老師，為什么可以這樣求最大公因數(shù)

蔣世雷 張宇瓊

［摘? 要］ 在小學數(shù)學教學中部分教師過分關(guān)注知識“是什么”和“怎么做”，較少關(guān)注“為什么”。教師只有深入研讀課標和教材，把握數(shù)學的本質(zhì)，強化對數(shù)學本質(zhì)的理解，弄清知識的來龍去脈，基于數(shù)學理解進行教學設(shè)計，才能取得理想的教學效果。

［關(guān)鍵詞］ 最大公因數(shù)；數(shù)學理解；教學設(shè)計

一、學生的疑問：老師，為什么可以這樣求最大公因數(shù)

近日，筆者觀摩了一名青年教師執(zhí)教“最大公因數(shù)”的公開課（內(nèi)容見圖1）。在教學中，筆者發(fā)現(xiàn)這名教師沒有深研教材編寫者的意圖，而是機械地教學：先用12和30的公因數(shù)2去除12和30；然后用公因數(shù)3去除，一直除到商2和5只有公因數(shù)1（即商是互質(zhì)數(shù)）為止；最后把所有的除數(shù)2和3連乘起來，就得到12和30的最大公因數(shù)是2×3＝6。教師通過大量的練習引導學生遵照這個方法去做，讓絕大部分學生掌握求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法。

課后筆者正準備與這名教師交流，不料有個學生拿著數(shù)學教材走了過來，向他請教：“老師，今天的課我知道了怎么用短除法來求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，但我有個疑問：為什么可以這樣求最大公因數(shù)呢？”

見此情形，筆者不禁莞爾一笑：這個孩子真不簡單！因為他知道數(shù)學學習不僅要“知其然”，還要”知其所以然”。

二、我們的追問：為什么要重視理解

雖然課改已實施多年，但在教學實踐中，特別是在計算、幾何等領(lǐng)域的教學中，部分數(shù)學教師受傳統(tǒng)教育的影響過度強調(diào)對定義、定理、法則、公式的灌輸與記憶，不太注重對這些概念、知識的發(fā)生、發(fā)展、運用過程的揭示與解釋，造成部分學生只會根據(jù)“法則”來進行計算，只會根據(jù)“模型”來解決問題，但不理解為什么可以這樣做。這樣的現(xiàn)象常常發(fā)生在一節(jié)課的新授環(huán)節(jié)，教師過分關(guān)注知識“是什么”和“怎么做”，較少關(guān)注“為什么”，更不用說基于學生實際去關(guān)注“還可以怎么做”和“為什么還可以這樣做”。即使部分教師關(guān)注“為什么”，常常也是淺嘗輒止，留給學生動腦思考、理解、消化的時間很少，而是騰出更多時間來做大量的練習，其中不乏機械式、模仿式的練習。這從表面上來看，教師好像完成了一節(jié)課既定的教學任務(wù)，學生“掌握”得也不錯，顯得非常“高效”。但實質(zhì)上，學生理解不透徹，只會“按部就班”“依樣畫葫蘆”，一遇到稍微有點變化的問題就手足無措，不知從何下手，顯然這是一種“偽高效”。

英國學者斯根普認為，數(shù)學學習通常有兩種理解方式：工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解是指一種語義性理解，比如符號A所指代的事物是什么，或指一種程序性理解；一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么、如何操作。簡言之，工具性理解就是按照語詞的本意和計算程序進行操作，即只知是什么或怎么做，不知為什么。關(guān)系性理解則需要學習者認識知識意義和替代物的結(jié)構(gòu)，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等），以及規(guī)則本身所具有的邏輯依據(jù)等。簡言之，學習者不僅要知道是什么和怎么做，而且要知道為什么可以這樣做和還可以怎樣做。

因此，在教學中教師不僅要讓學生“知其然”，還要讓學生“知其所以然”，即注重強化學生對知識的真正理解。基于此，教師有必要在課堂教學中對學生的數(shù)學理解進行深入研究，以真正達到教學的有效和高效。

三、教師的對策：基于數(shù)學理解的教學設(shè)計

在實際的調(diào)研過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：大部分教師雖然認識到數(shù)學理解的重要性，但面對“如何深刻理解數(shù)學的本質(zhì)”“如何進行有深度的體現(xiàn)‘數(shù)學味的教學設(shè)計”“如何構(gòu)建基于數(shù)學理解的有效課堂”等問題，仍存在許多困惑。下面筆者以“最大公因數(shù)”一課的教學為例，談?wù)剛€人的一點看法。

求兩個數(shù)的最大公因數(shù)一般用短除法。西南大學版教材通過列舉出12和30的所有因數(shù)，找到12和30的公因數(shù)和最大公因數(shù)，通過例子指出可以像這樣用短除法求最大公因數(shù)（如圖1）：先用12和30的公因數(shù)2去除，再用公因數(shù)3去除，一直除到商2和5只有公因數(shù)1為止（即商是互質(zhì)數(shù)為止），然后把公因數(shù)2和3乘起來就是它們的最大公因數(shù)。為什么可以這樣求兩個數(shù)的最大公因數(shù)呢？筆者認為，關(guān)鍵問題在于要引導學生發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律后，學生就會理解求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，關(guān)鍵就是找到這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，然后把公有的質(zhì)因數(shù)乘起來，就能求出它們的最大公因數(shù)。同時，數(shù)學講求簡捷，在比較中改進，從而得到更簡便的用短除法求最大公因數(shù)的方法。

為此，筆者在教學中對本環(huán)節(jié)教學進行了改進。

1.用列舉法找到兩個數(shù)的最大公因數(shù)，理解什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)

教學片段1：

出示例題，學生齊讀例題：一張長30cm、寬12cm的長方形紙，剪成大小相等的正方形且沒有剩余，這個正方形的邊長最大是多少厘米？

師：想一想這個正方形的邊長與長方形的長和寬有什么關(guān)系？

生1：這個正方形的邊長既是長的因數(shù)，又是寬的因數(shù)。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師：那么求這個正方形的邊長最大是多少厘米，實際上就是求什么？

生1：實際上是求既是長的因數(shù)又是寬的因數(shù)中最大的一個。

師：你們準備怎么找到既是長的因數(shù)又是寬的因數(shù)中最大的一個？

生2：可以把長的所有因數(shù)和寬的所有因數(shù)列舉出來，再圈出它們公有的因數(shù)，從而找到它們公有的因數(shù)中最大的一個。

師：請同學們就用生2說的方法找一找。

學生自己列舉出12和30的因數(shù)，再找出它們公有的因數(shù)和最大的一個公有的因數(shù)后進行匯報。

師：誰找到了？上臺來給大家說說。

生3（上臺邊板書邊匯報）：我發(fā)現(xiàn)12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12；30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。所以12和30公有的因數(shù)有1，2，3，6。最大的一個是6，所以這個正方形的邊長最大是6厘米。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師（出示課件，如圖2）：通過剛才的活動，同學們用列舉法先分別列舉出12和30各自的因數(shù)，找到了它們公有的因數(shù)有1，2，3，6。最大的一個是6，所以這個正方形的邊長最大是6厘米。

師（出示課件）：1，2，3，6是12和30公有的因數(shù)，叫作12和30的公因數(shù)。其中6 是最大的一個公因數(shù)，叫作它們的最大公因數(shù)。來，我們一齊讀一讀。

2. 用分解質(zhì)因數(shù)法找到規(guī)律：兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積

教學片段2：

師：剛才，我們用列舉法找到了兩個數(shù)的最大公因數(shù)。那么這兩個數(shù)和它們的最大公因數(shù)究竟有什么關(guān)系呢？下面我們一起來做進一步的研究。

請同學們將12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：我先把12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)12和30都有質(zhì)因數(shù)2和3，而把它們乘起來，就可以得到這兩個數(shù)的最大公因數(shù)6。

師（課件梳理，如圖3）：同學們的發(fā)現(xiàn)真不錯！把12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)12和30都有質(zhì)因數(shù)2和3，而把它們乘起來，就可以得到這兩個數(shù)的最大公因數(shù)6。

師：是不是所有的兩個數(shù)的最大公因數(shù)都等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積呢？接下來，我們通過兩組數(shù)來驗證。

出示活動要求：研究兩個數(shù)的最大公因數(shù)都等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積嗎？

第1組數(shù)：12和18；第2組數(shù)：20和30。

（1）任選一組數(shù)，用列舉法找出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。

（2）將這兩個數(shù)和它們的最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。

（3）我的結(jié)論是（? ? ? ?）。

學生研究后匯報。

生5：我研究的是第1組數(shù)，12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12；18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18。12和18的最大公因數(shù)是6。將12、18和它們的最大公因數(shù)6分解質(zhì)因數(shù)，12=2×3×2，18=2×3×3，6=2×3。我發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

生6：我研究的是第2組數(shù)，20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20；30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。20和30的最大公因數(shù)是10。將20、30和它們的最大公因數(shù)10分解質(zhì)因數(shù)，20= 2×2×5，30=2×3×5，10=2×5。我發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

師（課件梳理，如圖4）：同學們的表現(xiàn)真不錯！我們選取了兩組數(shù)，先用列舉法找出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，然后將這兩個數(shù)和它們的最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)的最大公因數(shù)的確等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

3.用分解質(zhì)因數(shù)法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)

教學片段3：

師：既然兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，那么求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，除了用列舉法外，還可以怎么求？

生7：可以將這兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，找到它們公有的質(zhì)因數(shù)，把公有的質(zhì)因數(shù)乘起來，就是它們的最大公因數(shù)。

師：來，我們一起用短除法做一做，先把12和30分解質(zhì)因數(shù)，找到它們公有的質(zhì)因數(shù)2和3，然后把2和3乘起來，就得到12和30的最大公因數(shù)是6（如圖5）。

4. 將分解質(zhì)因數(shù)法改進為短除法

教學片段4：

師：剛才，我們用短除法分別將12和30分解質(zhì)因數(shù)，求出了它們的最大公因數(shù)。但是數(shù)學要講求簡捷，我們可以將兩個短除式合并在一起，像下面這樣求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。（出示下面的短除式，如圖6）

先用公有質(zhì)因數(shù)2去除…… 2? ?12? 30

再用公有質(zhì)因數(shù)3去除……? ?3? 6? 15

2? ?5

12和30的最大公因數(shù)是2×3=6。

師：同學們能看懂嗎？誰來給大家介紹介紹？

生8：把12和30并排寫在一起，先用它們公有的質(zhì)因數(shù)2去除，12除以2得6，30除以2得15；然后用它們公有的質(zhì)因數(shù)3去除，6除以3得2，15除以3得5，2和5沒有公有的質(zhì)因數(shù)，到此為止。把它們公有的因數(shù)乘起來2×3=6，就找到了12和30的最大公因數(shù)。

5. 比較3種方法，選擇自己喜歡的方法并說明原因

改進教學后，學生掌握了3種找兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，對3種方法之間的聯(lián)系理解得比較深刻，也對找兩個數(shù)的最大公因數(shù)時“為什么一般要用短除法”“為什么可以這樣用短除法”的理解比較透徹，同時對最大公因數(shù)的來龍去脈一清二楚。在后面的最小公倍數(shù)教學中，教師也可以利用最大公因數(shù)的學習經(jīng)驗和方法進行教學，真正達到讓學生“知其然”且“知其所以然”的目的。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“教學建議”中明確要求教學要“整體把握教學內(nèi)容”“注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”，即在教學中重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。教師既要了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，了解課程內(nèi)容和教學內(nèi)容的安排意圖；又要強化對數(shù)學本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)。通過合適的主題整合教學內(nèi)容，能幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

因此，在小學數(shù)學教學中，教師只有深入研讀課標和教材，把握數(shù)學本質(zhì)，強化對數(shù)學本質(zhì)的理解，弄清知識的來龍去脈，適度整合教學素材，基于數(shù)學理解進行教學設(shè)計，才能取得理想的教學效果。