經(jīng)歷抽象過程，發(fā)展形象思維

王燕萍

［摘? 要］ 動(dòng)手操作是解決學(xué)科抽象性與思維形象性之間矛盾的重要手段。文章結(jié)合動(dòng)手操作的內(nèi)涵和意義，闡述其在教學(xué)中的運(yùn)用策略：讓學(xué)生在多樣方法中直觀感受數(shù)學(xué)內(nèi)涵，在多次嘗試中解決實(shí)際問題，在動(dòng)手實(shí)踐中發(fā)展思維品質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］ 動(dòng)手操作；形象思維；抽象；探索

隨著課堂教學(xué)改革的深化，動(dòng)手操作在課堂教學(xué)中得到了廣泛運(yùn)用。什么是“動(dòng)手操作”？筆者認(rèn)為動(dòng)手操作是指在教師的數(shù)學(xué)思想和理論指導(dǎo)下，學(xué)生通過制作數(shù)學(xué)實(shí)物模型、操作數(shù)學(xué)學(xué)具等活動(dòng)，來鍛煉手、口、眼、鼻、腦等多種感官協(xié)調(diào)能力的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。動(dòng)手操作活動(dòng)旨在讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中提高感性認(rèn)識(shí)，直觀感知?jiǎng)討B(tài)過程，把外部顯性活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部隱性語言，為學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的抽象內(nèi)涵和提升思維能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

皮亞杰認(rèn)為，傳統(tǒng)教學(xué)的缺點(diǎn)在于教師注重用口頭講解，不注重實(shí)際操作。動(dòng)手操作可以解決傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問題，改變學(xué)生被動(dòng)聽課的弊端，使傳統(tǒng)課堂轉(zhuǎn)向以激勵(lì)學(xué)生發(fā)揮潛在能力、調(diào)動(dòng)多種感官的自主探究，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀的、具體的內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)理論和實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合。同時(shí)，動(dòng)手操作還可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、分析問題和解決問題的能力、應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)新意識(shí)，幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念、法則和公式，感受數(shù)學(xué)所蘊(yùn)藏的奧秘。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)形象思維具有間接性、概括性、形象性、邏輯性、層次性和創(chuàng)造性的特點(diǎn)。動(dòng)手操作可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)形象思維能力，讓學(xué)生在操作中直觀感受數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則和數(shù)學(xué)公式的形成過程，發(fā)現(xiàn)不同層次的數(shù)學(xué)方法并感受其優(yōu)劣。

“數(shù)學(xué)動(dòng)手操作能力”［１］是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）提出的要求：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，還包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方法。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生的體驗(yàn)和理解、思考和探索。教師在課堂上注重學(xué)生的動(dòng)手操作能夠使其經(jīng)歷解決問題和數(shù)學(xué)概念形成的過程，認(rèn)識(shí)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思維方法，幫助其更好地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

一、從“被動(dòng)”走向“主動(dòng)”，讓學(xué)生在多樣方法中直觀感受數(shù)學(xué)內(nèi)涵

美國學(xué)者大衛(wèi)·庫伯在《體驗(yàn)學(xué)習(xí)——讓體驗(yàn)成為學(xué)習(xí)與發(fā)展源泉》中說，學(xué)習(xí)是體驗(yàn)、感知、認(rèn)知和行為四個(gè)方面整合統(tǒng)一的過程。教師在教學(xué)過程中只是告知學(xué)生抽象的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，忽略了探索和體驗(yàn)概念或規(guī)律產(chǎn)生的過程與原因，導(dǎo)致教學(xué)過程脫離學(xué)生生活實(shí)際，這樣不利于學(xué)生真正理解概念和培養(yǎng)形象思維。相較于簡(jiǎn)單“被動(dòng)”地告知學(xué)生結(jié)論，教師創(chuàng)設(shè)有趣的問題情境更能激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主思考、動(dòng)手操作，讓學(xué)生在積極嘗試中找到規(guī)律、得出結(jié)論，進(jìn)而理解和掌握概念，并在其他情境中靈活運(yùn)用。

在概念教學(xué)中，筆者常常發(fā)現(xiàn)：部分學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)屬性理解不透徹，對(duì)概念內(nèi)涵“似懂非懂”，只是機(jī)械記憶概念或公式。這表明學(xué)生還沒有真正理解概念，只是被動(dòng)地記憶概念和規(guī)律，這需要教師在課堂上給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、動(dòng)手嘗試、自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作形成形象思維，在觀察、記錄、比較、思考、交流中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，在“圓周長”的教學(xué)中，如圖1，教師設(shè)計(jì)了探究圓周長與直徑關(guān)系的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

測(cè)量圓的周長

1. 量一量：用你喜歡的方法量一量塑料圓片的周長與直徑。

2. 算一算：算出周長除以直徑的商，填在“探究單”的表格中。（可使用計(jì)算器，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

3. 說一說：觀察計(jì)算結(jié)果，說說你的發(fā)現(xiàn)。

通過這一操作探索，學(xué)生直觀地感受到圓不同于正方形、三角形，是曲線圖形，無法用直尺直接測(cè)量出周長。在動(dòng)手操作中，有的學(xué)生把圓剪下來，沿著直尺的一邊，緊緊貼合著直尺滾動(dòng)一周測(cè)量出圓的周長；有的學(xué)生用繩子緊緊繞著圓圍一圈，在繩子上做好標(biāo)記，量出繩子的長度測(cè)量出圓的周長。與教師直接出示動(dòng)態(tài)的演示課件相比，這樣的動(dòng)手操作設(shè)計(jì)更能引導(dǎo)學(xué)生感受π的大小和內(nèi)涵，既能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)分工、合作的意識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和動(dòng)手操作能力。

通過動(dòng)手操作，學(xué)生想到用“滾圓法”和“繞圓法”來測(cè)量圓的周長，教師適時(shí)地滲透“化曲為直”的思想，讓學(xué)生初步理解轉(zhuǎn)化的思想；通過動(dòng)手操作，學(xué)生在多種方法中發(fā)現(xiàn)圓的周長是直徑的三倍多一點(diǎn)，更直觀、形象地感受了π的大小。

二、從“直覺”走向“本質(zhì)”，讓學(xué)生在多次嘗試中解決實(shí)際問題

英國學(xué)者斯賓塞說：“天生的能力必須借助于系統(tǒng)的知識(shí)。直覺能做的事很多，但是做不了一切。只有天才和科學(xué)結(jié)了婚才能得到最好的結(jié)果?！痹谛率谡n時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，在面對(duì)簡(jiǎn)單或熟悉的問題時(shí)，學(xué)生常?？恐庇X動(dòng)手操作能夠快速發(fā)現(xiàn)規(guī)律和得出結(jié)論；然而面對(duì)稍復(fù)雜的問題時(shí)，學(xué)生很難一下子得出結(jié)果和感受本質(zhì)，這需要教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多次嘗試，帶著辯證的態(tài)度去思考。

比如，在感悟轉(zhuǎn)化策略時(shí)，很多學(xué)生靠直覺把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題。然而對(duì)于什么是轉(zhuǎn)化策略、何時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略、如何靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，這需要學(xué)生在更多的問題情境中通過動(dòng)手操作來深化理解。在轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用環(huán)節(jié)，教師應(yīng)重點(diǎn)呈現(xiàn)僅憑直覺容易出錯(cuò)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考這種操作方式的不足之處，進(jìn)而調(diào)整自己的思維方式。學(xué)生只有經(jīng)歷“操作—出錯(cuò)—糾正—再操作”的過程，才能加深對(duì)策略的理解與感悟，從而提高分析問題和解決問題的能力。

比如，在“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”的練習(xí)中，教師對(duì)題目稍做改變，可以提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用能力，如圖2。

明明和東東在同樣大小的長方形紙上分別畫了一個(gè)圖案（圖中直條的寬度都相等且每個(gè)圖中的陰影部分互相垂直）。這三個(gè)圖案的面積相等嗎？為什么？

借助直覺，大多數(shù)學(xué)生通過平移得出第一個(gè)、第二個(gè)長方形中陰影部分面積相等的結(jié)論；通過分割、平移第三個(gè)長方形里的圖案，憑借直覺得出與前兩個(gè)圖案面積不相等的結(jié)論。此時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)，指出題目的關(guān)鍵信息“直條的寬度都相等且每個(gè)圖形陰影部分互相垂直”。學(xué)生結(jié)合教師的引導(dǎo)和以前所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)平行四邊形直條的底和長方形直條的寬一樣長，平行四邊形直條的高和長方形直條的長相等；然后利用“等底等高”的知識(shí)把平行四邊形直條的面積轉(zhuǎn)化成長方形直條的面積，通過分割、平移得出三個(gè)長方形中陰影部分的面積都相等。

問題：如圖3，用分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分。

部分學(xué)生憑借直覺把涂色部分的正方形旋轉(zhuǎn)成3×3的正方形，得出的答案。當(dāng)其他學(xué)生提出疑問時(shí)，教師為學(xué)生提供透明的方格紙，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。通過轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、比一比、想一想的方式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)涂色部分的正方形要比3×3的正方形大一點(diǎn)，因此之前所得結(jié)論是錯(cuò)誤的。

教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，把正方形進(jìn)行分割，涂色部分的正方形可以分割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)小正方形。此時(shí)學(xué)生想到了運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略，把不滿整格的4個(gè)直角三角形拼起來，變成滿格的2個(gè)大長方形，如圖4。學(xué)生用數(shù)格子或者運(yùn)用面積計(jì)算公式得出結(jié)論，真正體會(huì)轉(zhuǎn)化的價(jià)值和掌握轉(zhuǎn)化的本質(zhì)。

學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中進(jìn)行了更深層次的思考，不斷感悟轉(zhuǎn)化的策略，提高了自我檢查、自我糾錯(cuò)的能力。

三、從“此岸”走向“彼岸”，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中發(fā)展思維品質(zhì)

學(xué)以致用是教學(xué)的最高目標(biāo)。課堂上，教師常常只在新授課階段引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，忽視了在鞏固練習(xí)階段設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過動(dòng)手操作來解決的問題。如果學(xué)生只學(xué)會(huì)知識(shí)而不應(yīng)用知識(shí)來實(shí)踐，這不利于其深入了解和鞏固知識(shí)。

比如，在“分?jǐn)?shù)的意義”一課中，如圖5，筆者設(shè)計(jì)了動(dòng)手操作的練習(xí)題。

在新授課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了單位“1”，能夠根據(jù)具體情境表示相應(yīng)的分?jǐn)?shù)或說明分?jǐn)?shù)的具體意義。教師通過這道開放性的練習(xí)，放手讓學(xué)生利用素材創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)習(xí)—感悟—運(yùn)用—?jiǎng)?chuàng)新”的過程。學(xué)生通過動(dòng)手操作自主創(chuàng)造了分?jǐn)?shù)，并分享創(chuàng)造的分?jǐn)?shù)的具體含義，感受同一個(gè)分?jǐn)?shù)在不同的情境中表示的含義不同，同一個(gè)素材可以表示不同的分?jǐn)?shù)。通過練習(xí)，學(xué)生能夠形象地認(rèn)識(shí)和理解分?jǐn)?shù)的意義與價(jià)值，培養(yǎng)了觀察、比較、綜合和抽象、概括的思維能力及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。

高斯曾說，數(shù)學(xué)中的一些魅力一定具有這樣的特效：它們極易從事實(shí)中歸納、概括出來，但證實(shí)隱藏得極深。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視動(dòng)手操作教學(xué)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的教學(xué)情境，給予學(xué)生豐富的教具和充足的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作中提高思維能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２.