探索思路構建，提升核心素養

易紅

【摘要】教師在教授學生解決數學問題時，我們需要重視學生的學習狀況，以他們的思維能力為基礎，鼓勵他們去研究和解決問題，用一系列的條件來建立思考的框架.中考的幾何題目最后一題往往在教材的各個知識點交叉部分出題，掌握圖形的特性，逐步解構和建立，可以達到解決問題的目標.在教導解題的過程中，我們需要關注學生的思維，注重研究的體驗.這篇文章研究了一個幾何綜合題目的建設過程，并提出了相關的教學建議.

【關鍵詞】幾何；動態；模型

教師在講授解題的核心是培育學生的思考能力，使他們變得擅長解決問題.然而，解決問題的關鍵并不在于數量，而在于質量，我們需要通過解題讓學生深刻掌握概念，鞏固基礎，從而靈巧地應對各種各樣的問題.下面我將用一道幾何難題為例，關注學生的思考，探究解題的過程，構建問題解決的思維路徑.

1 問題呈現

例1 如圖1，假設在四邊形ABCD中，E是BC線段上的點，DE⊥BC，∠A=45°，AB=BE，F是CD線段上的任意一點.連接BF、EF，并對以下問題給出答案.

（1）如圖1，如果點F和D疊在一起，CE=1，求BD的長度？

（2）如圖2，當F點恰好位于CD的中心位置，那么∠ABF的平分線AG和AD線段會相交于G點，試證明：BF=22EC+AG

（3）在（1）條件成立的情況下 ，將 △CEF沿CD平移 ，得到△C′E′F′ 連接BE′將BE′繞著點E′順時針旋轉90°得線段E′B′，再連接AB′和BB′， 在平移過程中，當△ABB′的周長最短時，請求出tan∠DAB′的值.

本題是一道幾何綜合問題，它的特點是融合性強，完全滿足了新的教學大綱對學生的知識和能力測評的需要.該問題將動態幾何與邏輯推理結合起來，題目的設定簡潔明了，圖像清晰易懂，設計獨特巧妙.此問題的難度層次感強，知識綜合要求高尤其是第三個題目，通過把圖形的位移和線段的轉動結合，同時融入了三角函數，最大周長等知識.位移和轉動的結合在重要的題目中并不常見，這個問題的新穎性并沒有超過考試大綱，給予了學生更多的思考可能，可以根據不同的條件尋找解題口徑.在具體的解題過程中，學生的思考方式會有較大的差別，教學指導更側重于對圖像的全面分析，注重建立思維的路徑，探索解題的方向.

2 針對學生開展解題分析

這個題目本質上是一個幾何綜合問題，對于基礎不扎實的學生，題目的復雜程度過高，通常他們會在閱讀題目后選擇放棄.該問題主要圍繞平行四邊形進行研究，探討了F點的位置，并提出了涉及系數的線段以及差值關系的論述.它利用動態圖像闡釋了建立三角函數的方法.對于那些基礎一般的學生，如果他們無法理解線段系數的特殊特性，構建等腰直角三角形，采用“瓜豆原理”去解析移動點的路徑，那么他們將會很難改變條件，也無法把條件與幾何相似或等效的概念聯結起來.因此，要想順利探究問題，主要需要注意兩個方面：一是要重視分析解題的關鍵環節；二是要重視改變條件，構建解題策略.

2.1 第（1）問的解題分析

在問題一中，F點和 D點是重合的.根據 DE與BC的垂直關系，我們可以得出DBE三角形是個直角三角形. 利用勾股定理和四邊形的性質，我們能計算出BD的距離.這個問題是十分簡便的.確立端點推進的開始是相當重要的，由于∠A=45°，從而認定三角形 DEC為等腰直角三角形.因此，DE和EC的長度均為1，由此得出DC、AB和BE的長度.在直角三角形DEB里，DE=1，BE的距離待定，能夠通過勾股定理計算出BD的距離，同時整體圖像的線段距離如圖4展示.教學時，教師應引導學生關注此圖形的兩個關鍵特征：第一個是直角三角形的屬性——勾股定理；另一個是平行四邊形的屬性——等長對邊.基于這些幾何屬性進行線段關系的演繹，并且在考慮角度條件時，能引導學生從幾何特征和三角函數的視角去探究.建議使用前述直觀方式解決圖形線段的推導問題，把相關線段的標記寫在圖內，這有助于建立線段聯系.在首個問題里，F點和 D點實際上是同一個位置.依據 DE與 BC垂直以及 F點與 D點的重合狀況，我們可以確認三角形DBE是個直角三角形，通過應用勾股定理和利用四邊形的性質，對求解BD的長度就相對簡單了.挑選適當的段進行推理的起始非常關鍵，當定出∠A=45°后，我們可以推斷出三角形DEC是一個等腰直角三角形，由此也能得出DE和EC的長度是1.根據這個推論，我們能進一步得知 DC、AB和BE的長度.在直角三角形DEB里，DE的距離為1，BE的距離應用勾股理論，我們可以計算出 BD的距離.圖4揭示了整體圖形的線條長度.

在進行教導的時候老師必須指導學生們深度領悟這個圖像的兩個焦點——一是直角三角形的特質也就是勾股定理；再者就是平行四邊形的特征，那就是對邊等長.了解這些幾何特征后，我們可以推理出線段的關系.在處理角度問題時，教師能夠教導孩子們從幾何特征和三角函數的視角進行探索.我建議對于圖形線段推演難題，采納更直觀的方法，將所需的線段長度直接在圖上表示出來，這樣有助于確認線段間的關聯.

2.2 第（2）問的解題分析

關于第二個問題，對于含有系數的線段和差的轉化策略掌握也不夠牢固，因此無法靈活地構建圖形，也就無法消除系數，將其轉變為常見的線段和差的關系.依據這個系數，我們自然會想到構建等腰直角三角形，根據題目的給定條件，將其轉化為EF或 FC 或 DF即可，具體的證明步驟如下：

將FE延伸到點H，使∠GBH=135°，如圖5展示的那樣.通過引用平行四邊形的特性我們可以推導出.∠ABC=135°，故∠GBH=∠ABC， 即∠ABG=∠EBH.鑒于DE和EC呈直角，且角度C為45°，我們可以推定，三角形DEC是一個等腰直角三角形.而F點位于DC的中心，這就說明EF和CF正交并具有同樣的長度，因此，我們可以推出∠FEC與∠BEH的度數均為45°，EF=22EC.我們可以進一步驗證 △ABG和△EBH的等價性，這就意味著∠H∠AGB和∠EBG是相等的.另外，我們已經知道BG是∠ABF的平分線，因此∠ABG和∠FBG的大小是一致的.因此，∠FBG和∠EBH也是等大的，這樣就可以推斷出∠EBG和∠FBH是同等大小的，∠H=∠FBH. 所以FB=FH=22EC+AG

在解答此問題時，我們還能采用新穎的方式，將AB作為邊構造一個與△BEF全等的三角形，進一步運用平行四邊形屬性推導出△HBG是一等腰三角形.利用線段和差和等腰直角三角形理論，也可以推導出驗證，如下述詳細說明：

延長DA至H，使得AH=EF，再連接BH ，如圖6所示.可以直接證明∠BEF和

∠BAH都=135°，同時我們已知AH等于EF，BA等于BE，所以可以推斷出三角形ABH與三角形EBF是全等的，這就意味著BH與BF是相等的，而且∠ABH與∠EBF也是相等的.考慮到BG是∠ABF的平分線，因此.∠ABG=∠FBG，由此可以得出∠HBG等于∠EBG的結論.由于AD平行于BC，那么 ∠HGB就會等于∠EBG. 這就表明∠HGB等于∠HBG，進而我們可以知道BF，HB，HG的長度=AH+AG=22EC+AG

2.3 第（3）問的解題分析

題目第三部分是一個整合了幾何運動和三角函數的復合題，考查的是圖形的位移和段落的旋轉.結合平移知識可知，點E′的運動軌跡為過點 E 且平行 于 CF′的一條線 段 . 利用“瓜豆原理”分析點B′的運動軌跡. 過 點E作 EL⊥BE，使 得 EL=BE，構 造 等 腰直角三角形△BEL，如圖7所示. 易證圖 7中陰 影部分的兩個三角形為相似關系 ，故有∠B′LB=∠E′EB=45° 所以∠B′LE=90°，即點B′在過點L且平行于BE的射線上.△ABB′的周長可表示為C△ABB′=AB+ BB′+AB′，其中AB為定值 ，則三角形周長的最小值由“BB′+AB′”來決定 ，符合“將軍飲馬”模型. 延長LB′，作點A關于 LB′的對稱點A′ ，由對 稱性可知AB′= A′B′，則BB′+AB′=BB′+A′B′. 分析可知，當 點A′，B′，B三 點 共 線1 時 BB′+A′B′可取得最小值 ， 此時點B′為A′B與直線L的交點，如圖8所示. 可證圖8中有△ANB′∽△A′OB，由相似性質可得NB′OB=ANA′O，其中OB=1，AN=2－1，A′O=22－1則 NB′=2－122－1而 tan ∠DAB′=tan∠AB′N=NANB′=22－1，即 tan ∠DAB′的 值 為22－1

3 圍繞教學深入思考

對學生的思考能力進行的上述考題研究中，總共包含了三個問題，其中后兩個的難度相對較高.這些問題各自獨立，然而又存在著某種知識上的聯系，因此具有很強的綜合性. 經過深入思考，提出了相應的建議.

3.1 基礎強化，知識聯網

對初中數學學習的概念、定理、定義和公式深入理解和掌握是解決綜合性問題的基石.只有深入理解知識的本質，使用適當的解題策略和技巧，才能在解決問題的過程中靈活應變.在任何一題中，比如平行四邊形的特性、勾股定理，或相似和全等三角形的特性，這些都是解答問題的根基.若學生未能深刻理解這些知識點并靈活運用，有可能在解題時遇見困難.故老師應該對"只強調問題解答，忽視基礎知識"的觀點有所改變，教學時需注重講解基礎理論，并結合考試技巧，以增強學生的解題能力.

3.2 重視審題，過程推理

這個問題蘊含著各種詳盡的信息條件，包括平移與旋轉的幾何變換，最大/最小周長，三角函數等常見知識的覆蓋.要通過對題目信息的解讀，理解問題的設定，掌握圖形規律，這是題目審查過程的關鍵環節.一些學生在這個過程中可能會忽略條件分析，導致他們無法深度理解圖像所含的暗示，從而在解題過程中可能會感到思維難度.因此，在日常教學中，教師需要按照教科書的習題示范學生如何正確的審題，引導他們轉化信息條件，感受解題的過程，并且在圖形變換和過程分析中幫助他們提升思維能力，并培養他們理性分析的習慣.

3.3 注重積累，總結模型

所提及的問題綜合性較強，尤其是末尾的問題整合了眾多的模型，如“瓜豆模型”和“將軍飲馬模型”，為后續的問題設置了必要的條件.盡管數學模型可能并非教科書的核心內容，通過對模型的歸納與結果的總結，解題效率仍可顯著提升.因此，在實踐教學中，教師不應僅教授題目，反而應該重視整理知識模型，并鼓勵學生關注圖形模型，對模型結果進行總結，進而創建相應的答題策略.同樣地，教師需要重視從多個視角研究模型，擴展模型的結果，以引導學生在學習中學以致用，在探索和思考的過程中提升他們的知識和能力.

參考文獻：

［1］劉偉鵬．一道“三點共線”問題的解法 ［J］ ．中學數學參考（ 下旬） ，2019 （3） ：77－78．

［2］趙臨龍關于二次曲線三點共線的統一證明及思考 ［J］ ．中學數學研究，2019 （9） ： 23-24.