分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】初中學(xué)生無論是在知識結(jié)構(gòu)層面還是思維方式及能力方面，同小學(xué)時期相比均得到大幅度的提升，他們可以更為精準(zhǔn)的領(lǐng)悟與感知抽象思維方式，分類討論思想是對試題進(jìn)行分類解讀，為其正確、快速的解答數(shù)學(xué)題目提供一種切實可行的方式.本文主要對分類討論思想如何在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用進(jìn)行分析和研究，同時分享一系列解題實例.

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

從本質(zhì)視角來看，其實分類討論思想屬于邏輯劃分的一種特殊思維方式，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具體表現(xiàn)是“化整為零”，將一個大問題分成多個小問題以后逐個擊破，最后再積零為整.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想占據(jù)著關(guān)鍵地位，既是一種特殊的邏輯思維方式，還是一個重要的解題策略，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用分類討論思維，幫助他們輕松解決數(shù)學(xué)試題.

1 應(yīng)用分類討論思想解答方程類試題

例1 請問當(dāng)m為何整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x+4=0與x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整數(shù).

分析 在本道題目中，直接點明是一道一元二次方程試題，因為這是題目中明確給出的條件，說明試題中的兩個方程二次項系數(shù)均不能為0，雖然m的值不能為0，但是m有一個具體的取值范圍，所以需使用分類討論思想，對m的實際取值展開分類討論［1］.

詳解 因為這兩個方程均是一元二次方程，

所以這兩個方程的二次項系數(shù)都不能為0，

其中方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的二次項系數(shù)為1，

變數(shù)就在方程mx2－4x+4=0的二次項系數(shù)上面，

即為m≠0，

則Δ1≥0，

解得m≤1，

同理Δ2≥0，

解得m≥－54，

綜合起來可得-54≤m≤1，且m≠0，

又因為m為整數(shù)，

所以m=1或者m=－1，

這時需要進(jìn)行分類討論，

①當(dāng)m=1時，這兩個方程的根均為整數(shù)；

②當(dāng)m=－1時，第一個方程的根為x=－2±22，并非整數(shù)，故要舍去；

所以說最終答案是當(dāng)m=1時，這兩個方程的根均為整數(shù).

2 應(yīng)用分類討論思想解答函數(shù)類試題

例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，其中當(dāng)-3≤x≤1時，y的值為1≤y≤9，請問kb的值為（ ）

（A）14. （B）－6.

（C）－6或21. （D）－6或14.

分析 處理這樣一道一次函數(shù)類試題時，假如思考得不夠全面，學(xué)生們習(xí)慣于把系數(shù)k當(dāng)作正數(shù)來解答，求出的結(jié)果就只有一種，再加上這是一道選擇題，將會選出錯誤選項，其實經(jīng)過對題目內(nèi)容的認(rèn)真閱讀能夠發(fā)現(xiàn)，題目中并沒有指明該一次函數(shù)一次項的系數(shù)k是正數(shù)、還是負(fù)數(shù)，故而可能存在正、負(fù)這兩種情況，所以需用到分類討論思想完成解題［2］.

詳解 因為當(dāng)-3≤x≤1，y的值為1≤y≤9，

所以要對一次項的系數(shù)k分成兩種不同情況進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)k>0時，該一次函數(shù)的值y將會隨著自變量x的增加而增大，

由此獲得位于該一次函數(shù)上面兩個點的坐標(biāo)，分別是（－3，1）和（1，9），

然后將坐標(biāo)（－3，1）和（1，9）分別代入到函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中，

可以得到1=－3k+b9=k+b，

解得k=2，b=7，

那么kb=2×7=14.

②當(dāng)k<0時，該一次函數(shù)的值y將會隨著自變量x的增加而減小，

同樣可以得到位于該一次函數(shù)上面兩個點的坐標(biāo)，分別是（－3，9）和（1，1），

然后將坐標(biāo)（－3，9）和（1，1）分別代入到函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中，

可以得到9=－3k+b1=k+b，

解得k=－2，b=3，

那么kb=－2×3=－6.

所以說正確答案是（D）選項.

3 應(yīng)用分類討論思想解答幾何類試題

例3 在圖1中，有一個△ABC，其中∠B為銳角，從頂點A往邊BC或者其延長線作垂線，同BC相交于H點，又從頂點C往邊AB或者其延長線作垂線，同AC相交于K點，當(dāng)2BHBC與2BKBA的值均為正整數(shù)時，請判定出△ABC的具體形狀，且加以證明.

圖1

分析 由于題干中只說明2BHBC與2BKBA的值均為正整數(shù)，并沒有指出具體值，故這里要對它們的值進(jìn)行分類討論，在不同情況下△ABC的形狀也不同［3］.

詳解 設(shè)2BHBC=x，2BKBA=y，

則x、y都是正整數(shù)，xy<4，

那么x、y要分五種情況進(jìn)行討論，

①x=1，y=1，

這時BC=2BH，AB=2BK，△ABC是等邊三角形；

②x=1，y=2，

這時BC=2BH，AB=BK，△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形；

③x=1，y=3，

這時BC=2BH，AB=23BK，△ABC是以∠BAC=120°的等腰三角形；

④x=2，y=1，

這時同第②種情況類似，△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形；

⑤x=3，y=1，

這時同第③種情況類似，△ABC是以∠ACB=120°的等腰三角形.

4 結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中，教師應(yīng)意識到分類討論思想這一解題策略的作用和功效，平常講授理論知識時注重分類討論思想的滲透，指引學(xué)生根據(jù)具體題目靈活、恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用分類討論思想，使其通過分類討論降低解題難度，逐步提高他們的數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］徐芳.基于分類探討思想的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)改革研究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（23）：39-41.

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［3］劉新.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用探究［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（11）：57-58+61.