教科書“情境”多情形圖形表征的教學初探

鎖建軍 李凱

基金項目? 西北師范大學2023年度研究生科研資助項目“學習機會視角下中小學數學教材傳統文化的融入與教學研究”（2023KYZZ-B017）;2023年重慶市教育委員會人文社會科學研究青年項目“新時代高師本科院校師范生學科教學能力評價指標體系構建研究”（23SKGH369）.

【摘? 要】

以北師大版初中數學教科書中“探索直線平行的條件”內容為例，通過對其“情境”的圖形表征進行實證分析，結合其內容在教學中存在的問題剖析，嘗試通過教科書“情境”蘊含的意境，以及半數化圖形表征的基礎和多元可能性，構建和設計多情形數學圖形表征教學.多情形數學圖形表征，從直線與直線關系、角角關系的圖形表征中生成數學知識，深度認知同位角，消除負遷移.據此啟示：教科書“情境”的多元可能性，為解決教學問題、進行多情形圖形表征、直觀的刻畫和反映事物的特征、深度認知數學知識提供了有力的支撐.

【關鍵詞】? 教科書;情境;圖形表征;教學初探

1? 引言

“情境”是情境性教學開展的關鍵要素，教科書提供的“情境”一般是基于現實生活的問題情境，宏觀上具有多元可能性，解決方式也同樣不受局限.是產生數學概念，提出數學問題的背景、前提、基礎和條件［1］.情境編制于數學知識的學習系統，為知識的呈現提供了多種可直觀表征的可能，可依據數學知識發生的需要，對情境的意境進行設計與表征.情境蘊含的意境，通過數學化、抽象化形成各類數學符號或圖形語言，直接作用于數學知識的發生.數學教科書中一般為了抽象概括出數學概念、公式、思想方法等，設置的文本內容也基本包含了情境創設、數學符號及圖形的表征、衍生數學知識這幾方面的呈現.

初中數學教科書節內容中設置的情境，包含直觀的外顯引導線索和隱蔽的內隱線索［2］.直觀的外顯引導線索，按照邏輯發展的過程，可以直接輔助歸納和表達蘊含的數學知識.但知識的特征和本質需要借助情境的多元可能性，經過由表及里、去偽存真的表征過程，才能建構完整的概念［3］.如果不深入挖掘情境的內隱線索，得到的數學知識可能只是淺層次的表達，甚至若只由外顯線索作引導，會造成情境與一些知識的生成并無直接關聯，致使情境與部分知識的生成相互脫節，從而丟失情境存在的本意.

為此，文章基于教科書提供的情境，結合以下兩個方面來體現情境的內隱功能：第一，結合外顯引導線索及已呈現的抽象化表征情形，探究與歸納節內容中的數學知識;第二，嘗試結合情境的多元可能性，以及節內容數學知識發生的需求，對情境進行多情形圖形表征，使知識的發生置于多種情形，從中辯證知識的本質，辨清知識的概念［4］.

2? 研究對象與方法

2.1? 研究內容

數學教科書一般由各章組成，各章包含多個節內容.節內容由正文、例題、習題等欄目組成.本文選取北京師范大學出版社2012年審定的七年級下冊數學教科書（簡稱：北師大版），以教科書第二章“相交線與平行線”中的“探索直線平行的條件”內容為例，圍繞節內容“正文”部分的“情境”展開研究，初探情境多情形圖形表征的教學問題.圖1? 情境

教科書為歸納和生成“探索直線平行的條件”節內容的數學知識，在“正文”的起始編制了如上圖1的情境，其中包含一個情境圖和3個情境問題.情境圖和情境問題直觀地表達了要解決的現實問題，明確了多情形探究討論的話題.

2.2? 研究方法

基于教科書提供的情境，從以下兩個方面來體現情境的內隱功能：第一，結合情境圖和已呈現的情境問題、純數學問題、數學圖形，探究與歸納數學知識;第二，嘗試結合情境的多元可能性和數學知識發生的需求，再次對情境進行多情形圖形表征與創新，形成助于知識生成的圖形表征，豐富情形類別，從創設的不同情形中再次辯證相關知識的本質，辨清知識的概念.具體研究思路呈現如下圖2.

3? 教科書“情境”圖形表征的實證分析

3.1? 教科書情境半數學化圖形表征分析

為使情境中的問題過渡至抽象化的數學問題及數學語言、數學圖形，將上述情境初步表征和轉化，使情境問題數學化，融入數學語言∠1和∠2，通過討論數學問題“角及角之間的關系”，辯證木條之間的位置關系.情境表征為半數學化圖形（半數學化圖形表征：數學語言和生活實物相融合，未完全脫離實物的圖形表征）呈現為如下圖3.

圖3呈現的表征圖形，要求木條b與木條c的位置關系確定不變，轉化為數學語言，即∠1的大小不變.要求木條a與木條c的位置關系不斷發生變化，轉化為數學語言，即∠2的大小不斷發生變化.觀察∠1和∠2的大小關系，判斷木條a與木條b的位置關系.

反之，固定木條a，c，轉動木條b，其情境表征為半數學化圖形呈現為如圖4.

圖4呈現的表征圖形，要求木條a與木條c的位置關系確定不變，轉化為數學語言，即∠2的大小不變.要求木條b與木條c的位置關系不斷發生變化，轉化為數學語言，即∠1的大小不斷發生變化.觀察∠1和∠2的大小關系，判斷木條a與木條b的位置關系.

3.2? 教科書數學知識生成的表征分析

教科書提供純數學情境的圖形介入，如圖5，從中引入同位角的概念.

在圖5表征的基礎上，歸納和生成數學知識：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱為：同位角相等，兩直線平行.

兩直線平行，用符號“∥”表示.例如，直線a與直線b平行，記作a∥b.4? 數學知識生成中存在的教學問題剖析

4.1? 嚴格意義上表征兩直線平行的關系并未形成

上述圖3半數學化圖形（情形一）、圖4半數學化圖形（情形二）的表征，以顯性的半數學化圖形表征的方式，使學生直觀感受兩直線平行的關系，但實際意義上，因數學的嚴謹性及建立數學概念的原則，兩直線平行的關系并未完全生成.因為半數學化的圖形表征中，并不存在兩條絕對平行的木條.判定兩條直線平行的數學表達應該更加完整一點，在半數學化圖形的表征基礎上，呈現出完全數學化的表征情形，易于學生理解兩條直線平行是數學的專業概念，是現實情境抽象化的數學表征，本質是由數學知識“線、線與線關系、角、角與角關系等”進行兩線關系的一種數學表征.

4.2? 弱化同位角的概念

上述圖5對同位角概念的表征情形中，圖形表征實質反映的是同位角的概念，并未限定在平行的兩條直線中存在.但緊接著后續“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱為：同位角相等，兩直線平行”的知識表征，無形中弱化了同位角的概念，形成了逆向負遷移現象.逆向遷移現象一般包含正遷移和負遷移，負遷移現象往往會阻礙知識的學習［5-6］.具體如下圖6.

圖6? 逆向負遷移現象

上述北師大版教科書呈現的文本內容設計流程，同位角設計在“平行線判定方法1”的內容中，在判定方法表征之前，會對同位角的概念進行表征.一般教學中為凸顯“平行線判定方法1”，本身對于同位角概念的表征會呈現相對弱化的表現，再因“平行線判定方法1”的表征情形，同位角的概念無意識地被認為是存在于兩平行直線被第三條直線所截的情形中.

5? 教科書“情境”多情形圖形表征的教學初探

教科書情境半數學化的圖形表征，直觀地讓學生感受到了兩條直線平行的本質及生成過程，學生已經初步建立起了兩條直線平行的必然因果關系.但半數學化的圖形表征并未完全嚴格建立數學專業意義上的概念.因此，為消除上述同位角概念認知中出現的逆遷移現象，以及建立嚴格意義上的數學知識表征，借助教科書“情境”及半數學化的表征圖形，初步嘗試進行純數學的多情形圖形表征，以建立完全數學意義上的知識和消除負遷移現象.

5.1? 在直線與直線關系的圖形表征中生成數學知識

在教科書中上述圖3半數學化圖形（情形一）、圖4半數學化圖形（情形二）的表征基礎上，呈現如下圖7的直觀數學圖形進行知識表征.讓學生在前期半數學化圖形表征形成的感知基礎上，通過圖7的數學圖形表征，認識“平行線判定方法1”在數學中的表述內涵及應有的情形.進而引導學生建立嚴格意義上的數學知識，完善學生數學的學習.實質上也體現了數學源于生活，但數學也有其獨特的語言魅力和其嚴謹的邏輯體系.

圖7? “平行線判定方法1”的數學圖形表征

5.2? 在直線與直線關系的圖形表征中深度認知同位角

在圖5同位角概念呈現的基礎上，結合上述“情境”及半數學化圖形表征情形的多種可能性，擴展圖5中的圖形表征，呈現下圖8的數學圖形表征，進而深度認知同位角.

如圖8，直線EF，LM與OP相交（也可以說兩條直線EF，LM被第三條直線OP所截），構成八個角.我們看那些沒有公共頂點的兩個角的關系.圖中的∠1和∠2，這兩個角分別在直線EF，LM的同一方（上方），并且都在直線OP的同側（右側），具有這種位置關系的一對角叫做同位角.

小結? 在教材中借助圖5認知同位角的基礎上，將線線關系更抽象化的處理為圖8，輔助理清同位角在線線關系中形成的本質.說明在同一平面內，不管是圖5直線AB，CD的線線關系，還是圖8直線EF，LM的線線關系，只要都是在線線關系的基礎上被第三條直線所截，兩線關系的情況不是同位角形成的必要條件.

5.3? 在角角關系的圖形表征中深度認知同位角5.3.1? 角與角的大小關系

從前文呈現的圖7可以看出，∠2和∠1是直線AB，CD被直線l截得的同位角，此時∠2=∠1，同位角相等.

從前文呈現的圖8可以看出，∠2和∠1是直線EF，LM被直線OP截得的同位角，此時∠2是鈍角，∠1直角，同位角大小不相等.

小結? 從角與角的大小關系中認知同位角，不管是圖7中∠2=∠1的關系，還是圖8中∠2是鈍角，∠1是直角，大小不相等的關系，角的大小關系不是同位角形成的必要條件.5.3.2? 角與角的位置關系

在圖5同位角概念呈現的基礎上，結合上述“情境”及半數學化圖形表征情形的多種可能性，擴展圖5中的圖形表征，呈現圖9的數學圖形表征，進而深度認知同位角.

如圖9，直線OM，LP與EF相交（也可以說兩條直線OM，LP被第三條直線EF所截），圖中的∠1和∠2，這兩個角分別在直線OM，LP的同一方（上方），并且都在直線EF的同側（右側），但∠1和∠2不是同位角.

小結? 從角與角的位置關系中認知同位角，不能只停留在同上、同左（右）或同下、同左（右）的位置關系層面，還需確認角與角之間有完整的對應關系.完整的對應關系指角與角在同上、同左（右）或同下、同左（右）的位置關系基礎上，還要明確兩條直線被第三條直線所截，這兩條直線分別與所截直線形成的角才是完整的對應角.如圖9中，∠1和∠2是同上同右的位置關系，但∠1與∠2未建立完整的對應關系，不是對應角，所以∠1和∠2不是同位角.

5.4? 消除負遷移

“平行線判定方法1”的學習，按邏輯會設置在同位角的學習之后，但上述“情境”多情形的表征設計，在認識“平行線判定方法1”的認知基礎上，進而理解同位角，可明確同位角的形成是“兩條直線被一條直線所截，兩條直線是什么位置關系，不是必要條件”.為此，可以消除現實教學中的負遷移現象“同位角被認為是存在于兩平行直線AB，CD被第三條直線EF所截的情形中”.

6? 啟示

教科書“情境”的多元可能性，為解決教學問題，深度認知數學知識提供了兩個方面的功效.第一，從半數學化圖形的表征中，感受知識的發生，從直觀生動的活動中聯系生活實際，便于學生形成和理解知識的本質;第二，從數學專業視角進行純數學的圖形表征，從嚴格意義上幫助學生在感受的基礎上，形成嚴謹的數學知識，用數學的專業語言抽象化地表述現實現象，建立抽象化的數學邏輯語言體系與知識，進而便于更好地闡釋和研究現實現象.

圖形表征相對于其它語言表征形式，可以更直觀地刻畫和反映事物的特征.在數學的學習中，往往借助現實實物和數學語言進行數學知識的表征，上文舉例討論的半數學化圖形、純數學圖形表征形式，都是刻畫和反映數學知識的有效手段.但現實教學中，借助“情境”的多元可能性，從構建的半數學化圖形表征形式過渡至純數學圖形的表征形式被忽視，且純數學圖形的表征單一，并未完全刻畫和反映相關數學知識的本質特征.而多情形圖形表征對于教學中生成數學知識，深度反映知識本質有著重要的作用.為此，如上文同位角深度學習發生的初探，表明學習過程的發生不是簡單地停留在單一內容表述層面，需更深入地設計探究過程，更能使知識的學習深度發生.

參考文獻

［1］呂傳漢，汪秉彝.再論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習［J］.數學教育學報，2002（04）：72-76.

［2］牛瑞雪.教學評價研究40年回顧、反思與展望［J］.課程·教材·教法，2018，38（11）：60-66.

［3］李健，李海東.情境在現實問題解決中的作用：基于5套人教版初中數學教科書的縱向比較［J］.數學教育學報，2021，30（04）：30-34，40.

［4］李鑫，李健，張楠.澳大利亞初中數學教材中的項目式學習活動：情境設置、活動特征與開發建議［J］.中學數學雜志，2023（08）：46-49.

［5］涂榮豹.數學學習與數學遷移［J］.數學教育學報，2006（04）：1-5.

［6］曾崢.略論數學教學中的遷移［J］.數學通報，1986（10）：7-9.

作者簡介

鎖建軍（1991—），男，甘肅天水人，博士研究生;主要從事數學教育研究;主持省級課題1項，發表論文8篇，其中2篇被中國人民大學復印報刊資料《初中數學教與學》全文轉載.

李凱（1991—），男，甘肅天水人，講師;主要從事數學教育研究;發表論文數10篇.