角互補構造輔助圓

對角互補方式是利用“若四邊形對角互補，則四點在同一圓上”的性質構建輔助圓.通過連接對角的頂點，構造出一個直徑，從而得到一個與原圖形相關的圓.

例1 如圖1，矩形ABCD的對角線相交于O，過點O作OE⊥BD，交AD點E，連接BE，若∠AABE=20°，則∠AOE的大小是（ ）.

（A）10° （B）15° （C）20° （D）30°

圖2

解 如圖2，取BE的中點K.連接AK、OK.因為四邊形ABCD是矩形，所以∠BAE=90°，因為EO⊥BD，所以∠BOE=90°，所以四邊形ABOE對角互補，所以A、B、O、E四點共圓，因為BK=KE，所以KA=KB=KO=KE，所以∠ABE=∠AOE=20°.

本題構造對角互補模型是解題的關鍵，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，定邊對定角確定點O的運動路徑.

2 定弦定角構造輔助圓

固定的線段只要對應固定的角度，那么這個角的頂點軌跡為圓的部分.據此性質，可以唯一確定一個與原圖形相關的圓.

例2 如圖3，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F.當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為 .

圖4

分析 由∠AFC=90°，得點F在以AC為直徑的圓上運動，當點E與點B重合時，此時點F與點G重合，當點E與點D重合時，此時點F與點A重合，則點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為AG的長，然后根據條件求出AG所在圓的半徑及其所對的圓心角，從而解決問題.

解 因為CF⊥AE，所以∠AFC=90°，則點F在以AC為直徑的圓上運動，此時以AC為直徑畫半圓AC，連接OA，當點E與點B重合時，點F與點G重合，當點E與點D重合時，點F與點A重合，因此點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為AG的長.因為點G為OD的中點，所以OG=12OD=12OA=2，又因為OG⊥AB，所以∠AOG=60°，AG=23，已知OA=OC=4，所以∠ACG=30°，AC=2AG=43，因此AG所在圓的半徑為23，圓心角為60°，此時AG的長為60π×23180=23π3.

本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，定角對定弦，弧長公式等知識，確定點F的運動路徑是解題的關鍵.

3 定點定長構造輔助圓

定點定長方式是利用一個固定的點和與之連線長度相等的線段來構建輔助圓.通過選擇一個定點和指定長度，我們可以畫出與原圖形相關的圓.

圖5

例3 已知四邊形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，2a>b.求cos∠DBA的值.

分析 欲求∠DBA的余弦值，需將已知條件構建到一個直角三角形中求解；已知四邊形ABCD中，AB=AC=AD；若以A為圓心，AB為半徑作圓，則此圓必過C、D；延長BA交⊙A于E，則BE為⊙A的直徑，連接DE，在Rt△BDE中，已知BE=2a，需求出BD的長；根據DC∥AB，易證得DE=BC=b，則根據勾股定理即可求得BD的長，由此得解.

圖6

解 以A為圓心，以a為半徑作圓.如圖6所示.延長BA交⊙A于E點，連接ED；因為AB∥CD，

所以∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；又因為AC=AD，∠DCA=∠CDA，所以∠DAE=∠CAB；在△DAE和△CAB中，

AD=AC∠DAE=∠CAB；AE=AB

所以△DAE≌△CAB，

所以ED=BC=b.又因為BE是直徑，所以∠EDB=90°，在Rt△EDB中，ED=b，BE=2a，由勾股定理得ED2+BD2=BE2，因此BD=BE2－ED2=（2a）2－b2=4a2－b2，則cos∠DBA=BDBE=4a2－b22a.

此題主要考查了圓周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能夠通過輔助線構建出⊙A是解答本題的關鍵.

4 結語

在初中數學教學中，輔助圓模型作為重要的解題工具，為學生提供了一種更直觀、更靈活的解決幾何問題的方法.本文揭示了輔助圓模型在幾何解題中的重要作用.未來有待于進一步的拓展和深化，完善其在數學教學中的運用.

參考文獻：

［1］陳伯梅.提升初中學生數學解題能力三部曲［J］.中學數學，2023（24）：62-63.

［2］孫崇美.初中數學解題能力培養教學創新策略芻議［J］.學苑教育，2023（31）：19-21.

［3］呂秀清.初中數學綜合題的解題技巧分析［J］.現代中學生（初中版），2023（20）：21-22.