關于圓問題的多解探討與教學思考

沈奕

［摘? 要］ 圓問題的多解在中考或模擬考中十分常見，很容易造成漏解或錯解，多解成因分析是解題探究的重點，需要探討點、線、圖形的位置關系等. 文章結合實例開展圓中多解探討，探討點在圓弧上的位置、圓心與弦的位置、圓內三角形的形狀、直線與圓的位置關系四大情形，同時開展教學探討，提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 圓；多解；點；直線；位置關系

圓類問題中常見多解情形，解析時需要深入分析問題條件，確定多解成因，再構建幾何模型，分別求解. 下面結合問題具體探究.

關于圓中多解的討論

圓問題多解的情形眾多，常見的涉及了動點、直線、弦、圓心的相關位置關系，以及圖形的形狀等. 下面舉例探究，結合實例分析思路，探討解題過程.

1. 討論點在優弧或劣弧上

圓中問題常見點在圓的弧上，若未設定在圓弧上的具體位置，則會造成多解，即點可以在圓的優弧上，也可以在劣弧上，求解時分別構建模型.

例1? 如圖1所示，AB，AC分別與☉O相切于點B，C，∠A=50°，點P是圓上異于B，C的一動點，則∠BPC的度數是______.

思路分析：問題設點P是圓上異于點B和C的動點，要求∠BPC的度數. 點P可以位于優弧上，也可以位于劣弧上，從而造成∠BPC可能是銳角，也有可能是鈍角.

過程解析：分別連接BP1，BP2，CP1，CP2，如圖1的虛線所示.

情形1：當點P位于優弧上時，即點P1，此時為∠BP1C為銳角. AB，AC與☉O相切于點B，C兩點，則OC⊥AC，OB⊥AB. 由于∠A=50°，則在四邊形ABOC中，∠COB=130°. 在☉O中，∠BP1C為圓周角，于是可推得∠BP1C=65°.

情形2：當點P位于劣弧上時，即點P2，此時∠BP2C為鈍角. 由于四邊形BP1CP2為☉O的內接四邊形，∠BP2C=65°，可推得∠BP2C=115°.

綜上可知，∠BPC的度數為65°或115°.

評析? 上述求解圓中角度問題時，討論了圓弧上點的位置，即位于優弧或劣弧，再結合模型，利用圓的內接四邊形、圓周角、圓心角的相關性質求解. 對于點在圓弧中的位置，要關注其中的關鍵點，從優弧、劣弧兩個情形出發來討論.

2. 討論圓心與弦的位置

圓中問題有時還需討論圓心與弦的位置，圓具有對稱性，關于圓心均可找到長度相等的兩條弦. 即圓心可以位于弦的一側，也可位于另一側，此時就需要分開構建模型，具體討論.

例2? 圖2是一下水管道的截面圖. 已知排水管的直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm. 一場大雨過后，水面寬為80 cm，試求水面上升多少.

思路分析：圓具有對稱性，題目設定水面寬度為80 cm，但未表明是在圓心的上方，還是圓心的下方，故需要分兩種情形討論.

過程解析：作半徑OD⊥AB交AB于點C，連接OB，如圖2所示，由垂徑定理可得BC=AB=30 cm，在Rt△OBC中，OC==40 cm.

情形1：當水位上升到圓心以下，此時A′B′=80 cm，則OC′==30 cm，故水面上升的高度為40-30=10 cm.

情形2：當水位上升到圓心之上，此時A″B″=80 cm，水面上升的高度為40+30=70 cm.

綜上可得，水面上升的高度為10 cm或70 cm.

評析? 上述圍繞圓的對稱性開展了圓心與弦位置關系的討論，結合圓的對稱特性，把握垂徑定理靈活求解是解題的關鍵. 利用垂徑定理作圖分析時分兩步進行：第一步，過圓心作垂線，構建直角三角形；第二步，利用勾股定理推導解析，求解線段長.

3. 討論圓內三角形的形狀

圓與三角形綜合常見于圓中問題中，圓上點的位置會影響三角形的形狀，則需要討論圓內三角形的形狀，確定模型，再結合相關知識開展分析推導.

例3? 半徑為5的☉O是銳角三角形ABC的外接圓，AB=AC，連接OB，OC，延長CO交弦AB于點D. 若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為______.

思路分析：本題目設定△OBD為直角三角形，但未表明具體的直角，則需要對其加以討論，有兩種情形，即∠ODB=90°和∠DOB=90°. 若∠ODB=90°，則可以推出△ABC是等邊三角形；若∠DOB=90°，則可以推出△BOC為等腰直角三角形.

過程解析：如圖3（1），當∠ODB=90°時，即CD⊥AB，所以AD=BD，可求得AC=BC. 由于AB=AC，則△ABC是等邊三角形，故∠DBO=30°. 因為OB=5，故BD=OB=，則BC=AB=5.

如圖3（2），當∠DOB=90°，則∠BOC=90°，可推得△BOC是等腰直角三角形，則BC=OB=5.

綜上所述：若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為5或5.

評析? 上述求解弦BC的長時，先對三角形的直角情形進行了討論，確定了直角；然后展開推導，解析時利用了三角形的外接圓與外心、等邊三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識. 正確作出圖形，構建多解模型是解題的關鍵.

4. 討論直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系也會造成多解，常見的有相切的不同情形，相交點個數不同情形等，探究解析時要重點關注直線與圓的位置關系，探討具體情形，再分別構建模型解析.

例4綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，老師出示了一個直角三角板和量角器，把量角器的中心O點放置在AC的中點上，DE與直角邊AC重合，如圖4（1）所示，∠C=90°，BC=6，AC=8，OD=3，量角器交AB于點G，F，現將量角器DE繞點C旋轉，如圖4（2）所示.

（1）點C到邊AB的距離為_____；

（2）在旋轉過程中，求點O到AB距離的最小值；

（3）若半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設切點為K，求BK的長.

思路分析：本題目為圓的綜合題，涉及直線與圓的位置關系，需要關注位置關系，有針對性地討論分析，再構建模型解析. 其中第（3）問涉及半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，需要討論具體相切情形，開展多解探討.

過程解析：（1）過點C作CH⊥AB于點H，如圖5（1）所示，已知∠ACB=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理可得AB==10. 又知CH⊥AB，則AB·CH=AC·BC，所以CH==，即點C到邊AB的距離為.

（2）由于點O為AC的中點，OC=AC=4，當CD⊥AB時，點O到AB的距離最小，所以OH=CH-OC=，即點O到AB距離的最小值為.

（3）半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，分兩種情形.

①當半圓O與BC相切時，如圖5（2），設切點為K，連接OK，則∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==，則BK=BC-CK=6-.

②當半圓O與AC相切時，如圖5（3），設切點為K，連接OK，則∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==；在Rt△BCK中，BK==.

綜上所述，BK的長為6-或.

評析? 上述第（3）問探究了直線與圓的位置關系，涉及相切，探究時分兩種情形，即半圓O與BC相切和半圓O與AC相切. 對于其中的線段長的解析，需注意提取其中的特殊模型，充分利用相似性質、勾股定理來推導.

關于圓問題多解的教學思考

上述結合實例深入探討了圓問題的多解，涉及了點在圓弧上的位置、圓心與弦的位置、圓內三角形的形狀、直線與圓的位置關系四大情形. 解析問題時具體探討了破解思路，呈現解題過程，開展解后評析，可有效提升學生的解題能力.

1. 關注多解情形，分類具體探討

多解是圓問題的特殊情形，其成因是關鍵條件不確定，教學探究時要關注問題的多解情形，分情形梳理. 上述所探究的情形涉及了點、線、圖形的位置關系、形狀等，實際上多解的情形還包括弦所對圓周角、點與圓的位置關系等. 教學探究時教師要引導學生深入分析，探討多解情形，結合具體問題構建知識網絡. 可分三步進行：第一步，分析多解問題成因；第二步，從點、線、圖形的位置關系視角來總結歸納； 第三步，梳理關鍵點、所涉知識點，形成知識網絡.

2. 精選典型問題，強化深入分析

“實例強化分析”是解題探究的重要環節，在該環節教師應幫助學生梳理解題的思路過程，避免漏解，生成解題策略. 如上述四種情形解析時結合實例分三步進行：第一步，展開思路分析，結合問題條件，分析是否存在多解，確定需要分類的情形；第二步，進行過程解析，具體探究解題的過程，引導學生按照“整合條件—分析推導—思路構建—求解答案”的流程進行解題；第三步，解后評析，該步要注意引導學生反思過程，總結結論，積累經驗.

3. 滲透思想方法，提升綜合素養

圓問題多解探究時涉及了眾多的數學思想，解題過程實則為在思想方法的指導下進行分析探討，教學探究時要注意滲透思想方法，開展數學思想教學，提升學生的綜合素養. 上述問題涉及了數形結合、分類討論、模型構造等思想. 具體表現為通過數形結合分析條件，挖掘隱含信息，確定分類情形；再結合分類討論思想展開多解情形探討，同時探討時注意引入模型構造思想，作輔助線，構建解題模型，通過模型解析來降低思維難度. 另外，教學探討時，還可以針對具體的思想方法開展指導，讓學生深刻理解思想內涵，掌握使用方法.

結束語

圓問題的多解成因分析及討論是教學探究的關鍵，具體探究時教師應引導學生注意針對性分析多解情形，結合實例探究解析，總結方法策略. 教學中教師要注意精選問題，讓學生體驗解題過程，采用思路引導、思維啟發的方法，幫助學生梳理知識，內化吸收，生成自我的解題策略.