高中數學課堂環境建設 涵育邏輯推理素養

賁維維

課題信息：南通市教育科學“十四五”規劃課題“指向邏輯推理素養涵育的高中數學教學實踐研究”，課題編號為GH2021111.

1 課堂環境要素分析，涵育邏輯推理素養

1.1 教師的教學行為

教師在課堂上的表現會對課堂環境產生重要影響，如教師的授課方式、語言提示、情緒控制等.

1.2 學生的態度

學生的態度包括學生對數學學科的學習態度，興趣，學生的參與度，以及師生、生生之間的互動反饋與交流.而在這一點上學生的參與度普遍不高，也許這與緊張的學業負擔、學生的思維發展層次有關.

1.3 課堂評價體制

教師對學生在課堂上的學習情況的評價和反饋，它包括評價的標準、評價的內容、評價的形式和評價的時間等方面.傳統的課堂評價體制主要依靠考試、作業、測驗等形式來評價學生的學習成績和能力，注重量化的結果和結果的比較.而現代的課堂評價體制則更加注重學生素養的培養，強調過程性和發展性評價，注重評價的個性化和多樣性.

2 涵育邏輯推理素養的課堂環境建設措施

（1）在學生思維的最近發展區啟發引導，進行有效的思維訓練.

作為教師，我們都有這樣的感受：一道題講了不下三遍，可學生還是掌握得不好.是學生上課根本沒有聽懂嗎？那倒不是.人腦在大部分情況下，過一段時間學過的新東西如果不鞏固就會遺忘.我們教師所能做的就是讓學生學會推理，運用已掌握的知識從某個題眼出發進行分析，加深每個個體處理問題的印象.鼓勵學生提出自己的想法，并給予適時恰當的肯定.

例如，下面這道試題，教師在講解時可以從不同的角度對題目進行引導和剖析，學生便會產生不同的解題方法，獲得成功的體驗.

題目? △ABC中，AB=4，AC=2，∠A=2π3，D為邊BC上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

題眼1：由AD⊥AC聯想建立坐標系（如圖1），關鍵是求點D的坐標.

由C，B，D三點共線，

可知CB∥CD.設D（0，t）.

又CB=（-4，23），CD=（-2，t），所以可得

t=3.

故S△ABD=12×3×4×sin 30°=3.

題眼2：通過解三角形求AD的長度.

在△ABC中，先由余弦定理求出BC=27，再由正弦定理求出sin C=217，在Rt△ADC中可以進一步算出AD的長度.

題眼3：D為邊BC上一點，考慮到AD將△ABC進行了分割，從面積比的角度可得

S△ABDS△ACD=BDCD=12AB×AD×sin 30°12AC×AD=1.

所以D為BC中點.

故S△ABD=12S△ABC=3.

題眼4：D為邊BC上一點，S△ABD相對于S△ABC而言，本質上是求D為BC的幾等分點，如圖2，從幾何作圖的角度可想到過B點向AC作垂線（垂足為H），易得A為HC的中點，故D為BC的中點.

教師在一題多解和一題多變的基礎上讓學生思考問題解決的通性通法，學會優選，培養學生的邏輯推理素養.

（2）教師在推理的教學過程中注重數學模塊知識與方法的歸納、整合與優化，從邏輯關系上構建知識框架，從知識的本源進行再創造.

例如，高三一輪復習中對直線的平行與垂直進行知識建構時，教師可以參考蘇教版選擇性必修一教材中的鏈接內容，將直線的法向量、求軌跡方程的基本方法進行有效整合，設計出既簡潔又蘊含重要方法的問題鏈.設直線l的法向量為n=（A，B），l上的定點Q（x0，y0），任意一點P（x，y），則由n＼5PQ=0，得A（x-x0）+B（y-y0）=0，

即Ax+By+C=0.

若l1⊥l2，n1=（A1，B1），n2=（A2，B2），則n1·n2=A1A2+B1B2=0.

類似地，當l1∥l2時，你能得到什么結論？

借助直線的法向量的這種關系，還可以推出圓的直徑式方程，你會推導嗎？

應用：若點P在圓C上，求在點P處圓的切線方程.（利用向量的垂直關系即可推導.）

思考：若P（x0，y0）在圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外，過點P作圓C的切線，切點分別為M，N，求切點弦MN所在直線的方程.

思維一：切點M，N在以CP為直徑的隱圓上，又在圓C上，所以可以用兩圓方程相減得公共弦MN所在直線方程，這里求隱圓的過程直接用向量解決.

思維二：由應用知在M（x1，y1）處的切線方程為

（x1-a）（x-a）+（y1-b）（y-b）=0;①

在N（x2，y2）處的切線方程為

（x2-a）（x-a）+（y2-b）（y-b）=0.②

因兩條切線均過點P（x0，y0），故點P既滿足①式，也滿足②式，所以切點弦MN所在的直線方程為

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=0.

這樣不僅用向量的知識從平行、垂直關系上梳理了一條邏輯主線，而且能讓學生在親身體驗推演的過程中學會更多的思想方法，鍛煉了思維的深刻性.

（3）鼓勵學生對所學知識進行質疑和思考，對自己所犯的每個錯誤點進行反思和改進，培養他們批判性思維和分析問題的能力.

要鼓勵學生自主思考，站在多個角度思考問題，并運用邏輯推理的方法進行思考和分析.教學中不僅講究解題策略，更要強化逆向思維、等價轉化思想、反證法的應用，注重概念教學的生成和辨析，尤其要利用好充分必要條件、充分不必要條件等概念說明前后邏輯之間的關系.

在一次模擬考試中，有一道多選題：

設a，b是兩個非零向量，且|a+b|<|a|+|b|，則下列結論中正確的是（? ）.

A.|a-b|≤|a|+|b|

B.|a-b|<|a+b|

C.a，b的夾角為鈍角

D.若a=λb成立，則λ<0

本題答案是“AD”，但有一半的學生未選A，原因是沒有厘清條件和結論之間的邏輯關系.條件是向量夾角θ∈（0，π］，而A的結論為θ∈［0，π］，很多同學誤認為二者不等價時就是錯誤的，并未理解真命題的含義（條件結論，即由小可推大）.

（4）強化推理證明教學，營造合作、民主、互動交流的學習氛圍.

教師運用目標分析教學法引導學生進行推理證明，讓學生深入思考數學定理和公式背后的原理.對于難題，可以利用合作、探究的方式讓學生進行集體思考和合作解決，促進彼此之間的互動和交流.鼓勵學生分享自己的思考過程和解題思路，互相學習和借鑒，在碰撞中產生思維的火花.同時配以鍛煉學生推理能力的開放性練習，培養學生數學思維和解題能力.

（5）創設多元化的情境教學，讓學生產生探究欲.

以生動活潑、寓教于樂的方式，喚起學生的興趣，激發學生的求知欲.可以運用故事、畫圖象、舉實例等方式，讓抽象的邏輯推理問題更加具體和可感知.此外，教師還應將現代教育信息技術融入課堂，通過合作、討論、探究等方式，賦予學生多維度的數學經驗，以增強學生學習數學的自信心，彌補以往過程性教學中的學生數學經驗方面的不足.

（6）建立教師評價與學生小組評價相結合的課堂表現評價體制.

教師要了解班上的每一位學生，對于內斂型的學生要多鼓勵，多肯定他們在課堂上提出的每個想法，鼓勵他們參與到小組合作和交流中去；對于外向懶散型的學生，上課多給他們表現的機會，讓他們找到自己的不足，針對每次的學習成果多去總結和制訂下一階段的目標.教師通過與學生的交流也會發現自己教學中的不足，改進教學.在課堂的開始環節，教師的有效調動，才能使學生產生好奇心從而更快地進入學習狀態；在課堂上對于學生的創新性想法教師要給予及時的肯定，以培育他們深度思維的習慣；課堂的結尾部分，讓學生學會歸納總結本節課的知識點和思想方法，這樣他們會有滿滿的成就感.在一節課結束之前，教師可以對學生的參與度進行點評，在情緒上加以激勵等.

教師是課堂的組織者，學生是課堂的參與者，課堂評價體制的建立可以促進學與教的有機融合.教師在課前的精心設計，課中的適時鼓勵，學生在課末的反思和質疑，都與涵育邏輯推理素養的課堂環境分不開，一個數學課堂是否高效，主要取決于學生的思維參與度.

因此，教師不僅要深入鉆研自己的學科教學，更要掌握科學的推理思維方式用于指導學生深度思考，以學情為基礎，以培養興趣為契機，通過數學課堂主陣地培養學生的思維能力和創造性思維，提高他們的邏輯推理素養.