一道新定義幾何綜合題的解答

【摘要】新定義問題是中考的熱點問題之一，此類問題要求學生能夠現學現用、理解新知，不但考查學生的基礎數學知識與解題能力，以及閱讀理解能力，而且考查學生的應變能力.本文以一道新定義幾何綜合題的解答，發展學生的自主學習能力與主動探究的數學素養.

【關鍵詞】新定義；初中數學；問題解答

1 題目呈現

例題 （山東東營中考）在線段AB上取中點O，在直線l上有一點P，過點A和點B分別作直線l的垂線段，記垂足為點C和點D ，將中點O與垂足C和D之間的距離稱之為“足中距”.

（1）如圖1，若點O與點P重合，則“足中距”OD與OC的長度大小關系為；

（2）如圖2，若點P在線段AB上移動時，“足中距”OD與OC的長度大小關系是否仍然同（1）的結論一樣？若一樣，請推理證明；若不一樣，請給出正確的式子，并證明；

（3）如圖3，①若點P在線段AB的反向延長線上移動時，“足中距”OD與OC的長度大小關系是否仍然同（1）的結論一樣？為什么，并給出證明過程；

②如果∠DOC=60°，三條線段CO，DB，CA之間有怎樣的數量關系.

圖2

圖3

2 解題分析

題目引出新的概念“足中距”，基于類比思想，在探索中培養學生的邏輯推理能力和舉一反三的能力.

第（1）問，證明Rt△AOC≌Rt△BOD.

第（2）問類比第（1）問的方法，只需構造以OC，OD為對應邊的全等三角形，即過點O作直線EF∥CD，交BD于點F，延長AC交EF于點E，證明△COE≌△DOF（SAS），可得結論.

第（3）①問，構造全等三角形，結合直角三角形的性質進行判斷．即：延長CO交BD于點E，證明△AOC≌△BOE（AAS），得CO=OE，再利用直角三角形斜邊中線的性質解決問題即可.

第（3）②問結論：AC+BD=3OC，利用等邊三角形的判定和性質，以及全等三角形的性質進行證明，轉化相等線段后進行判斷即可.

3 試題解答

解：（1）猜想：OC=OD.

理由：如圖1中，

因為AC⊥CD，BD⊥CD，

所以∠ACO=∠BDO=90°.

因為點O是AB的中點，

所以OA=OB.

在△AOC與△BOD中，∠ACO=∠BDO∠AOC=∠BODOA=OB，

所以△AOC≌△BOD（AAS）.

所以OC=OD.

（2）數量關系依然成立．

理由：如圖4，過點O作直線EF∥CD，交DB于點F，延長AC交EF于點E，

圖4

因為EF∥CD，

所以∠DCE=∠E=∠CDF=90°.

所以四邊形CEFD為矩形，

所以∠OFD=90°，CE=DF，

由（1）知，OE=OF.

在△COE與△DOF中，

CE=DF∠CEO=∠DFO，OE=OF

所以△COE≌△DOF（SAS）.

所以OC=OD.

（3）①結論成立．

理由：如圖5中，延長CO交DB的延長線于點E，

因為AC⊥CD，BD⊥CD，

所以AC∥BD，

所以∠CAP=∠DBP，

所以∠CAO=∠EBO.

圖5

因為點O為AB的中點，

所以AO=BO，

又因為∠AOC=∠BOE，

所以△AOC≌△BOE（AAS），

所以CO=OE，

因為∠CDE=90°，

所以由直角三角形的中線得OD=OC.

②結論：AC+BD=3OC.

理由：如圖5中，

因為∠COD=60°，OD=OC，

所以△COD是等邊三角形，

所以CD=OC，∠OCD=60°.

因為∠CDE=90°，

所以tan60°=DECD，

所以DE=3CD，

由（3）①得△AOC≌△BOE，

所以AC=BE，

所以AC+BD=DE=3CD=3OC.

4 解題總結

本題是一道中考壓軸題，它以新定義的形式，定義“足中距”，要求學生讀懂閱讀材料中新定義的內涵——“垂足與中點之間的距離”，在每個圖中，認識“足中距”指哪兩條線段；我們要通過圖形直觀，先判斷“足中距”的大小關系，再結合已學過的幾何定理、性質，如：三角形全等的判定與性質、特殊四邊形的判定與性質、直角三角形的判定與性質進行分析、推理，運用幾何變換思想、從特殊到一般思想、類比思想，添加輔助線，不斷深化對問題的認識與理性思考，促進問題解決.

解決新定義問題時，我們要正確理解新定義的概念或運算，再將此概念或運算作為解題的依據，將其轉化為已學過的知識進行求解.我們要深刻領會新定義的內涵，綜合運用數學思想和方法，從新定義的本質出發，結合已學過的數學基礎知識、技能，通過類比來實現新知識的遷移.