相似三角形知識的考查探究與教學思考

丁亞童

［摘? 要］ 考查相似三角形知識的問題類型多變，常涉及一些關聯(lián)模型，理解其性質定理，解題時靈活提取模型十分關鍵. 文章立足相似三角形知識，開展題型考查探究，總結破題方法，提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 相似三角形；判定；性質；題型

相似三角形知識是初中幾何考查的重點內容，常見于幾何綜合問題中，問題解析需要運用相似三角形的判定與性質定理，進行條件解析與結論推導. 實際考查時問題類型多樣，涉及了求點坐標、函數(shù)參數(shù)、線段最值等，下面深入探究.

關于題型的考查探究

1. 運用相似知識求點坐標

幾何綜合中常立足相似三角形知識求解點坐標，即利用相似三角形對應邊成比例推導線段長，進而求解點坐標. 該類問題中要挖掘隱含信息，從知識綜合視角分析，推理等角關系，證明三角形相似，再利用相似性質求線段長.

例1? 如圖1所示的矩形ABCO中，點A，C位于坐標軸上，點B的坐標為（-2，4）. 將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是________.

思路引領：本題目求坐標系中點的坐標，涉及了三角形翻折，問題求解可把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，綜合運用全等與相似性質開展線段關系的推導.

過程解析：過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1虛線所示. 已知點B的坐標為（-2，4），則AO=2，AB=4. 根據(jù)折疊知識可知CD=OA，又知∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，可證△CDE≌△AOE，由全等性質可推得OE=DE，OA=CD=2.

設OE=x，則CE=4-x，DE=x，在Rt△DCE中，CE 2=DE 2+CD2，代入線段長可得（4-x）2=x2+22，可解得x=. 又知DF⊥AF，則DF∥EO，可證△AEO∽△ADF，而AD=AB=4，可推得AE=CE=4-=，由三角形相似性質可得==，即==，可解得DF=，AF=. 所以OF=AF-OA=，即點D的坐標為

評析? 上述求點坐標時綜合運用了全等與相似三角形的相關知識，利用其性質定理開展線段長推導，進而完成點坐標的求解. 對于結合了圖形折疊的幾何問題，要把握其中的等角條件，利用等角關系推導三角形相似.

2. 利用相似知識求線段最值

部分線段最值問題中也常涉及相似三角形的相關知識，解析時需要提取或構建相似三角形模型，利用其性質推導線段關系，將線段最值轉化為線段不等式，進而完成求解.

例2? 如圖2所示的四邊形ABCD中，已知AB=3，BC=4，AC⊥CD，若tan∠CAD=，則對角線BD長的最大值是_____.

思路引領：本題目求四邊形對角線的最大值，屬于線段最值問題，求解時需要作輔助線，構建三角形相似關系，將線段最值轉化為線段不等關系問題，進而利用相似性質求解.

過程解析：過點B作BE⊥AB，使得BE=AB=1，連接AE，DE，如圖2虛線所示.

在△ABE中，AE==. 因為tan∠CAD=，所以==. 又因∠ABE=∠ACD=90°，可證△ABE∽△ACD，可推得∠BAE=∠CAD，=，進而可知∠BAC=∠EAD，則△BAC∽△EAD，可得=，即=，解得ED=，所以BD≤BE+ED=1+，即BD的最大值為1+.

評析? 上述求解線段最值問題時，兩次利用了相似三角形的性質，將線段最值轉化為線段不等式問題. 另外，解題時靈活運用銳角三角函數(shù)知識，并根據(jù)題意正確添加輔助線，構建了相似三角形模型.

3. 利用相似知識求函數(shù)的特征參數(shù)

中考常見函數(shù)與幾何綜合題，如將一次函數(shù)與三角形相結合，求函數(shù)的特征參數(shù)，考查相似三角形的判定和性質、一次函數(shù)性質等知識. 求解時要注意提取其中的相似三角形關系，求線段長，推導點坐標，再代入函數(shù)解析式求特征參數(shù).

例3? 如圖3所示，已知A（0，3），B（4，0），一次函數(shù)y=-x+b的圖象為直線l，點O關于直線l的對稱點O′恰好落在∠ABO的平分線上，試回答下列問題.

（1）AB=_____；

（2）b的值為_____.

思路引領：本題目為函數(shù)與幾何的綜合題，題設兩問，第（1）問利用勾股定理即可求線段長；第（2）問求函數(shù)的特征參數(shù)，可構建相似三角形模型，推導函數(shù)上的點坐標，再代入函數(shù)解析式中反求特征參數(shù).

過程解析：（1）簡答，AB=5；

（2）延長OO′交AB于點C，交直線l于點E，過點O′作O′G⊥x軸于點G，過點E作EF⊥x軸于點F，如圖4所示.

利用待定系數(shù)法，可求得直線AB的解析式為y=-x+3，進而可證AB∥l. 又知OO′⊥l，可推得OO′⊥AB.

已知OA=3，OB=4，AB=5，根據(jù)S==，可解得OC=.

因為∠COB+∠AOC=90°，∠BAO+∠AOC=90°，可推得∠BOC=∠BAO，結合∠O′GO=∠AOB=90°可證△O′GO∽△BOA，則O′G ∶ O′O=OB ∶ AB=4 ∶ 5.

由于BO′是∠ABO的角平分線，O′C⊥AB，O′G⊥OB，則CO′=GO′，設O′G=m，則O′C=m，OO′=-m，可得m=，則OO′=. 在Rt△OO′G中，根據(jù)勾股定理，得OG=. 結合條件進一步可證△EOF∽△O′OG，由相似性質可得===，可解得EF=，OF=，于是求得點E的坐標為

，，將點E代入y= -x+b中，可解得b=.

評析? 上述第（2）問求函數(shù)的特征參數(shù)時，綜合運用了相似三角形的性質、軸對稱的性質、一次函數(shù)的性質. 利用相似三角形的性質推導線段長，確定關鍵點坐標，代入函數(shù)解析式中推導函數(shù)的特征參數(shù). 問題的綜合性強，探究解析可采用數(shù)形結合的方法，合理轉化條件.

4. 利用相似知識求“kAD+BD”型的最值

部分“kAD+BD”型最值問題求解時，也可利用相似三角形的判定及性質定理構建線段關系，將帶參線段和最值問題轉化為一般線段最值問題，再結合模型確定最值情形.

例4? 在如圖5所示的△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則PB+PC的最小值為_____.

思路引領：上述為帶參線段和最值問題，可作輔助線構建相似三角形模型，利用其性質將問題轉化為一般線段和最值問題，再結合三點共線定理確定最值情形.

過程解析：在AB上截取AQ=1，連接AP，PQ，CQ，如圖5的虛線所示.

已知點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，則點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則=. 由于AP=2，AQ=1，則=，結合∠PAQ=∠BAP，可證△APQ∽△ABP，可推得PQ=PB，則PB+PC=PC+PQ≥CQ. 當C，Q，P三點共線時，PC+PQ的值最小，此時CQ的長即為所求. 在Rt△ACQ中，已知AC=4，AQ=1，由勾股定理可得QC==，所以PB+PC的最小值為.

評析? 上述求帶參線段和最值問題時，利用了相似轉化法. 解析時分兩步進行：第一步，利用相似三角形的性質推導線段關系，將特殊最值問題轉化為一般的線段和最值問題；第二步，結合共線定理確定最值情形，結合勾股定理求解線段長.

關于相似性質定理的教學思考

上述圍繞相似知識進行了題型考查探究，涉及求點坐標、線段最值、函數(shù)特征參數(shù)等問題，解析過程綜合運用了相似三角形的判定與性質定理，立足幾何知識開展模型構建與條件推導，其探究解析過程有一定的參考價值，有助于提升學生的解題能力，下面進一步開展教學探討.

1. 整合性質定理，強化知識基礎

相似三角形是初中幾何的重點知識，探究學習時需要深刻理解其判定定理和性質定理，掌握定理的核心內容，靈活運用，并從知識綜合視角入手，探索相似三角形的關聯(lián)知識，如三角形全等、平行線模型等. 教學中可分兩個階段進行強化提升：第一階段，立足教材基礎，開展定理探究，引導學生挖掘定理，體驗證明過程，讓學生從根本上掌握定理；第二階段，把握知識綜合，梳理知識網絡，總結與相似三角形相關聯(lián)的知識.

2. 立足中考考點，歸納問題題型

開展相似三角形的知識探究，教師要把握中考方向，立足中考考點，歸納問題題型，引導學生充分掌握該考點的考查方式. 上述探究了四大題型，涉及求點坐標、解析線段最值、求解函數(shù)的特征參數(shù)、破解特殊型線段最值. 解析的核心均為相似三角形的相關知識，而在實際考查時采用知識綜合的方式來呈現(xiàn). 教學探究時，教師要引導學生歸納題型，總結問題的構建方式，對該考點產生深刻的認識. 教學中需要注意三點：一是題型梳理要結合近幾年的中考，關注中考新題；二是考題梳理要全面，覆蓋考卷的各類問題，包括選擇、填空和解答題等；三是引導學生關注考題中的知識綜合，挖掘關聯(lián)考點.

3. 關注解題過程，拓展解題思維

“思維引導”是解題教學的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中要讓學生體驗解題過程，對學生進行思維引導，幫助學生掌握解題的方法思路，進而形成相應的解題思維. 上述相似三角形知識考查探究中結合了四道考題，考題的綜合性強，教學中要引導學生解析條件，探索思路，構建模型，轉化求解. 實際引導時可分如下三步進行：第一步，引導學生讀題審題，結合圖形理解問題條件；第二步，深刻挖掘問題圖形及其中的隱含信息，提取特殊圖形；第三步，合理構建模型，數(shù)形結合轉化分析，利用相似三角形的知識推導條件. 整個教學環(huán)節(jié)注意學生的思維引導，關注學生的思維發(fā)展，結合實際情形靈活調整教學策略.

寫在最后

相似三角形知識作為初中幾何重點內容，實際考查時形式多樣，涉及眾多的知識考點，上述所探究的四種類型是其中的代表. 在教學中，教師要引導學生深刻理解其性質定理，結合實例開展解題探究，讓學生關注問題特征、模型構建方法、定理轉化構建思路，拓展學生的解題思維，同時注意數(shù)學思想的滲透，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).