例析反比例函數中k的幾何意義的應用

【摘要】反比例函數問題是初中數學的一類經典問題，其中反比例函數的比例系數k在解答此類問題時具有重要的作用.對比例系數k的幾何意義的合理運用是解題的關鍵，同時也體現了數形結合的數學思想.本文將結合幾道例題談談反比例函數中k的幾何意義的實際應用方法.

【關鍵詞】 反比例函數；初中數學；解題技巧

1 確定比例系數k的大小

比例系數k的幾何意義最直接的應用必然是用于求解其大小.結合一些基本幾何圖形的面積公式，求得與k有關的圖形的面積，即可求得k值.

例1 如圖1所示，雙曲線y=kx（k>0）經過直角三角形OAB斜邊OB的中點D，且與直角邊AB相交于點C.若S△OBC=3，則k=.

圖1

解 取AO的中點E，連接DE.

因為點D是直角三角形OAB斜邊OB的中點，所以線段DE是三角形OAB的中位線.

由中位線的性質可得DE∥AB，DE=12AB.

因為BA⊥OA，所以DE⊥OA，

因為S△ODE=14S△OBA=12k，所以S△OBA=2k.

又因為S△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，即k=2.

評析 一般來說，可以根據反比例函數下包含的圖形的面積結合題目的已知條件進行運算，從而得到有關k的圖形的面積大小，由此即可解得k.

2 求解角度的大小

除了直接應用面積來求解問題，還可以通過等面積法、割補法等方法將其他如角度之外的幾何量與面積建立聯系，從而求解出角度大小.

例2 如圖2所示，A、B兩點分別在雙曲線y=1x和y=－3x的圖像上，且OA⊥OB，則∠OAB=.

圖3

解 如圖3所示，因為OA⊥OB，

所以△OAB是直角三角形.

要想求出∠OAB的大小，可使用銳角三角函數，即求出△OAB中某兩條邊的比值.

因此作AC⊥y軸，

所以∠CAO+∠AOC=90°.

又因為∠BOD+∠AOC=90°，

所以∠CAO=∠DOB，

則Rt△OBD～Rt△AOC.

所以OB2OA2=S△OBDS△AOC.

依據比例系數k的幾何意義，

可得S△AOC=12，S△OBD=32，

所以OB2OA2=3，則tan∠OAB=OBOA=3，

所以∠OAB=60°.

評析 角度問題也經常融合在反比例函數中.在銳角三角函數知識的支撐下，角的大小問題可以轉化為線段比值問題，之后線段比值問題又可以變為面積的比值問題，這樣就可以利用比例系數k的幾何意義來求得面積的比值，從而得到角的大小.

3 比較圖形面積的大小

將比較面積大小的問題轉化為比較比例系數k的大小問題，更為直觀.

例3  如圖4所示，直線l和雙曲線y=kx（k>0）交于A、B兩點，點P是線段AB上的點（不同于A、B兩點），過點A、B、P分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP.設△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，△POE的面積為S3，則S1、S2、S3的大小關系是.

圖4

解 由題意可得A、B兩點都在雙曲線y=kx（k>0）上，則S1=S2.

而在線段AB之間，直線在雙曲線的上方，故S1=S2<S3.

評析 這是比例系數k較為直觀的應用.通過不同圖形與反比例函數之間不同的關系，就可以得到圖形面積的大小關系，避免了繁雜的計算.

4 求解多邊形背景下的反比例函數問題

多邊形問題是平面幾何問題中較為復雜的一類圖形問題，其與反比例函數結合，難度進一步加大.但是此類題目都有解題的突破點，可以將比例系數k的幾何意義作為一個思路.

例4 如圖5所示，四邊形OABC是菱形，連接AC，過點C作CE⊥AC，交x軸負半軸于點E，連接BE，雙曲線y=kx（k≠0，x<0）圖像經過CE上的兩點C、D，且CD=DE，△BCE的面積為15，則k=.

圖5

解 如圖6所示，過點C作CG⊥OE，過點D作DF⊥OE.

圖6

因為CD=DE，

所以DF是△ECG的中位線，

則EF=FG，DF=12CG.

因為D、C兩點在y=kx上，

所以S△OCG=S△ODF=12|k|.

因為S△OCG=12OG·CG，S△ODF=12OF·DF，

所以OF=2OG，即OE=3OG.

所以S△OCG=13S△OCE.

因為四邊形OABC是菱形，

所以AC⊥OB.

因為CE⊥AC，所以EC∥OB，

則S△OCE=S△BCE=15，則12|k|=5.

因為圖像在第二象限，所以k=－10.

評析 與多邊形融合的反比例函數問題較為復雜，但是可以以比例系數k的幾何意義為導向，嘗試找到幾何量與其的關系，即可解得答案.

5 結語

數形結合思想是解答初中數學問題的重要思想.在解決有關反比例函數的問題時，充分運用比例系數k的幾何意義有時能有意想不到的效果.