函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析

劉化剛

課題信息：甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“普通高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)驗(yàn)跟蹤與質(zhì)量監(jiān)測(cè)教改實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目”專項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)選擇性必修課程‘函數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”，課題立項(xiàng)號(hào)為GS［2023］GHBZX0003.

摘要：通過主題教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析的方式，明確函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容為函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中關(guān)于主題教學(xué)設(shè)計(jì)的計(jì)劃、實(shí)施、檢驗(yàn)和優(yōu)化等流程，論證了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法可以簡(jiǎn)便、快捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；主題教學(xué)設(shè)計(jì)；案例分析

函數(shù)單調(diào)性的判斷，主要有定義法和圖象法.然而，相比一次、二次函數(shù)而言，運(yùn)用定義法和圖象法判斷三次及以上，或者圖象難畫的函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)比較復(fù)雜、困難.例如，函數(shù)f（x）=-5x3+5x+10，圖象復(fù)雜，利用定義法通過作差、變形和判斷符號(hào)來判斷其單調(diào)性的過程也很繁瑣.那么，運(yùn)用什么方法可以簡(jiǎn)便、快捷地判斷上述復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性呢？本文中采用主題教學(xué)設(shè)計(jì)的方式對(duì)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題進(jìn)行案例探究和分析.

1 主題教學(xué)說明

主題教學(xué)是一種關(guān)于交叉內(nèi)容的教學(xué)方式.教學(xué)主題的確定在于教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容的選擇.主題教學(xué)內(nèi)容的選擇策略主要有兩種：一是根據(jù)相關(guān)概念進(jìn)行遷移選擇，二是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較選擇.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)聯(lián)性，在于運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)能簡(jiǎn)捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性.由此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù).主題教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟主要包括主題教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備和計(jì)劃、實(shí)施和檢驗(yàn)，以及總結(jié)和完善3個(gè)環(huán)節(jié).

本文中通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)的方式，對(duì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法簡(jiǎn)便、快捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間進(jìn)行案例分析.該案例分析主要包括主題教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備和計(jì)劃、實(shí)施和檢驗(yàn)，以及總結(jié)和完善3個(gè)環(huán)節(jié).

2 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備和計(jì)劃

主題教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備和計(jì)劃主要包括如下4步.首先，明確教學(xué)設(shè)計(jì)的主題.其次，分析教材以及教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn).再次，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況.最后，結(jié)合學(xué)情和教情，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)和難點(diǎn)，以及教學(xué)方式等.

2.1 明確教學(xué)設(shè)計(jì)主題

教學(xué)主題的確定在于主題教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容的選擇.主題教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容主要有兩種選擇策略：一是根據(jù)相關(guān)概念進(jìn)行遷移選擇，二是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較選擇.

2.2 分析教材及教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)

函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是教材教學(xué)內(nèi)容中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是在導(dǎo)數(shù)基本概念和計(jì)算等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，是研究函數(shù)極值和最值的基礎(chǔ).

2.3 了解學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況

函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)內(nèi)容.學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)在于關(guān)于導(dǎo)數(shù)基本概念、計(jì)算和幾何意義的學(xué)習(xí)情況.

2.4 設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)和教學(xué)方式

結(jié)合學(xué)情和教情，設(shè)計(jì)關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的主題教學(xué)目標(biāo)，重點(diǎn)和難點(diǎn)以及教學(xué)方式.

（1）教學(xué)目標(biāo)：探索可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法.

（2）教學(xué)重點(diǎn)：通過分組合作，探究并掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

（3）教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.

（4）教學(xué)方式：主要采取如下2種類型的教學(xué)方式.一是設(shè)置生活教學(xué)情境，例如高臺(tái)跳水情境，引入跳水運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)單調(diào)性問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣.二是將學(xué)生分組，通過學(xué)習(xí)小組的方式，合作探究跳水運(yùn)動(dòng)軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)的關(guān)系.

3 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施和檢驗(yàn)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施和檢驗(yàn)，在引入實(shí)際生活情境的基礎(chǔ)上，結(jié)合課堂分組教學(xué)互動(dòng)的實(shí)際反饋，按照主題教學(xué)設(shè)計(jì)的計(jì)劃，分步驟地實(shí)施和檢驗(yàn).

3.1 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施

圍繞函數(shù)單調(diào)性的概念和性質(zhì)，主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施步驟主要包括如下3個(gè)方面：一是引入生活情境，通過分組教學(xué)的方式，讓學(xué)生體驗(yàn)從直觀圖形—抽象導(dǎo)函數(shù)—判斷函數(shù)單調(diào)性—求其單調(diào)區(qū)間的演變.二是結(jié)合圖形解決函數(shù)單調(diào)性問題，讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性問題的本質(zhì).三是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生深刻理解所構(gòu)建的函數(shù)模型的單調(diào)性可以更清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)現(xiàn)實(shí)生活.

主題教學(xué)設(shè)計(jì)的具體實(shí)施步驟，如下所述：

例題? 跳水運(yùn)動(dòng)員小華在10米高臺(tái)跳水項(xiàng)目中，從高臺(tái)跳板起跳，在跳板的作用下反彈到最高點(diǎn)，再?gòu)淖罡唿c(diǎn)下落入水的過程中，若運(yùn)動(dòng)員小華的重心相對(duì)于水面的高度為h，運(yùn)動(dòng)速度為v，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則h與t的函數(shù)關(guān)系為h（t）=-5t2+5t+10，速度v與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系為v（t）=-10t+5.試比較運(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳到最高點(diǎn)與從最高點(diǎn)到落水的兩段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)別.

具體的主題教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施的分析，主要包括如下4步：

首先，明確運(yùn)動(dòng)員小華高臺(tái)跳水的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條開口向下的拋物線，定義域?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳時(shí)間t0到落水時(shí)間t1，記作［t0，t1］.

其次，將拋物線的定義域分為2個(gè)區(qū)間，分別為運(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳時(shí)間t0到最高點(diǎn)時(shí)間tm，記作［t0，tm］，從最高點(diǎn)時(shí)間tm到落水時(shí)間t1，記作［tm，t1］.

再次，比較運(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到落水的兩段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)別，轉(zhuǎn)化為判斷運(yùn)動(dòng)員小華高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)軌跡在2個(gè)定義域區(qū)間上的單調(diào)性.

最后，將學(xué)生分為2個(gè)學(xué)習(xí)小組，分別合作探究利用圖象法和導(dǎo)數(shù)法判斷跳水運(yùn)動(dòng)軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以及跳水運(yùn)動(dòng)軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)的關(guān)系.

3.2 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)

主題教學(xué)設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)過程主要包括如下3步：

首先，分組合作運(yùn)用圖象法判斷運(yùn)動(dòng)員小華高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)軌跡在2個(gè)定義域區(qū)間上的單調(diào)性.畫出運(yùn)動(dòng)員小華跳水高度h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系為h（t）=-5t2+5t+10的圖象，如圖1所示.

從圖1可以看出，運(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳時(shí)間t0到最高點(diǎn)時(shí)間tm的運(yùn)動(dòng)軌跡在

區(qū)間［t0，tm］上的單調(diào)性為單調(diào)遞增狀態(tài)，從最高點(diǎn)時(shí)間tm到落水時(shí)間t1的運(yùn)動(dòng)軌跡在區(qū)間

［tm，t1］上的單調(diào)性為單調(diào)遞減狀態(tài).

其次，分組合作探究跳水運(yùn)動(dòng)軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)的關(guān)系.

從圖2所示來看，運(yùn)動(dòng)員小華從跳臺(tái)起跳時(shí)間t0到最高點(diǎn)時(shí)間tm的運(yùn)動(dòng)速度v（t）>0，從最高點(diǎn)時(shí)間tm到落水時(shí)間t1的運(yùn)動(dòng)速度v（t）<0.通過比較運(yùn)動(dòng)員小華跳水高度h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系和運(yùn)動(dòng)速度v與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

運(yùn)動(dòng)員小華在［t0，tm］區(qū)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)軌跡的導(dǎo)函數(shù)與運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)一致，記作h′（t）=v（t）>0，運(yùn)動(dòng)軌跡為單調(diào)遞增狀態(tài).同理，在［tm，t1］區(qū)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)軌跡的導(dǎo)函數(shù)與運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)也一致，記作h′（t）=v（t）<0，運(yùn)動(dòng)軌跡為單調(diào)遞減狀態(tài).由此，結(jié)合圖形判斷函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生體驗(yàn)到運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)在于函數(shù)切線斜率的正負(fù).

最后，通過跳水運(yùn)動(dòng)員小華運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者切線斜率的正負(fù)來判斷上述函數(shù)的單調(diào)性以及求其單調(diào)區(qū)間在實(shí)際生活中的應(yīng)用，學(xué)生能夠深刻地理解所構(gòu)建的函數(shù)模型的單調(diào)性可以更清晰、嚴(yán)謹(jǐn)、便捷地表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活.

4 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的總結(jié)和完善

4.1 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的總結(jié)

主題教學(xué)設(shè)計(jì)的流程可以總結(jié)為從提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中，關(guān)于主題教學(xué)設(shè)計(jì)的計(jì)劃、實(shí)施、檢驗(yàn)和優(yōu)化等環(huán)節(jié).

4.2 主題教學(xué)設(shè)計(jì)的完善

對(duì)實(shí)施后的主題教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)，提出進(jìn)一步完善主題教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容的措施.例如，增加利用定義法和導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間的主體教學(xué)設(shè)計(jì)，并且在后期教學(xué)計(jì)劃的設(shè)計(jì)和實(shí)施中不斷進(jìn)行優(yōu)化.

通過主題教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析的方式，明確教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容的主題為函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，論證了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法可以簡(jiǎn)便、快捷地判斷函數(shù)單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.其中，主題教學(xué)設(shè)計(jì)流程主要包括計(jì)劃，實(shí)施和檢驗(yàn)，以及優(yōu)化3個(gè)環(huán)節(jié).利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的主要步驟為：確定函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)大于0的解集，定義域在該解集內(nèi)的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間，求解導(dǎo)函數(shù)小于0的解集，定義域

在該解集內(nèi)的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間.