初中數學常用的解題技巧探討

【摘要】初中數學題目類型多種多樣，為了提升解題效率，在解題過程中應當有效運用解題技巧，增強解題的靈活性，實現快速解題.

【關鍵詞】初中數學；解題技巧；方程組

初中數學作為基礎數學教育的重要組成部分，不僅培養學生的基礎數學知識，更重要的是傳授學生掌握常用的解題技巧.代數方程是初中數學中的重要部分，在解決實際問題中應用廣泛.

例1 若不論k取什么實數，2kx+a3－x－bk6=1（a、b是常數）的根均為x＝1，那么a、b的值是 .

解析 在解代數方程時，要求掌握等式的性質和基本的代數運算，解題時可以移項，將方程中的同類項進行合并，使得方程的右側只剩下常數，左側只剩下含未知數的項.合并同類項，簡化方程.對方程進行變形，使其滿足一元一次方程的標準形式，從而求解未知數.當一個方程中存在兩個未知數時，可以通過代入法消去一個未知數，從而求解另一個未知數［1］.不等式與最值問題也是初中數學中常見的問題類型，解題時要求理解不等式的性質，并能夠求解最值.找出臨界點，將不等式進行分段討論，從而簡化問題.當需要求解最值時，可以利用基本不等式進行求解.在解決不等式問題時，需要進行加、減、乘、除等代數運算［2］.

解 將x＝1代入原方程，得出（b＋4）k＝7－2a，

為了使得等式（b＋4）k＝7－2a滿足k取什么實數都成立，

則b+4=07－2a=0

解得a=72，b=－4

例2 如圖1，AB為圓O的直徑，C為AB延長線上一點，CD切圓O于點D，過點B作AC的垂線交CD于點E，如果AB=CD=2，那么CE的長為（ ）

（A）1. （B） 5－12.

（C）5－52. （D）5+52.

解析 連接半徑OD，由于CD切圓O于點D，根據切線性質，可知OD垂直于CD.又因為AB是圓O的直徑，BE垂直于AC，可以得出∠CBE =∠ODC=90°.由于∠BCE和∠BCD是同角，所以△BCE和△DCO相似，由此可以得出CE=5－52.

圖2

例3 如圖2，點P為x軸正半軸上的一個動點，若過點P作x軸的垂線PQ交反比例函數y=kx于點Q，連接OQ，點P沿x軸正方向運動時，Rt△QOP的面積（ ）？

（A）逐漸增大. （B）逐漸減小.

（C）保持不變. （D）無法確定.

解析 函數與圖像知識是初中數學中的重點和難點，也是后續學習的基石.在解決函數與圖像問題時，需要學生掌握函數的性質，了解圖像的特點，在解題過程中觀察圖像，可以直觀地了解函數的性質和特點.根據函數奇偶性、單調性等性質，判斷函數的圖像［3］.

解 設點P的坐標為（x，0），其中x >0.由于PQ是垂線，所以Q的坐標為x，kx，

根據直角三角形的面積公式，SRt△QOP=12×OP×PQ=12×x×kx=k2，

由于k是常數，所以當點P沿x軸正方向運動時，Rt△QOP的面積保持不變.選C.

圖4

例4 在有一個直角坐標系xOy中，A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q是線段AB上一動點，OQ與過O、C、D三點的圓交于點P.點Q在運動過程中，OP瘙簚OQ的值如何變動（ ）？

解析 在解決幾何問題時，要求掌握基本的幾何定理與性質，觀察幾何圖形，直觀地了解圖形的性質和特點.根據勾股定理、相似三角形定理等基本定理，證明或求解幾何問題.在解決幾何問題時，也可以利用代數方法進行求解.利用坐標系和代數方程表示幾何圖形與性質［4］.

解 分析題意，點Q在線段AB上運動時，OP·OQ的值不變.

證明如下：將PC、DC連接

因為OCOB=ODOA=13，∠COD＝∠BOA＝90°

所以△COD∽△BOA，

所以∠1＝∠A，

因為O、C、P、D四點共圓，所以∠1＝∠2，

所以∠2＝∠A，

因為∠POC＝∠AOQ，

所以△POC∽△AOQ，

因為OCOQ=OPOA，

所以OP·OQ＝OC·OA＝36，

圖5

題目 解以下方程組：

（1）y=7－3x6x－5y=7

（2）4x－y－1=31－y=2.

x2+y3=2

解析 在初中數學中，解方程組是常見的題型，解題時可以采用觀察法，觀察方程組的形式與特點，直接寫出方程組的解，此種方法適用于線性方程組等一些簡單的方程組.也可采用加減消元法與代入消元法等消元法，消除某些變量，將方程組轉化為更簡單的形式.加減消元法將方程進行加減，消除某些變量.代入消元法將一個方程的表達式代入另一個方程，消除某些變量.

結語

初中數學題目類型多樣，不同的題目涉及的考點有所不同，在解題過程中，有效梳理題目中的相關條件，運用相關解題技巧，可以更好地理解與運用數學課程知識.

參考文獻：

［1］黃智增.窮則變變則通——“構造法”巧解初中數學題舉隅［J］.初中數學教與學，2023，（15）：25-27.

［2］張靜.談初中數學解題技巧學習的重要性——以“一元二次方程”為例［J］.數學之友，2023，37（04）：44-46.

［3］花萌.基于創新思維能力培養的初中數學一題多解探索［J］.數學學習與研究，2022，（30）：158-160.

［4］鄭占廈.對初中數學陷阱題及其設計的研究［J］.數學之友，2022，36（24）：49-51.