高中數學常用思想方法及應用研究

毛志淵

摘?要：高中數學不僅是學生學習數學知識的重要階段，也是學生思維能力和邏輯推理能力得到培養和提高的關鍵時期.在高中數學課程中，“函數”不僅是數學的基礎概念，也是后續學習和應用數學的重要工具，其蘊藏著豐富的數學思想方法.本文以“函數”為例，探討了高中數學中常用的思想方法.

關鍵詞：高中數學；數學思想；函數

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0023-03

《2022年版普通高中數學課程標準》強調了數學思維能力的培養和數學方法的掌握對于學生長遠發展的重要性［1］.教學過程中，教師不僅要讓學生理解數學的形式和層面，更要讓學生通過自主探索、邏輯推理、概念總結和結論總結等學習過程，積累并學習使用數學思想方法，使其充分掌握數學的本質，從而輕松解決數學問題.本文梳理了“函數”部分常見的數學思想方法，以期幫助學生建立完整的知識脈絡.

1 建模思想

建模思想指的是利用數學知識和技巧，將實際問題進行抽象化和數學化處理，建立數學模型來描述和解決現實生活中的問題.建模思想要求學生能夠從實際問題中抽象出數學模型，進行數學建模和分析，從而得出解決問題的方法和結論.這種思想培養了學生的數學建模能力和實際問題解決能力，使他們能夠更好地應用數學知識解決實際問題.建模思想在高中數學教育中的重要性不言而喻.通過建模，學生可以將抽象的數學理論與實際生活相結合，使數學知識更具有實際意義.此外，建模思想還培養了學生的問題解決能力、創造力和邏輯思維能力，為他們未來的學習和工作打下了堅實的基礎.因此，高中數學中的建模思想不僅是教育教學的一種方法，更是培養學生綜合素質的重要途徑.

例1?2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似（如圖1所示）．

圖1?打水漂示意圖現將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100 m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，則至少需要“打水漂”的次數為（參考數據：ln 0.6≈-0.511，ln 0.9≈-0.105）（??）.

A．4???B．5???C．6???D．7

解析?設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn＝100×0.9n-1.

由100×0.9n-1<60，得0.9n-1<0.6，

則（n-1）ln 0.9

即n-1>ln0.6ln0.9≈-0.511-0.105≈4.87，則n>5.87.

∴至少打6次，選C.

2 分類討論思想

分類討論思想是指在數學問題的解決過程中，根據問題的特點和條件將問題進行分類討論，從而找到問題的解決方法.在高中數學中，分類討論思想常常應用于代數、幾何和概率等方面的問題解決中.具體來說，分類討論思想包括以下幾個方面：（1）將一個復雜的問題分解為若干個簡單的子問題，從而分步解決問題；（2）根據問題的條件和特點，將問題進行分類討論，找到每個類別的解決方法；（3）將各個類別的解決方法進行綜合分析，找到整體的解決方案；（4）對所得的解決方案進行驗證和推理，確保解決方案的正確性和完整性.通過分類討論法，我們可以將復雜的問題分解為幾個相對簡單的子問題，逐一進行深入分析和求解.此外，分類討論法也有助于我們更好地理解和把握問題的實質，提高解題的準確性和效率.因此，無論是在數學學習，還是在實際問題的解決中，分類討論法都是一種十分必要和有效的思維工具.

例2?設a∈R，函數f（x）=cos（2πx-2πa）.x

）內恰有6個零點，則a的取值范圍是（??）.

A.2，94∪52，114??B.74，2∪52，114

C.2，94∪114，3D. 74，2∪114，3

解析?∵x2-2a+1x+a2+5=0最多有2個根，所以cos2πx-2πa=0至少有4個根，由2πx-2πa=π2+kπ，k∈Z可得x=k2+14+a，k∈Z，

由0

（1）x

當-6≤-2a-12<-5，fx有5個零點，即94

當-7≤-2a-12<-6，fx有6個零點，即114

（2）當x≥a時，f（x）=x2-2（a+1）x+a2+5，

Δ=4（a+1）2-4a2+5=8a-2，

當a<2時，Δ<0，fx無零點；

當a=2時，Δ=0，fx有1個零點；

當a>2時，令f（a）=a2-2a（a+1）+a2+5=-2a+5≥0，則2

所以若a>52時，fx有1個零點.

綜上，要使f（x）在區間（0，+8

）內恰有6個零點，則應滿足

7452或114

則可解得a的取值范圍是2，94∪52，114.答案為A.

3 數形結合思想

數形結合思想是指在數學學習和問題解決中，將代數和幾何兩個方面相結合，通過數學符號和圖形的相互關聯，更全面地理解和解決問題.在高中數學中，數形結合思想常常應用于幾何證明、函數圖象、方程解析等方面的問題解決中.數形結合思想主要包括以下幾個方面：（1）利用代數方法解決幾何問題：通過建立代數方程或不等式來描述幾何問題中的關系，從而利用代數方法解決幾何問題.例如，利用坐標系和代數方程求解幾何圖形的交點或面積等問題.（2）利用幾何圖形輔助解決代數問題：通過幾何圖形的性質和特點，輔助理解和解決代數問題.例如，通過觀察函數的圖象特點來推導函數的性質或解方程.（3）將代數和幾何相結合進行證明：在幾何證明中，常常需要結合代數方法來論證結論的正確性.通過代數和幾何的相互印證，增強證明的嚴謹性和可信度.（4）利用概率統計的圖形表示：在概率統計中，通過圖形化表示數據分布、概率分布等信息，直觀地理解和分析問題，從而更好地應用數學方法解決實際問題.數形結合思想的必要性在于其能夠綜合代數和幾何兩個方面的知識和方法，使問題的解決更加全面和深入.通過數形結合，我們可以在代數的抽象性和幾何的直觀性之間建立聯系，幫助我們更清晰地理解問題、發現問題的本質，并提高問題解決的準確性和效率.因此，在高中數學學習和實際問題解決中，運用數形結合思想是一種十分必要和有效的思維方式.

例3?若定義在R上的奇函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且f（2）＝0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（??）.

A．[-1，1]∪[3，+∞）

B．[-3，-1]∪[0，1]

C．[-1，0]∪[1，+∞）

D．[-1，0]∪[1，3]

解析?因為函數f（x）為定義在R上的奇函數，則f（0）＝0.又f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且f（2）＝0，畫出函數f（x）的大致圖象如圖2所示，則函數f（x-1）的大致圖象如圖3所示．

當x≤0時，要滿足xf（x-1）≥0，

則f（x-1）≤0，得-1≤x≤0.

當x>0時，要滿足xf（x-1）≥0，

則f（x-1）≥0，得1≤x≤3.

故滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3]．

例4?函數f（x）＝4-x2，x≤2，log3（x-1），x>2，g（x）＝kx-3k，若函數f（x）與g（x）的圖象有三個交點，則實數k的取值范圍為（??）.

A．（22-6，0）???B．（23-6，0）

C．（-2，0）?D．（25-6，0）

解析?作出函數4-x2，x≤2，log3（x-1），x>2，的圖象，如圖4所示.

設與y＝4-x2相切的直線為l，

且切點為P（x0，4-x20），

因為y′＝-2x，所以切線的斜率為k＝-2x0，

則切線方程為y-4+x20＝-2x0（x-x0），

因為g（x）＝kx-3k過定點（3，0），且在切線l上，

代入切線方程求得x0＝3-5或x0＝3+5（舍去），

所以切線的斜率為k＝25-6，因為函數f（x）與g（x）的圖象有三個交點，

由圖象知，實數k的取值范圍為（25-6，0）．

4 結束語

在高中數學教學中，注重數學思維方法的引導是新課程改革的核心內容，也是幫助學生提升關鍵數學能力的主要手段.教師需要積極尋找有效的策略，使數學思維方法在教學中得到有效的滲透，從而幫助學生掌握數學的核心思想，提升他們的問題解決能力.這樣，學生在面對數學學習中的困難時，能夠更好地做出判斷，找到解決問題的有效方法.

參考文獻：

［1］汪靜思.鍛煉數學思維，掌握數學方法：談高中數學思想方法的滲透[J].數理天地（高中版），2023（19）：65-67.

［責任編輯：李?璟］