解題“四路”探究，教學方式變革

陳葉

摘要：數學解題及其研究是高中數學教學中的一個重要課題，對于提升教學與學習效益起到非常關鍵的作用.借助一道高考真題的剖析，結合教學活動，合理詮釋數學解題及其研究過程中的“四路”探究教學，依托來路、思路、出路、套路等環節，挖掘問題內涵與實質，總結解題規律，嘗試為數學問題的求解與解題研究提供一個基本學習模板，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：解題研究；教學方式；探究；創新；變式

在新課標、新教材、新高考的“三新”背景下，隨著新課程改革理念的深入，“雙減”活動的逐步推進，教學改革成為必然.變革更加注重數學基礎知識的發生與發展過程，以及關注學生數學思維能力的形成與培養過程，因此教學方式就顯得特別重要.基于此，以2023年新高考Ⅱ卷第6題為例，探究數學解題“四路”與教學方式，給數學教學與教學方式的變革提出一個合理的嘗試，結合教學實踐來拋磚引玉.

1 立足課標，呈現“來路”

課程標準是數學教學與學習的根本依據，而歷屆高考真題往往是展示其重要標準的一個最典型的說明.在教學過程中，教師有針對性地呈現一些典型高考真題，合理呈現問題的“來路”，為課堂教學與學習奠定堅實的基礎，成為解題的基石所在.

高考真題? （2023年高考數學新高考Ⅱ卷·6）已知函數f（x）=aex-ln x在區間（1，2）上單調遞增，則a的最小值為（? ）.

A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2

此題以含參函數在給定區間上的單調性來創設問題場景，結合參數的最值求解來設置問題.問題簡潔明了，難度中等，解題思路常規，思維方式多樣.

具體解題時，可以從函數的求導入手，借助導函數的確定，利用函數的單調性建立含有導函數的不等式（恒成立），在此基礎上，可以通過函數的圖象與性質思維以及參變分離思維等不同形式來分析，進而結合不同的知識點來解決與處理.

2 解題研究，展開“思路”

解題研究應用是課堂教學與學習的基本落腳點，課堂教學（特別是高考復習中）往往也是圍繞這個來合理落實“四基”.在教學過程中，合理創設問題，巧妙展開問題的“思路”，引導學生自主參與解題，是課堂教學與學習的關鍵所在.

由于問題的典型性和切入點的差異性等，展開的“思路”就各有不同，也為問題的解決與研究提供了各種精彩紛呈的技巧方法，因此解題研究成為培養學生關鍵能力與核心素養的一個重要場所.

2.1 函數的圖象與性質思維

根據函數與導數的關系，利用函數的單調性來構建涉及導函數的不等式（恒成立），結合關系式的變形與轉化，基于兩個熟悉的基本初等函數的圖象與性質，借助函數的圖象直觀來理解與應用，是處理此類問題的“通性通法”.

解法1：函數圖象轉化法.

依題意，f（x）=aex-ln x，則f′（x）=aex-1x.

而函數f（x）在區間（1，2）上單調遞增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2）.

于是有aex≥1x，考察函數y=aex和函數y=1x，x∈（1，2）的圖象.

顯然，當a>0時，函數y=aex在區間（1，2）上單調遞增，函數y=1x在區間（1，2）上單調遞減.

所以滿足ae1≥11即可，解得a≥1e=e-1，即a的最小值為e-1.

故選：C.

點評：抓住基本初等函數的圖象與性質，利用圖象的直觀來轉化與應用，處理起來比較簡單易懂.

2.2 參變分離思維

根據函數與導數的關系，利用函數的單調性來構建涉及導函數的不等式（恒成立），可以借助不同的思維視角來進行參變分離處理，利用不等式的一邊為參數式一邊為變量式，借助函數的構建以及求導處理，通過函數的單調性以及最值的確定來構建涉及參數式的不等式，從而實現參數的最值或最值范圍的求解.

解法2：分離參數法.

依題知f（x）=aex-ln x，則f′（x）=aex-1x.

而函數f（x）在區間（1，2）上單調遞增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2），

則有a≥1xex.設函數g（x）=1xex，x∈（1，2），

求導可得g′（x）=-x+1x2ex<0，則函數g（x）在區間（1，2）上單調遞減，

所以g（x）≤g（1）=1e，則有a≥1e=e-1，即a的最小值為e-1.

故選：C.

點評：不同思維視角的參變分離處理，是解決此類問題的一種“巧技妙法”，對于數學運算與邏輯推理等方面的能力有不同的要求.

3 目標變式，探尋“出路”

目標問題的變式與應用，是在問題的分析與解決的前提下，總結解題過程，歸納技巧方法，剖析思維方式等，對問題進行再探究與再學習.在此基礎上，探尋問題的“出路”，對問題進行合理的、多層面的變式與應用，是基于原問題解決的深度學習.

當然，對于目標變式的不同深入方式，可以達到不同程度的深度學習，可以有不同的體會與收獲，往往可以圍繞“一題多變”“多題一解”“結論歸納”等方式加以目標變式與拓展應用，為學習和積累提供一個很好的空間，有效提升關鍵能力與培養核心素養.

3.1 性質變化

借助含參函數在給定區間上單調性的變化，對應參數的最值也應發生變化，得到以下相應的變式問題.

變式1? 已知函數f（x）=aex-ln x在區間（1，2）上單調遞減，則a的最大值為.

教學活動：當a≤0時，顯然函數f（x）=aex-ln x在區間（1，2）上單調遞減，滿足條件；

當a>0時，依題可得f′（x）=aex-1x，

而函數f（x）在區間（1，2）上單調遞減，則f′（x）≤0，x∈（1，2），

于是有a≤1xex.設函數g（x）=1xex，x∈（1，2），

求導可得g′（x）=-x+1x2ex<0，則函數g（x）在區間（1，2）上單調遞減，

所以g（x）≥g（2）=12e2，故0＜a≤12e2.

綜上，a≤12e2，故a的最大值為12e2.

3.2 函數變化

借助含參函數中參數對應位置的變化，從而含參函數的解析式也對應產生變化，得到以下相應的變式問題.

變式2? 已知函數f（x）=ex-aln x在區間（1，2）上單調遞增，則a的最大值為.

教學活動：當a≤0時，函數f（x）=ex-aln x在區間（1，2）上單調遞增，滿足條件；

當a>0時，依題可得f′（x）=ex-ax.

而f（x）在區間（1，2）上單調遞增，則f′（x）≥0，x∈（1，2），

于是有a≤xex.

設函數g（x）=xex，x∈（1，2），求導得

g′（x）=（x+1）ex>0，所以g（x）在區間（1，2）上單調遞增，

所以g（x）≥g（1）=e.故a≤e.

4 拓展反思，總結“套路”

及時的、不間斷的歸納與總結，合理的反思與反饋，給自身以不斷提升的動力與能量.而總結問題的“套路”，特別是基于解決問題與深度學習的拓展、反思，就是學習中良好思維習慣的一個重要體現.

基于合理的拓展反思，通過“解一題”，合理“拓一類”，巧妙“變一通”，達到“會一片”的教學目的.

涉及含參函數的單調性及其綜合應用問題，“通性通法”就是對相應的含參函數求導，利用導函數所對應的不等式（恒成立）問題，借助函數的圖象與性質來處理，是解決參數最值或取值范圍問題的常用技巧方法；而參變分離后再利用函數的圖象與性質來分析與處理，也是解決問題的基本“巧技妙法”.

無論哪種解題思維與解法，恒等變換是基礎，求導處理是方法，合理構建是關鍵，圖象性質是手段，借助整體換元思維、同構思維等加以應用，最終達到確定參數的最值或取值范圍問題.

在破解一些典型的數學問題后，不要直接“翻篇”，要合理停留，深挖內涵，領悟反思，對問題進行多角度、多層面剖析、探究，達到觸類旁通、舉一反三的良好效果.借此機會，可以嘗試對問題進行“一題多思”“一題多解”，徹底“吃透”問題，進而開動思維，合理“一題多變”“一題多得”.

這樣，學生對數學基礎知識與數學基本技能的理解與掌握會更加熟練，知識體系的構建會更加完善，解題思路也會更加開闊，從而真正提高數學解題效益.培養學生的數學發散思維能力，更加有助于激發學生學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高他們的知識水平和思維能力.