關于菲涅爾透鏡半徑上限的討論

摘 要：第34屆全國中學生物理競賽復賽第八題認為，平行于光軸的入射光發生全反射時對應的半徑，即為菲涅爾透鏡半徑的上限。本文從理論和實證表明，全反射現象只發生于一個特定的半徑處，大于該半徑處全反射現象不再存在，不能將此半徑作為菲涅爾透鏡半徑的上限。

關鍵詞：菲涅爾透鏡；全反射；物理競賽

1 菲涅爾透鏡

菲涅爾透鏡又稱同心圓階梯透鏡，是由法國物理學家奧古斯汀·讓·菲涅爾（Augustin-Jean Fresnel）發明的。它由很多個同軸環帶套在一起構成，其迎光面是平面，折射面除中心是一個球冠外，其他環帶分別屬于不同球面的球臺側面，其縱剖面示意圖如圖1所示。這樣的結構可以避免普通大口徑球面透鏡既厚又重的缺點。菲涅爾透鏡因其口徑大、質量輕、厚度薄、結構緊湊、可利用復制技術精確地大批生產等優點，在顯示成像、太陽能電站、航空航海燈塔、紅外成像等領域都有應用，具有重要的商業和軍事應用價值。

2 菲涅爾透鏡的設計

菲涅爾透鏡的設計主要是確定每個環帶的齒形（即它所屬球面的球半徑和球心位置），各環帶都是一個獨立的（部分）球面透鏡，它們的焦距不同，但必須保證具有共同的焦點（即圖1中F點）。

設透鏡材料的折射率為n，從透鏡中心O（球冠的頂點）到焦點F的距離（焦距）為f（平行于光軸的光都能經環帶折射后會聚到F點），相鄰環帶的間距為d（d很小，可忽略同一環帶內的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效應）。

考慮單個球面的折射。設某一與光軸距離為h的光線平行于光軸Z從折射率為n的介質中射向半徑為R、球心位于C點的球面（如圖2所示），入射點為球面上的A點，CA為球面半徑，入射角為α，球面外是空氣，折射角為β，折射光線與Z軸交點為F。經A點作Z軸的垂線，垂足為O。由折射定律有

sin β＝nsin α，①

在△ACF中，由正弦定理有

CFsin β＝AFsin α，②

由勾股定理有

AF＝AO2＋OF2，R＝AO2＋CO2，③

又CO＝CF-OF，AO＝h，OF＝f，④

由以上各式可得

CF＝nh2＋f2，⑤

R＝（n2＋1）（h2＋f2）-2nfh2＋f2，⑥

在制作給定焦點和焦距的菲涅爾透鏡時，應按⑤⑥兩式來確定各環帶球面的球心在光軸上的位置和球半徑。對第k（k＝0，1，2，…）個環帶球面，其球心與焦點的距離和球半徑分別為

CkF＝nk2d2＋f2，⑦

Rk＝（n2＋1）（k2d2＋f2）-2nfk2d2＋f2。⑧

3 菲涅爾透鏡的全反射臨界半徑

當f確定而h取某一值hm時，圖中∠CAF為直角，這意味著光線的入射角達到全反射的臨界角αC。在此情況下有

sin αC＝1n＝fh2m＋f2，⑨

得

hm＝n2-1f，⑩

即在此處，與光軸平行的入射光發生全反射而不能聚焦。

4 菲涅爾透鏡半徑的上限

4.1 競賽真題對半徑上限的確定

第34屆全國中學生物理競賽復賽第八題第（2）問為“求該透鏡的有效半徑的最大值和有效環帶的條數?！保?］參考解答正是按前文思路計算出全反射的臨界位置，即⑩式，然后將此作為透鏡的半徑上限并由此求出有效環帶的條數。那么，若半徑超出⑩式所對應的區域，入射光會由于全反射而不能會聚嗎？

4.2 發生全反射的區域

要使平行于光軸入射的光線發生全反射，應滿足的條件為

sin α＝hR≥1n，B11

由⑥B11兩式可得

nf-h2＋f22≤0。B1２

可見，只有當nf＝h2＋f2，即hm＝fn2-1時會發生全反射，當h大于此值后，入射角仍小于臨界角，全反射現象將不再發生，即平行于光軸的入射光依然能會聚于焦點處。

也可以不對B11式做復雜的變形運算，令x＝hf，構造函數

F（x）＝sin α-1n＝x（n2＋1）（x2＋1）-2nx2＋1-1n。

該函數值小于0，表示不會發生全反射；函數值大于等于0，表示會發生全反射。如圖3所示為該函數的圖像（取n＝1.5），該函數只有一處取值為0，可見，除了一處發生全反射外，其余各處均不會發生全反射。那么，是不是在臨界位置附近，雖然理論上沒有全反射，但出射光強太弱以致于菲涅爾透鏡的半徑都不能超過此位置呢？

4.3 實物證據

筆者聯系了生產某品牌菲涅爾透鏡的廠家，他們提供的商品目錄和參數顯示，菲涅爾透鏡的半徑上限并不受全反射現象影響（如表1所示）。

筆者購買了其中的第1款，該款透鏡的半徑超出全反射臨界半徑最多。用如圖4所示裝置對該透鏡進行檢測，實驗部分結果如圖5和圖6所示（為了方便印刷，將照片亮度做了適當調整）。由此可見，半徑超出全反射臨界半徑（99.4mm）的部分對平行于光軸的光線的會聚作用正常。

綜合上述理論計算和實物證據，菲涅爾透鏡因全反射現象而存在半徑上限的結論是不可靠的，第34屆全國中學生物理競賽復賽第八題第（2）問及參考解答值得商榷。實際的菲涅爾透鏡由于加工精度等因素的確存在半徑上限，很難將半徑做到1 000mm及以上，但這與前文所述的全反射現象無關。［2，3］

參考文獻

［1］ 全國中學生物理競賽委員會.全國中學生物理競賽專輯2018［M］.北京：北京大學出版社，2018：46-60.

［2］ 關佳亮，馬新強，曹成國，等.大直徑菲涅爾透鏡模具加工機理［J］.北京工業大學學報，2015，41（2）：161-166.

［3］ 楊茂華，田兆碩，尹田田，等.高效大尺寸短焦距菲涅爾透鏡設計［J］.哈爾濱工業大學學報，2015，47（11）：98-101.