高職數學中函數求極限方法總結

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2312-5042-3602

作者簡介：馬文慧（1993—），女，碩士，研究方向為高等數學、數學建模、圖論。

摘 ?要：極限是高職數學課程中最為基礎的學習內容，它既是前面函數這部分內容的加深與延續，又是后續連續、導數、積分等知識的前提與基礎。因此，函數極限在整個高職數學中的重要性不言而喻，而求函數極限的方法種類繁多、靈活多變，對此高職學生不易熟練掌握，往往感到束手無策。筆者總結出一些高職學生能理解的求函數極限的常用方法，并結合例題解析每種方法的適用極限類型和注意事項，旨在幫助高職學生能更好地理解與解決函數求極限的問題。

關鍵詞：高職數學 ?函數極限??方法總結??洛必達法則

中圖分類號：O174

極限是高職數學中最重要的概念之一，它不僅是研究微積分學的重要工具，而且還是許多重要概念——微分、導數、定積分等的定義基礎。因此，掌握求函數極限的方法是學好高職數學課程的關鍵。本文根據高職學生的數學思維習慣，按照由易到難、學習的先后順序總結出幾種常用的求函數極限的方法，同時給出每類方法的注意事項以及優缺點，使得高職學生對函數極限有全面深入的理解，從而達到快速求解、簡化計算的目的。

1 ?定義法

一般情況下，為了高職學生能夠更好地理解函數極限的概念，教師在授課時往往為學生講解函數極限的描述性定義，而不是本科學生接觸的函數極限的嚴格定義——“”定義。函數極限的描述性定義[1]，其核心思想就是當自變量存在以下6種變化過程中的任何一個時（、、、、、），函數無限地接近于一個確定的常數，這即為函數的極限。定義法又名觀察法，顧名思義就是利用一些數學軟件如GeoGebra、Mathfuns等描繪出函數的圖像并觀察，然后再結合函數極限的描述性定義、函數的性質、特征等，得出函數極限的一種方法。

例1 ?求極限

解析：是的反函數，學生在學習函數極限之前，已經了解了其大致圖像和性質。因此，通過數學軟件GeoGebra或者利用反函數的性質可得到的圖像，如圖1所示，通過觀察圖像，該函數的極限一目了然。

解：由函數的圖像及特點，可知當時，無限地接近于，故由極限的描述性定義知：。

上述例子使用的定義法，是高職學生接觸的第一個求函數極限的方法，它不僅可以很好地幫助高職學生理解函數極限的內在涵義，還可在無形之中鍛煉學生動手操作數學軟件畫圖的能力，更能為后續學習函數的水平漸近線打下基礎。但定義法也有局限之處，就是它依賴于用數學軟件來描繪函數圖像，所以學生僅能在平時練習時使用，無法在考試中通過觀察函數圖像獲取函數極限。所以這也是此種方法的缺點——高度依賴數學軟件，但它可以在很大程度上幫助學生理解函數的極限。

2 代入法

在函數的連續性這部分內容中，有如下定義[1]：如果函數在某點的鄰域內有定義，且有該點的極限值等于其函數值，即，則稱函數在該點處是連續的。代入法又稱利用函數連續性求極限，根據此定義，只要能夠判定函數是連續的，就可以把求函數極限的問題轉化為計算函數值的問題。

對復合函數，若，且函數在點處連續，則函數符號可以和極限符號交換次序，即。據此，可以簡化求函數極限的過程。

例2 ?求極限

解析：因為是復合函數，且是連續的，所以其在處的極限值等于函數在處的函數值。

解：。

在使用代入法求函數極限時，要特別注意以下幾點。（1）只有連續函數的極限值才等于其函數值。例如：當分段函數在分點處不連續時，其在分點處的極限就需要求在該點的左右極限，而不是令極限值直接等于其在分點處的函數值。（2）只有復合函數的外層函數在內層函數的極限處是連續的，函數運算才可以和極限運算交換順序。代入法雖然降低了計算難度，但它只能解決連續函數求自變量趨于有限值時的極限，適用范圍較窄。

3 無窮小的運算性質

關于無窮小的運算性質，有如下定理[1]：無窮小與有界量的乘積是無窮小。根據這一定理，可以求一些符合定理條件的兩個函數乘積的極限。

例3 ?求極限

解析：函數可以看成兩個函數與的乘積，其中時，是無窮小，是有界量，根據定理，它們的乘積仍為無窮小。

解：時，是無窮小，是有界量，故。

一般情況下，高職學生能夠比較容易地判斷出函數在的某一個變化過程中是否為無窮小，但對于有界量的判定不是很熟練。這就要求高職學生要熟記一些常見的有界量，如、、、、、等。

4 無窮小與無窮大的關系

由無窮小與無窮大的定義[1]，可知如下定理：在自變量的同一個變化過程中，無窮大的倒數是無窮小，恒不為零的無窮小的倒數為無窮大。由此定理可知，如果所求函數其倒數的極限為無窮小，那么原函數的極限就為無窮大。

例4 ?求極限

解析：當把2帶入所求極限的函數后，發現分子極限為8，分母極限為0，因此屬于“”型極限。根據上述定理，可以考慮先求原函數倒數的極限，再利用無窮大與無窮小的關系，便可得出原函數的極限。

解：因為，所以是時的無窮小，所以其倒數是時的無窮大，即，極限不存在。

像這樣，分子極限為常數，分母極限為0的極限類型可記為“”型極限，這里1是泛指分子極限為常數而不僅僅是1，利用無窮小與無窮大的關系，該類型的極限結果均為。

5 極限的四則運算法則

在自變量的同一個變化過程中，若兩個函數都有極限，則其和差的極限等于極限的和差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商，其中分母的極限不為零。能直接利用法則的情況與代入法類似，比較簡單。但大部分都需要經過約分（十字相乘法，平方差、立方差公式）、有理化、通分、三角函數恒等式[2]等恒等變形后，才能使用法則。

例5 ?求極限

解析：該極限為“”型極限，觀察發現分子、分母可以用“十字相乘法”進行因式分解，約去極限為0的因式后，便可使用法則求極限。

解：

例6 ?求極限

解析：該極限為“”型極限，觀察發現分母可通過有理化去掉根號，進而約去極限為0的因式，可直接使用法則求極限。

解：

例7 ?求極限

解析：時，括號內兩式的極限均為，即不存在，故此極限為“”型極限。觀察發現可以先通分合二為一，轉化成“”型的極限，再利用法則。

解：

如果所求極限類型為“”“”型，無法直接使用極限的四則運算法則，必須先對原式進行適當的恒等變形，約去極限為0的因式后，才可使用法則求極限。

6 有理分式函數

當時，“”型的有理分式函數極限有如下結論：

，其處理方法就是分子、分母同時除以的最高次冪[3]。

例8

該方法的結論可在解決客觀題時提高解題效率。

7 兩類重要極限

第一類重要極限的特點為：（1）該極限是“”型的極限；（2）該極限所有的位置都可被替換；（3）分式的分子中包含。

第二類重要極限的特點為：（1）該極限類型為型極限；（2）括號內兩式子之間為“+”；（3）該極限所有的位置都可被替換；（4）括號內除1外的式子和指數位置的式子互為倒數[4]。

例9 ?求極限

解析：該極限滿足第一類重要極限的前2個特點，故只需要利用三角恒等變形，讓分子上出現即可。

解：

例10 ?求極限

解析：該極限符合第二類重要極限的前2個特征，只需要把指數位置的式子改造成括號內除1外式子的倒數，然后前后維持恒等即可。

解：

8 等價無窮小的代換

在計算兩個無窮小比值的極限時，有如下定理：如果，，且存在或為，則有。這里要注意等價代換具有整體性，要么替換整個分子或整個分母，要么替換分子、分母的因式。簡單來說就是等價無窮小的代換只能發生在“×、÷”之間，不能發生在“+、-”之間。

例11 ?求極限

解析：雖然時，有、，但不能直接代換，因為、不是分子的因式，且其前面的符號為“+、-”。觀察發現分子可通過提取公因式后，利用、進行代換。

解：

等價無窮小的代換極大地簡化了一些極限的求解[5]，高職學生需要牢記一些常用的等價無窮小的代換公式[6]：即時，有，，。

9 洛必達法則

洛必達法則是在滿足一定條件下，把兩個函數商的極限轉化為其對應導數商的極限，從而解決“”或者“”型函數求極限的問題。其他類型的極限需要先做恒等變形，轉化極限類型后，再使用洛必達法則，如“”“”“”[7]。

例12 ?求極限

解析：該極限類型為“”，分子、分母及其導數都可求導，且它們的導數都有極限，直接使用三次洛必達法則即可求出極限。

解：

例13 ?求極限

解析：該極限類型為“”，不符合洛必達法則的條件，但可以通過恒等變形，轉化極限類型為“”，再使用洛必達法則。

解：

例14 ?求極限

解析：這是“”型的極限，不能直接應用洛必達法則，但可通過適當變形，先通分，把極限轉化為“”型，再使用洛必達法則。

解：

在使用洛必達法則解決“”型極限前，要先借助對數函數的性質，把其轉化為型函數，再利用“”型極限的解法繼續求極限，如，其他“”型類似。

10 結語

求函數極限的題目種類繁多，涉及到高職數學中的許多知識點，這就意味著學生要掌握的知識從函數極限一直延伸到導數、定積分等，因此高職學生熟練掌握起來有一定困難。本文按照由易到難的順序闡述了上述幾個理解和計算函數極限的方法，并給出了分析過程。綜合來看，沒有一種求函數極限的方法是萬能的，能夠解決所有題目；一個題目或許需要幾種方法才能求出極限。因此，高職學生在面對求函數極限的題目時，要根據其極限類型靈活地選用方法，從而達到簡化計算、快速求解的目的。

參考文獻

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