例析初中數學常見勾股定理模型

【摘要】初中數學中勾股定理屬于重要且無可替代的內容，與勾股定理相對應的模型是解答這些問題的主要思路，也是學生在學習過程中應重視的部分內容.常見的勾股定理模型有風吹樹折模型、出水芙蓉模型、螞蟻爬行模型等.本文主要結合具體例題介紹三類勾股定理模型，給出相關圖形特點和解題思路，幫助學生們更熟練地應用勾股定理解題.

【關鍵詞】初中數學；勾股定理；模型分析

1 出水芙蓉模型

出水芙蓉模型具體是指固定線段長度在垂直位置和傾斜位置上形成直角三角形模型，應用勾股定理并運算能夠得出相關線段長度.這種模型在勾股定理中應用的關鍵在于找出直角三角形圖形，代入具體值運算求解，就能得到答案.

例1 如圖1，牛奶盒的長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm，現有一長為16cm的吸管插入盒子底部，則吸管漏在盒外面的部分hcm的取值范圍為（ ）

圖1

（A）3＜h＜4 . （B）3≤h≤4 .

（C）2≤h≤4 . （D）h=4.

思考 該題屬于出水芙蓉模型勾股定理選擇題，即吸管豎直放置和傾斜放置能夠構成直角三角形，此時用固定長度減去構成直角三角形的斜邊是問題所求最小范圍，豎直情況對應最大范圍，即可得知正確選項.

解析 ①當吸管放進牛奶盒里垂直于底面時露在牛奶盒外的長度最長，

最長為16－12=4cm；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面對角線長32+42=5cm，高為12cm，

由勾股定理可得：牛奶盒里面吸管長52+122=13cm，

則露在牛奶盒外的長度最短為16－13=3cm，

所以3≤h≤4，正確答案為選項（B）.

2 螞蟻爬行模型

螞蟻爬行模型具體是指在幾何體的頂點沿表面走直線后得到的最短或最長線段距離，解答過程中通常需要展開幾何體表面，使其平面化后應用勾股定理求其長度，綜合比較得到最合適的答案.

例2 如圖2，一只螞蟻在一個長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在長方體的對角頂點G處，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，則最短的爬行距離是.

圖2

思考 不同頂點連線情況不同，展開長方體后可能會出現三種不同情況，分別得到具體直角三角形，代入具體值并運算比較，即可得到最短的爬行距離.

解析 把長方體展開，有三種情況：

①當螞蟻從點A出發經過EF再到G時，如圖3所示：

圖5

因為BC=5cm，

所以FG=BC=5cm，

即BG=5+6=11cm，

在Rt△ABG中，AG=32+112=130cm；

②當螞蟻從點A出發經過BF再到G時，如圖4所示，

因為AB=3cm，BC=5cm，

所以AC=3+5=8cm，

因為BF=6cm，

所以CG=BF=6cm，

在Rt△ACG中，AG=82+62=10cm；

③當螞蟻從點A出發經過EH再到G時，如圖5所示，

因為AE=6cm，EF=3cm，FG=5cm，

所以AF=9cm，

在Rt△AFG中，AG=92+52=106cm；

因為130＞106＞10，

所以最短距離為10cm.

3 垂美四邊形模型

當四邊形的兩條對角線互相垂直時，該四邊形被稱為垂美四邊形，在求解問題的過程中可以構造垂美四邊形或直接運用該模型，代入勾股定理進行運算求解，即可得到問題所求值.

例3 對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，現有如圖6所示的垂美四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，若AD=2，BC=4，AB2+CD2=.

圖6

思考 首先直接應用垂美四邊形模型，找到其中包含的直角三角形并運用勾股定理，代入具體值進行求解，即可得到相關值.

解析 因為四邊形ABCD是垂美四邊形，

所以AC⊥BD，

所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理可得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

所以AD2+BC2=AB2+CD2，

因為AD=2，BC=4，

所以AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20.

4 結語

上述例題分別介紹了三種勾股定理相關的模型，出水芙蓉模型、螞蟻爬行模型和垂美四邊形模型具有各自不同的圖形特點，需要學生們熟悉和掌握并應用在不同問題中.

參考文獻：

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