基于QUBO模型的信用評分卡組合優化研究

許宏飛 牟玲星 許文杰 鄧姍姍 唐亞林

摘? 要：銀行貸款審核制度對于保障銀行財產安全、防范信貸風險和維護金融市場秩序具有重要作用。為提高審核效率和準確性，該文引入二維0-1變量，構建選擇1張信用評分卡和3張信用評分卡的銀行最大收益模型。借助變量線性組合的方程將不等式約束轉變為等量約束，通過換元法將二維變量表示為一維變量，利用0-1變量的性質添加懲罰項將目標函數轉化為無約束的QUBO模型。應用模擬退火算法進行快速求解并為銀行信用貸款資格審核工作提供指導。

關鍵詞：信用評分卡；最大收益模型；0-1二值變量；QUBO模型；銀行信用卡

中圖分類號：O29? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）19-0043-04

Abstract： Bank loan audit system plays an important role in ensuring bank property safety， preventing credit risk and maintaining financial market order. In order to improve the efficiency and accuracy of auditing， this paper introduces a two-dimensional 0-1 variable to construct a bank maximum return model which selects one credit scorecard and three credit scorecards. With the help of the equation of linear combination of variables， the inequality constraints are transformed into equivalent constraints， the two-dimensional variables are expressed as one-dimensional variables by the substitution method， and the objective function is transformed into an unconstrained QUBO model by adding a penalty term according to the properties of 0-1 variables. The simulated annealing algorithm is applied to solve the problem quickly and provide guidance for the bank credit loan qualification verification.

Keywords： credit scorecard; maximum return model; 0-1 binary variable; QUBO model; bank credit card

銀行通過歷史數據的學習制定審核規則對客戶進行信用貸款評估，這些規則稱為信用評分卡[1-2]。在信用貸款審核過程中銀行追求提高信貸效率和降低信貸風險，基于此研究人員發布了一些方法幫助銀行進行審核。例如，陸凌[3]根據調查數據使用邏輯回歸和Xgboost預測貸款客戶違約概率。陳戰勇[4]基于人人貸平臺數據，使用機器學習算法進行特征變量篩選，建立融合權重證據的信用評分卡模型用于預測借款客戶的違約情況。但是當數據量比較大時機器學習算法計算量較大，計算代價較大。QUBO模型[5-7]是一種用于解決組合優化問題的二次無約束二值優化模型，可以在量子計算機硬件上進行毫秒級的加速求解，這種模型和加速方式被看好將在未來各行業中得到廣泛的實際應用[8]。本文將多約束的信用貸款評估模型轉化為QUBO 模型求解可以快速完成評估，為銀行貸款審核提供幫助。

1? 問題描述

在銀行信用卡和貸款業務中，客戶在獲得信用或貸款資格之前需要通過審核規則進行信用評定。評定過程為通過信用評分卡的組合規則對客戶打分，不同的評分卡在不同的閾值下，對應不同的通過率和壞賬率。銀行通過率越高，獲得的利息收入越多，但也伴隨著更高的壞賬風險。銀行的最終收入等于貸款利息收入減去壞賬損失。

工作人員設置了100張信用評分卡，每張卡有10個閾值選項，總共有200列數據[9]，其中t1到t100代表每個評分卡的10個通過率選項，h1到h100代表每個評分卡的10個壞賬率選項。

建立數學模型研究以下問題。

問題1：在給定的100個信用評分卡中選擇1張評分卡及其對應的閾值，使最終收入最大化。

問題2：從給定的100個信用評分卡中任選取3種評分卡，并設置它們的閾值以使最終收入最大化。

2? 優化模型建立與QUBO模型轉化及求解

2.1? QUBO模型基礎知識

QUBO模型描述優化問題的數學公式為

式中：x是二值變量組成的列向量，Q是對稱矩陣或上（下）三角矩陣，下面給出一個優化問題轉化QUBO模型的例子，考慮優化問題。

進一步可以簡記為式（1），容易求得最大值在（x1，x2，x3=（0，0，1）處取到。

QUBO模型是一類被認為是NP難的問題，精確求解器（如CPLEX和Gurobi）很難在除了小問題之外找到最優解。幸運的是，現代元啟發式方法能夠在合理的時間內找到高質量但不一定是最優的解決方案[7]，這為經典計算和量子計算的結合提供了有價值的可能性，QUBO模型可以自然地用來解決各種優化問題。此外，許多與QUBO模型看似無關的問題也可以重新表述為QUBO模型。本文接下來將帶約束的信用評分卡優化模型轉化為QUBO模型求解。

2.2? 1張信用評分卡優化模型與QUBO模型轉化及求解

問題1：需要選擇使得銀行獲得最大收入的信用評分卡及閾值組合。最終收入可以表示為貸款利息收入與壞賬損失的差。設有N種信用評分卡，每種信用評分卡對應有n個閾值，引入0-1變量eij，eij=1表示選擇組合閾值i和信用評分卡j，反之不選擇閾值i或信用評分卡j。設H為貸款總資金，r為利息收入率，tij為組合閾值i和信用評分卡j的通過率，hij為組合閾值i和信用評分卡j的壞賬率。g為貸款收入。最優組合的收益表示

為了將約束條件整合到目標函數表達式中，引入懲罰項將式（2）化為無約束形式

2.3? 3張信用評分卡優化模型與QUBO模型轉化及求解

2.3.1? 約束條件的矩陣形式

在實際場景中可能選擇多張信用評分卡和閾值組合一起對貸款客戶信息信用評定，問題2要求選擇3張信用評分卡，有

那么

根據式（4）不難推出

為了寫成矩陣形式，設

式中：aj=（0，0，…1，0，…，1，…，1…，0）T，列向量的第j，（N+j），…，Nn-1+j個分量為1，其余為0。記ajaj=Aj，則選擇不同信用評分卡約束可表示為

2.3.2? 3張信用評分卡優化模型的建立及QUBO模型轉化

貸款收入等于貸款利息收入減去壞賬損失，根據約定[9]多種信用評分卡組合的總通過率為所有信用評分卡通過率的乘積，總壞賬率等于所有信用評分卡對應壞賬率的平均值。

3張信用評分卡組合的通過率即為eijtij中不為0的3個之積，而選擇哪3個是未知的，且沒有選中的信用評分卡eijtij一定為0。而

因此3張信用評分卡卡最優組合的收益為

求解式（8）可以轉化為求解以下優化問題

轉化eij為單下標變量并重新編號eij=x，lntij=lntk，hij=hk，k=N（i-1）+j，由xk為0-1變量，x=xk，帶入式（6），上面的模型可化為

舍掉常數項，QUBO形式為

2.3.3? QUBO模型的求解

代入N=100，n=10，H=1 000 000，r=0.08及信用評分卡調查數據，選取P為uvT-Λ的最大值，應用模擬退火算法溫度設為100 000 ℃，最大迭代次數設為100 000 000，進行多輪求解，求得最小值對應的解x為第108，249，533個分量為1，其他分量為0。

根據eij=xk，k=N（i-1）+j還原可得i=2，l=8；j=6，p=33；k=3，q=49。所以3張信用評分卡收益最大的組合為信用評分卡8和閾值2，信用評分卡33和閾值6，信用評分卡49和閾值3。

3? 結束語

本論文利用QUBO模型解決銀行信貸客戶資格審核問題，以實現銀行的最大收益。在3張信用評分卡組合的優化模型建立中，以各信用評分卡為底數，以二維0-1變量eij指數連乘表示信用評分卡組合的總通過率，以選中3張信用評分卡的平均壞賬率表示總壞賬率，建立3張信用評分卡組合的最優收益模型，通過變量線性組合的方程將難以整合到懲罰項的不等式約束轉化為等號約束，再將二維變量簡化為一維變量，成功將帶有連乘項和連加平方項的目標函數簡化為同解的只具有連加項的目標函數，并將其轉化為無約束的QUBO模型進行求解。本文重點介紹了1張信用評分卡和3張信用評分卡的情況，其他情況類似，不再詳述。研究結果表明，在使用QUBO模型進行求解時，只需關注Q矩陣部分，求解速度快。尤其是在解決1張信用評分卡的情況下，最優解恰為Q矩陣主對角線的最小值。總的來說，QUBO模型易于操作和求解，并可為銀行的信用評估工作提供便捷和支持。

參考文獻：

[1] 林治乾，嚴志輝.信用評分卡在中小企業貸款業務中的應用[J].銀行家，2013（2）：77-79.

[2] 丁衛東.信用評分卡在電商小微企業信貸中的應用[D].杭州：浙江大學，2016.

[3] 陸凌.信用風險評分卡模型[D].上海：上海財經大學，2020.

[4] 陳戰勇.珠聯璧合：基于機器學習的網絡借貸信用評分卡模型研究[J].武漢金融，2020（3）：42-50.

[5] PAPALITSAS C， ANDRONIKOS T， GIANNAKIS K， et al. A QUBO Model for the Traveling Salesman Problem with Time Windows[J].Algorithms，2019，12（11）：224.

[6] MORSTYN T.? Annealing-Based Quantum Computing for Combinatorial Optimal Power Flow[J]. IEEE Transactions on Smart Grid， 2023，14（2）：1093-1102.

[7] GLOVER F， KOCHENBERGER G， HENNIG R， et al. Quantum bridge analytics I：a tutorial on formulating and using QUBO models[J].Annals of Operations Research，2022（314）：141-183.

[8] VERMA A， LEWIS M. Penalty and partitioning techniques to improve performance of QUBO solvers[J].Discrete Optimization， 2020：100594.

[9] 2023年第十三屆MathorCup高校數學建模挑戰賽A題[EB/OL].http：//mathorcup.org/detail/2417，2023.4.13.