函數里的“新定義”

【摘要】初中數學中有一類問題是關于“新定義”的問題，面對這類問題有著一定的解題思路，幫助我們在紛雜的數學信息中精準提取所需條件.本文重點講述函數問題中的“新定義”，觀察在這一類問題中的解題思路.

【關鍵詞】初中數學；新定義；函數問題

中考數學有一類問題是“新定義”問題，但是它們真的是一個新的數學定義嗎？我們能不能在題目中提取到所需條件解決問題呢？下面我將重點闡述函數問題中的“新定義”類型題的解題思路，幫助大家解決數學問題中的“紙老虎”——新定義［1］.

1 新定義問題解題思路

題1 若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，abc≠0）與直線l都經過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關系，此時，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”.

（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2－2x+n具有“一帶一路”關系，求m，n的值；

（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數y=6x的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x－4，求此“路線”L的解析式；

（3）當常數k滿足12≤k≤2時，求拋物線L：y=ax2+3k2－2k+1x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.

問題分析 初讀題目，面對紛雜的題目信息，首先我們需要確定新定義滿足的條件有三個：一是存在一個直線和一個拋物線，二是它們兩者有y軸上的共同點，三是拋物線頂點在直線上，而且頂點也是共點.在做題時需要以這三個條件為基礎解題.這樣就可以發現新定義問題其實并不難，他只是給我們的問題創設了一個情境進行解題.我們需要做的就是找出情境的隱含條件進行解題［2］.

解析 題中隱含條件：二者存在y軸上的共同點，拋物線頂點在直線上，這兩點并不相同，

（1）直線為一次函數，與只有一個交點，令直線y=mx+1中的x=0，則y=1，

即直線y=mx+1與拋物線y=x2－2x+n在y軸上的共同點為0，1，

將0，1代入拋物線y=x2－2x+n中，得到n=1，

所以拋物線的解析式為y=x2－2x+1，

得到拋物線頂點坐標為1，0，

該頂點在直線y=mx+1上，故將1，0代入y=mx+1中，得：0=m+1，

得到m=－1，

（2）分析題目，我們可以發現拋物線頂點同時在反比例函數y=6x和“帶線”l：y=2x－4上，故二者交點即為拋物線頂點，聯立兩個函數方程求交點

y=6xy=2x－4x1=－1y1=－6，x2=3y2=2

所以該“路線”L的頂點坐標為（－1，－6）或（3，2），

題中還有一個隱含條件，拋物線與直線存在y軸上的共同點，

令“帶線”l：y=2x－4中x=0，則y=－4，

所以該“路線”L的圖象過點0，－4，

此時我們得到了在“路線”L上的三點坐標，可以根據頂點設頂點式函數表達式為，

y=ax+12－6或y=bx－32+2，

再將最后一點代入函數表達式

－4=a0+12－6或－4=b0－32+2，

解得：a=2，b=－23，

所以該“路線”L的解析式為y=2x+12－6或y=－23x－32+2，

（3）初讀題目，我們首先需要思考的就是如何求出“帶線”l的解析式，第二步就是找到“帶線”l與x軸，y軸的交點，第三步就是寫出三角形面積表達式，根據里面自變量范圍探究面積范圍.

（4）題目隱含條件：拋物線L：y=ax2+3k2－2k+1x+k與“帶線”l存在y軸上的共同點，故讓y=ax2+3k2－2k+1x+k中x=0，則y=k，即該“帶線”l與y軸的交點為0，k，

（5）拋物線方程為L：y=ax2+（3k2－2k+1）x+k，我們可以根據表達式寫出頂點坐標－3k2－2k+12a，4ak－3k2－2k+124a，

至此我們得到了關于“帶線”l的兩個點，兩點確定一個直線，故可以設“帶線”l的解析式為y=px+k，

因為點－3k2－2k+12a，4ak－3k2－2k+124a

在y=px+k上，

所以4ak－3k2－2k+124a

=－p·3k2－2k+12a+k，

解得p=3k2－2k+12，

所以“帶線”l的解析式為

y=3k2－2k+12x+k，

令“帶線”l：y=3k2－2k+12x+k中y=0，

則0=3k2－2k+12x+k，

解得x=－2k3k2－2k+1，

即該“帶線”l與x軸的交點為－2k3k2－2k+1，0，與y軸的交點為0，k，

此時我們就可以列出該“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積表達式

S=12－2k3k2－2k+1×k

=k23k2－2k+1，

注意：此時我們不知道寫的坐標的正負值，長度一定要取絕對值.

因為12≤k≤2

所以12≤1k≤2

所以S=k23k2－2k+1=13－2k+1k2

=11k－12+2

此時我們可以發現分母是一個二次函數，當這個二次函數在范圍內取到最大值時，三角形面積最小，當二次函數取到最小值時，面積最大，拋物線頂點在范圍內，得面積最大值，比較兩個范圍邊緣值，得最小值

當1k=1時，S有最大值，為12；

當1k=2時，S有最小值，為13

故拋物線L：y=ax2+3k2－2k+1x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為13≤S≤12

2 結語

“新定義”問題中我們一定要謹記新定義指的不是一個新的數學概念，而是題目隱含的必須條件.我們所有的求解都是建立在這個隱含條件上的，脫離這個大范圍求解就會發生錯誤.“新定義”不是概念，而是情境［3］.

參考文獻：

［1］陳立雪，王麗萍.一道中考數學新定義問題的多角度分析［J］.新課程教學（電子版），2022，（24）：69-72.

［2］顧曉峰.例談新定義問題的特點與解題路徑［J］.數學教學通訊，2022，（06）：58-60.

［3］魏綺蕓.“新定義”問題的解題策略［J］.課程教育研究，2019，（32）：136.