構(gòu)思想方法路徑 破高考垂直難題

彭劍峰 劉存華

摘 要：立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理的重要載體，在歷年高考中呈現(xiàn)“占比大、失分高”的特點(diǎn)。課題組通過梳理學(xué)生在立體幾何中的學(xué)習(xí)障礙，并對53份歷年數(shù)學(xué)高考卷進(jìn)行分析，根據(jù)高中課程內(nèi)容構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，以知識、思想體系為核心，分類突破“空間垂直證明”的難題，從而為教師教學(xué)和學(xué)生答題提供可行性幫助。

關(guān)鍵詞：垂直證明；知識體系；立體幾何；空間垂直證明

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）14-0097-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的六大核心素養(yǎng)中的直觀想象，指的是學(xué)生利用空間想象結(jié)合幾何圖形的直觀性來解決問題的品格與能力［1］。雖然新版教材的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)過了刪減，但立體幾何內(nèi)容在高中課程中仍然占有一席之地，考試大綱也要求“高中生需要具備理解空間中線、面的平行與垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理的能力，并能證明相關(guān)命題”。立體幾何內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯性，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體，且立體幾何內(nèi)容也非常豐富，具有極高的教育研究價值。特別是歷年高考全國卷中均對“立體幾何”進(jìn)行了考查，考查題型多以“小題（選擇、填空）+解答題”為主。然而，高中生立體幾何的學(xué)習(xí)是否存在障礙？高考中立體幾何的考查側(cè)重點(diǎn)是什么？如何突破高考幾何證明難題？基于這些問題，本研究通過梳理高中生立體幾何學(xué)習(xí)障礙，繼而對數(shù)學(xué)高考卷中的立體幾何考題進(jìn)行分析，結(jié)合高中課程內(nèi)容提出空間垂直證明的解題思路，并以高考真題為例進(jìn)行分類歸納和總結(jié)，讓學(xué)生達(dá)到“以一題會一類”的目標(biāo)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會處理證明難題，以期為教師的教學(xué)提供參考和啟發(fā)。

一、研究基礎(chǔ)

（一）文獻(xiàn)研究

以“高中立體幾何學(xué)習(xí)”為主題進(jìn)行檢索并篩選出2017—2023年的22篇碩士論文，采用文獻(xiàn)研究法進(jìn)行研究。22篇碩士論文大多采用問卷調(diào)查、試卷測試法、訪談法對高中階段三個年級學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)狀調(diào)查和分析。通過梳理上述研究我們發(fā)現(xiàn)，高中生立體幾何學(xué)習(xí)障礙大多集中在：提取障礙（知識應(yīng)用、方法選擇不合理）、認(rèn)知障礙（空間想象能力、邏輯推理能力水平低）、操作障礙（證明思路不清晰、作答不規(guī)范）［2］。因此，本研究提出構(gòu)建知識和思想體系，旨在解決立體幾何學(xué)習(xí)三大障礙。

（二）高考研究

高考作為我國選拔人才的重要方式之一，而數(shù)學(xué)學(xué)科更是在高考中發(fā)揮著舉足輕重的作用。因此，研究高考試題極具價值，有利于了解高考指揮棒的方向，把握高考的重難點(diǎn)，明晰考試常見的出題模式。

本研究選取了近七年（2017—2023年）的文科卷、理科卷的53份高考題，主要包含的卷別為全國甲卷、全國乙卷、全國新高考Ι卷、全國新高考Ⅱ卷、全國Ι卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷、浙江卷、上海卷、北京卷、天津卷、江蘇卷、山東卷，并且以其中的“立體幾何”解答題為研究樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。因各地各卷對立體幾何的考查和賦分不一致，本研究主要探究考點(diǎn)集中趨勢、考查方向和考查難度，主要進(jìn)行考點(diǎn)的頻次統(tǒng)計(jì)（基本考查方向和情況如下頁表1所示）。

由表1可知，文科卷的垂直證明占比為35%—53.3%，理科卷相對少一些，占比為33.3%—37.6%。但是值得關(guān)注的是，除2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）外，其他年份對“垂直關(guān)系證明”考查的占比遠(yuǎn)高于“體積面積”“角度”“平行”“其他”四類，這說明“垂直關(guān)系證明”在高考中占有相當(dāng)大的比重。通過進(jìn)一步深入分析我們發(fā)現(xiàn)，在2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）三次考試中，理科的第（2）小問著重考查二面角，這就是“角度”頻次高的原因。從知識層面進(jìn)行分析，若使用空間向量的方法，需要建立空間直角坐標(biāo)系和計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)，此過程需要依賴垂直的相關(guān)知識；若使用歐氏幾何方法求解線面角和二面角，角度的確定和構(gòu)造與線面垂直、面面垂直關(guān)系密切［3］，因此也是側(cè)面考查垂直關(guān)系的證明和判定。

綜上所述，垂直在高考立體幾何中的考查比例最大，其重要性不言而喻。但是，根據(jù)上述文獻(xiàn)研究和調(diào)查分析得知，學(xué)生的作答情況并不樂觀，立體幾何中的“垂直問題”應(yīng)引起一線教師的重視。

（三）策略研究

學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中存在諸多困難，體現(xiàn)為提取障礙、認(rèn)知障礙和操作障礙。而高考立體幾何的考查又以“垂直關(guān)系的證明”為主，所以本研究提出“通過建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)體系”的方法，以解決垂直關(guān)系證明的難題（具體網(wǎng)絡(luò)如圖1所示）。

策略解析：一是構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系，破解提取障礙。學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下構(gòu)建知識體系，明確“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間的關(guān)聯(lián)，在做題時可運(yùn)用體系中的“定義”“判定”“性質(zhì)”進(jìn)行組合搭配，形成做題思路和方法。二是掌握知識轉(zhuǎn)化關(guān)系，破解認(rèn)知障礙。在轉(zhuǎn)化和化歸思想下，學(xué)生可在新知學(xué)習(xí)和作業(yè)練習(xí)中反復(fù)訓(xùn)練“線線”“線面”“面面”之間的推理過程。同時，抓住題目中的關(guān)鍵條件或者信息輔助解題，可逐步解決認(rèn)知障礙。三是運(yùn)用定義定理證明，破解操作障礙。學(xué)生在日常訓(xùn)練中應(yīng)總結(jié)所運(yùn)用的知識，并嚴(yán)格要求作答時結(jié)合題目條件“翻譯”成定理內(nèi)容，在證明過程中呈現(xiàn)出定義定理，以達(dá)到踩點(diǎn)得分的規(guī)范效果［4］。

二、試題分析

（一）“線線垂直類”題型分析

1.真題再現(xiàn)及解答思路分析

“線線垂直類”題型例題：（2021年全國新高考Ι卷第20題的第1問）如圖2所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)。

（1）證明：OA⊥CD；（2）略。

2.考點(diǎn)及思路分析

本題考查線線垂直的證明，該證明過程秉持由復(fù)雜到簡單的化歸思想，欲證“線線垂直”可先從“面面垂直”入手，因此可執(zhí)行圖1中的“面面垂直→線面垂直→線線垂直”的證明路徑。證明過程中主要關(guān)注面面垂直和中點(diǎn)兩個條件，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的定義可解（如圖3所示）。

3.解題規(guī)律及方法總結(jié)

證明“線線垂直”一般有如下方法［5］。①幾何法：通過“面面垂直、線面垂直、線線垂直”的路徑證明（如例題1、2019年浙江卷、2019年江蘇卷、2017年江蘇理科卷、2021年全國文科甲卷、2020年全國Ⅲ文科卷、2018年天津文科卷）。②向量法：證明兩條直線所在的向量的方向向量的數(shù)量積為0（如2021年全國理科甲卷、2020年天津文科卷）。③轉(zhuǎn)化法：通過證明目標(biāo)線的平行線與另一條線垂直（如2021年浙江理科卷、2020年浙江理科卷）。

（二）“線面垂直類”題型分析

1.真題再現(xiàn)及解答思路分析

“線面垂直類”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問）如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，棱PC的中點(diǎn)為N，連接DN。

（1）求證：PA⊥平面PCD；（2）略。

2.考點(diǎn)及思路分析

本題主要考查線面垂直，該證明運(yùn)用了面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的定義和線面垂直的判定三個知識點(diǎn)，雖然有所輾轉(zhuǎn)，但核心思路是一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，兩組“線線垂直”可通過“線面垂直”“菱形對角線”“勾股定理”等途徑來構(gòu)造和證明（如圖5所示）。

3.解題規(guī)律及方法總結(jié)

證明“線面垂直”一般有如下方法。①轉(zhuǎn)化法：證明目標(biāo)線的平行線垂直于平面，從而間接證明線面垂直（如2020年全國新高考卷）。②判定法：利用線面平行的判定定理證明線線垂直得到線面垂直（如2019年北京卷）。③輾轉(zhuǎn)法：證明路徑為“面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直”，其本質(zhì)仍然是判定定理的運(yùn)用，但是此類方法需要學(xué)生有完整的知識體系（如2019年天津文科卷）。④向量法：本質(zhì)為證明直線的方向向量為平面的法向量，即為直線的方向向量和平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積均為0（如2018年浙江文科卷）。

（三）“面面垂直類”題型分析

1.真題再現(xiàn)及解答思路分析

“面面垂直類”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問）如圖6所示，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，AD=[2]，點(diǎn)M在棱BC上。

（1）若點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)，證明：平面PAM⊥平面PBD；（2）略。

2.考點(diǎn)及思路分析

本題考查了面面垂直的證明，該證明過程主要圍繞“面面垂直的判定定理”進(jìn)行，關(guān)鍵點(diǎn)在其中一個平面內(nèi)找到一條垂直于另外一個平面的直線，因此問題就轉(zhuǎn)化為證明線面垂直和線線垂直。通過對近五年高考試題中涉及的25道面面垂直類型題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)絕大部分題均可通過此方法進(jìn)行證明（如圖7所示）。

3.解題規(guī)律及方法總結(jié)

證明“線面垂直”一般有如下方法。①幾何法：通過面面垂直的判定來證明，其核心是證明線面垂直，因此遵循的路徑應(yīng)當(dāng)是“線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直”（如例題3、2021年全國新高考Ⅱ卷）。②定義法：作出二面角的平面角，進(jìn)而證明該角度為90°。③向量法：證明兩個平面的法向量垂直，即證明垂線的方向向量的數(shù)量積為0。④轉(zhuǎn)化法：兩個平行平面中的一個平面與另一個平面垂直，則另一個平面也與第三個面垂直。

三、總結(jié)反思

本研究從“學(xué)習(xí)障礙”“高考考向”出發(fā)，提出“應(yīng)對策略”并運(yùn)用此策略對高考垂直三大類證明進(jìn)行分析，得出一般的方法和規(guī)律，給予學(xué)生建議和幫助。但教學(xué)的主場仍然在于日常課堂，因此筆者提出以下三點(diǎn)教學(xué)建議。

（一）加強(qiáng)課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，構(gòu)建知識思維網(wǎng)絡(luò)

課堂小結(jié)在很多日常課堂中經(jīng)常被冠以“草草結(jié)束”的評價，教師應(yīng)充分利用課堂小結(jié)的平臺與時間，運(yùn)用思維導(dǎo)圖軟件，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和方法，并且及時納入單元思維導(dǎo)圖中，幫助學(xué)生形成完備的網(wǎng)絡(luò)體系。

（二）重視以題會類教學(xué)，提升類比遷移能力

真正做到以題會類［6］，需要在日常課堂中創(chuàng)設(shè)解題情境，選擇典型例題作為母題教會學(xué)生“解題出發(fā)點(diǎn)”，即把教師腦子里面的想法嫁接給學(xué)生，不僅要教“怎么做”，更要教“怎么想”和“為什么要這樣想”。母題教學(xué)之后應(yīng)當(dāng)選擇考向考點(diǎn)相近的題目進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生在熟悉的情境里運(yùn)用知識、運(yùn)用方法，才能達(dá)到“同類型題怎么做”的功效。

（三）更改解題教學(xué)模式，培養(yǎng)思路梳理能力

解題教學(xué)不僅要進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”，還要精選例題；不僅要傳授解答技巧，更要梳理思路。在習(xí)題課教學(xué)中，教師可以在講解答案之前，提問學(xué)生解題思路，以“從哪里入手？為什么這么想？接下來該怎么做？你的整個解題運(yùn)用了哪些知識點(diǎn)？解答這道題你有什么感悟或者經(jīng)驗(yàn)方法？”為路徑循循善誘，讓學(xué)生充分發(fā)言表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生梳理思路的能力［7］。

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］張婭婭.高中生立體幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查研究［D］.西北師范大學(xué)，2020.

［3］周建鋒.用三面角模型巧解2022年高考立體幾何題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（1）：16-19.

［4］逯彥周，項(xiàng)麗紅.2022年全國數(shù)學(xué)高考卷立體幾何試題分析及教學(xué)思考［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（12）：40-44.

［5］宋秀云.基于“三新”背景，掌握兩種方法：以立體幾何為例的大單元教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（7）：11-13.

［6］劉華為.基于知識轉(zhuǎn)化 探求以題會類［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（8）：39-42.

［7］李海東.基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（1）：8-11.

注：本文系南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度C類課題“以課本題為生長點(diǎn)的深度學(xué)習(xí)策略與案例研究”（2022C395）的研究成果。

（責(zé)編 林 劍）

作者簡介：彭劍峰，1979年生，廣西梧州人，本科，一級教師，主要從事數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、高考數(shù)學(xué)研究；劉存華，1996年生，廣西合浦人，碩士研究生，一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教育心理學(xué)研究。