數學單元教學中教學主線的構建

摘? 要：數學單元教學中應該注重教學主線的構建，以“正弦函數、余弦函數的圖象”教學為例，闡述教學中以結構化處理驅動知識生成，以先行組織者推進認知發展，以驅動問題鏈促進學生思維提升，促使教學方式的轉變和學生素養的提升.

關鍵詞：單元教學；教學主線；數學核心素養

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0041-05

引用格式：丁益民. 數學單元教學中教學主線的構建：以“正弦函數、余弦函數的圖象”的教學為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：41-45.

一、問題提出

一直以來，“一個知識點 + 一道例題 + 一組練習”的教學方式普遍存在，這樣的教學組織零散混亂，教學立意膚淺瑣碎，造成了學生認知碎片化、思維淺表化. 深究其因，則是教學中缺乏層次結構清晰、邏輯連貫的教學主線. 章建躍博士認為，教學主線指教師在理解數學、理解學生基礎上形成的課堂結構與教學線索. 由此可見，教學主線集中反映了教師的數學觀、學生觀和教學觀，因而其可作為評價一節課教學思路是否清晰、教學線索是否連貫的關鍵指標. 科學合理的教學主線能保證教學活動的有序開展、層次遞進，直指學生的思維能力與核心素養的培養. 從承載的教學功能來看，教學主線可以分為三種，即顯性的知識主線、隱性的認知主線和思維主線. 三者之間的關系為：知識主線是形成認知主線和思維主線的載體；認知主線是搭載知識主線和思維主線的媒介；思維主線是掌握知識主線和認知主線的機制，在知識主線、認知主線的形成中起到推動作用. 素養導向下的數學單元教學倡導各種教學主線的融合與互補，筆者以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊“正弦函數、余弦函數的圖象”一課的教學為例，闡述單元教學中教學主線的構建過程.

二、教學過程

情境：圓周運動是最基本的周期變化現象，我們用三角函數模型刻畫圓周上一點運動的變化規律. 在本節課之前，我們已經學習了如圖1所示的相關知識，為了進一步認識三角函數的本質還需要進一步深化學習.

問題1：根據之前的學習經驗，學完三角函數的定義之后要研究什么？應該如何研究？

在此之前，按照“定義—圖象—性質”的路徑學習了指數函數、對數函數等模型. 可見，之前的學習經驗對后續知識的學習起到了借鑒與引導作用.

【設計意圖】基于單元整體視角，立足本章主題情境（圓周上點的變化規律），從學生已有的認知結構和活動經驗中提出問題，讓學生看到整個單元知識的“生長”路徑，為學生提供認知方向和認知方法，突出學習的整體性.

問題2：你能直觀想象一下正弦函數y = sin x，x ∈ R的“樣子”嗎？

函數在[0，2π]內的圖象與[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…內的圖象形狀完全相同.

圖象是按照“遞增—遞減—遞減—遞增”的方式進行變化的.

圖象連續不間斷.

……

【設計意圖】讓學生根據單位圓上點的運動狀態（幾何直觀）初步感知點的變化規律，進行從具體到抽象的內部表征，并由此“想象”出三角函數圖象的“樣子”，培養學生的直觀想象素養. 體現史寧中先生所說的“數學的結果常常是‘看出來而不是‘證出來的”.

問題3：在平面直角坐標系xOy中，如何借助單位圓作出[Tx0，sin x0]？

引導學生觀察如圖2所示的單位圓，讓他們認識到三角函數圖象上一點T的坐標的本質——橫坐標x0是弧AB的長度，縱坐標sin x0是圓周上點B的縱坐標. 描點T的過程實質上是將單位圓上弧AB的長“轉移”為x軸上的“數”，以及將點B的縱坐標進行平移的過程.

問題4：在相對精確的條件下，作圖過程中會遇到哪些“技術”困難？如何突破這些“技術”困難？

學生提出的“技術”困難包括2π有多大、坐標值為無理數時如何描點等. 教師組織學生進行探討和動手操作，學生經過思考形成了一些思維成果. 例如，學生在解決“2π有多大”時有如下一些探索：對準給定的單位圓，將紙卷成一個橫斷面為單位圓的圓筒并固定，再將其展開移到x軸上；用紙剪出一個可以自由滾動的單位圓片，讓它自原點處起沿x軸正向滾動一周；用一根細線繞單位圓一圈，再將這一圈長的細線移到x軸上；……

針對“坐標值為無理數時如何描點”這一“技術”困難，學生經過思考與討論，形成以下方案.

方案1：在區間[0，2π]內任取一些橫坐標的值，逐一計算坐標的正弦值，進而繪制對應的點，再用光滑的曲線連接.

方案2：x0取1，2，3，…，再按照上述方式描點、連線、作圖.

方案3：x0取較熟悉的特殊角，如[π6， π4，]? [π3]，…，再按照上述方式描點、連線、作圖.

方案4：在區間[0，2π]內取等分點，再按照上述方式描點、連線、作圖.

經過交流，形成共識：方案4相對而言較精確且易操作，學生在共識下進行作圖操作，各自作出了y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象，如圖3所示.

【設計意圖】引導學生從定義出發，理解描點作圖法中的操作本義，以此加強函數圖象與三角函數定義之間的內在邏輯關聯，促進學生對數學知識的整體性理解，并讓學生意識到精確作圖中的“技術”困難，留足時間和空間讓學生思考并尋求突破困難的方案，理解“等分圓周”這一操作的合理性、可行性，讓他們在觀念認同下進行動手操作. 整個過程中，學生經歷了“分析困難—擬訂方案—交流討論—形成共識”的心路歷程，暴露了思維過程，展示了思維成果.“分析困難”是根據學生已有經驗與經歷過程的可能困難進行的教學推進的臺階設計，旨在生生交互中實現思維的再創造.

問題5：基于上述學習，你能作出正弦函數y = sin x，x ∈ R的圖象嗎？

首先，教師通過動畫演示y = sin x，x ∈ R的圖象上任意一點的平移，啟發學生思考圖象平移實質上是所有點的平移，進而理解函數y = sin x，x ∈[2π，4π]的圖象與函數y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象的形狀完全一致，并用誘導公式進一步加以邏輯說明. 由此可知，將函數y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象不斷向左和向右平移（每次移動2π個單位長度），便可以得到函數y = sin x，x ∈ R的圖象，如圖4所示.

問題6：為了研究的方便，如何快速畫出y = sin x，x ∈[0，2π]的簡圖？在確定簡圖時，應該抓住哪些關鍵點？

在確定簡圖時，關鍵點有[0，0]，[π2，1，] [π，0，][3π2，-1，] [2π，0].

【設計意圖】利用三角函數周而復始的特點及誘導公式，分別從幾何和代數兩個角度理解從y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象變換到y = sin x，x ∈ R的圖象的過程，認識到圖象平移變換的本質是所有點的平移，并借助誘導公式從邏輯推理的角度解釋圖象平移的本質，這一過程也為后面通過圖象變換作出余弦函數的圖象提供了先行組織者，讓學生意識到可以運用聯系的觀點來學習后面的知識. 對于“五點法”的教學，不僅要讓學生認識到是為了操作層面的方便，更要讓學生理解這是從局部來審視正弦曲線圖形整體特征的重要視角.

問題7：如何快速作出余弦函數y = cos x，x ∈ R的圖象？

由于學生在學習指數函數、對數函數的圖象時，以及剛剛經歷的正弦函數從x ∈[0，2π]上的圖象到x ∈ R上的圖象的過程中，都充分揭示了圖象平移變換是作余弦函數圖象的先行組織者. 為此，借助誘導公式[cosx=sinπ2+x]找到正弦函數與余弦函數間的緊密關系，為作圖提供邏輯基礎，也就是函數y = cos x，x ∈ R的圖象即為函數[y=sinπ2+x]，x ∈ R的圖象，即只需要將函數y = sin x，x ∈ R的圖象向左平移[π2]個單位長度. 余弦函數的圖象（如圖5）叫作余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線.

問題8：類比用“五點法”畫正弦函數簡圖的過程，你能找出余弦函數在區間[-π，π]上相應的五個關鍵點嗎？

在區間[-π，π]上，余弦函數上的五個關鍵點依次是[-π，-1]，[-π2，0]，[0，1]，[π2，0]，[π，-1].

【設計意圖】借助以往的學習經驗，引導學生從誘導公式的角度認識正弦函數和余弦函數的圖象間的邏輯關聯，讓學生體會誘導公式是圖象變換的代數依據，用聯系的觀點進行新知的學習，并通過類比的學習方式找到作余弦函數圖象的五個關鍵點，進一步加強對余弦函數與正弦函數關聯性的理解，有助于學生理解兩個函數間的內在關聯，提升數學抽象和直觀想象素養.

問題9：你在本節課的學習過程中經歷了怎樣的思維過程？基于以往的學習經驗，你認為下節課我們將要學習關于三角函數的哪些內容？

師生活動：引導學生回顧這節課的學習歷程，并從思維過程、知識走向、學習方式等角度總結本節課的學習體驗，將本節課的內容自動嵌入如圖6所示的三角函數知識體系中.

【設計意圖】通過小結讓學生回顧本節課的學習歷程，將新學知識納入原有的知識體系，形成結構化知識，并體會“聯系地學—整體地學—類比地學”的認知主線，最后再從知識結構中提出新問題，讓學生明確接下來要學習的內容，在知識主線的生長中進行整體地學習.

三、教學思考

1. 結構化處理：知識主線整體生長

心理學研究者通過對比實驗發現，結構化對知識學習具有重要的促進作用，當知識以一種結構化的方式進行儲存時，便可以大幅度提高知識應用時的檢索效率. 因此，無論是知識的呈現方式，還是數學的學習過程，都離不開結構化的設計與實施. 單元教學強調知識的整體性，教學應該始終沿著一條知識主線整體地“生長”. 首先，要從整體的角度對單元知識進行結構化教學分析，根據知識之間的因果、遞進、相對等邏輯關系，以及它們在知識結構中的主次地位、先后順序等，進行適合學生認知發展的重構與整合，以此構建每個知識點與單元主題之間的邏輯關系網. “三角函數”單元教學圍繞“點在圓周上的勻速運動”這一主情境（大背景）展開，知識之間的邏輯關系、層次結構如圖7所示.

其次，單元教學還要注重結構化教學實施. 教學中，一方面，要注重對單元知識整體的“感悟”，通過每個課時知識的學習促使學生從整體上逐步形成對單元核心概念的感知與體悟，借助大背景、大概念為學生提供知識生長的出發點和方向，為新知識的生長提供腳手架式的結構支撐；另一方面，要注重對單元知識整體的理解，讓學生在對所學知識進行內化的基礎上，以個性化和創生性的方式，從整體的角度獲得知識的內涵與外延，進而理解知識的本質. 當然，整體地理解知識需要對單元知識進行化零為整的整合、建構自己的正確理解及系統內化才得以實現.

2. 先行組織者：認知主線連貫推進

石志群教授認為，數學學習是建立在一定的知識基礎和認知基礎上的，學生已有知識結構對后續學習會產生積極的影響. 因此，教學過程中要充分運用前后知識間的聯系，促使學生進行更高水平的學習. 數學學科同一主線內許多知識的研究路徑和策略具有相似性或一致性. 對此，在學習這部分內容時便可以充分發揮先行組織者的作用，先引導學生回顧同一主線內已學內容的學習路徑和學習策略，為學生提供一個可類比的學習“路徑”，再引導學生類比形成本單元的學習路徑和策略，讓學生在先行組織者的引導下，運用新的數學工具進行更高層次的數學表征與數學抽象活動，用新的數學形式對原有知識進行再認識.

本節課中，用之前學習指數函數、對數函數的思維過程和活動經驗來指導三角函數的學習，為學生學習新知提供了有方向可依、有路徑可循的認知線路，將原有認知結構作為先行組織者推進新知識的學習，使得學生的學習過程是基于已有認知的再認知，讓新舊知識的認知過程成為有機的整體，達到深度學習的目的，有效提升學生的數學核心素養.

運用先行組織者學習時，還要體現兩個“遞進”：一方面，要實現單元之間的關聯遞進，就是讓具有前后邏輯、結構相似的單元知識之間形成關聯，通過新的單元學習強化舊單元已建立的結構、經驗、策略，實現新舊單元內容之間的有效聯結，進一步發展學生的認知觀念系統. 例如，前文所述的“指數函數、對數函數”學習單元中很多認知經驗和認知規律，都可以成為學習“三角函數”的先行組織者，也就是在兩個單元之間建立了關聯遞進. 另一方面，還要體現知識內部的連貫遞進，可以從知識的整體中認識局部，也可以從局部中認識整體，建立整體與局部之間的雙向認知. 例如，本節課中從精確作一個點[Tx0，sin x0]到精確作整個正弦曲線，再從精確作圖到“五點法”作簡圖，就經歷了從局部研究整體、從整體中認識局部的基本認知方向，體現了認識事物的一般規律. 這樣的認知過程符合學生的認知規律，能夠體現學生參與學習過程的主動性和思維的積極性.

3. 邏輯問題鏈：思維主線深度提升

素養導向下的高中數學課堂教學倡導以問題為導向、以活動為載體的教學方式，以發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程為教學線索. 在問題解決中，通過問題鏈引發、引導、深化學生的數學思考，促進學生的思維深度發展. 在設計問題鏈時，既要關注以關聯為基礎的問題鏈，借助知識關聯、方法關聯和視角關聯，有效厘清數學知識的基本結構與內在脈絡，概覽數學內容的整體圖景，為實現單元教學提供抓手；還要關注問題鏈中各個主干問題的“學習入口”，應該指向教學內容的核心觀念. 在具體教學中，引導學生對主干問題進行深度探究，促使學生的思維發展經歷“問題—方法—方法論”的數學化全過程，驅動學生深入理解數學核心觀念背后所蘊含的知識與思想方法，達到對數學核心觀念的理解與運用.

本節課中，首先從單元知識體系中提出了“研究什么？如何研究？”的主問題，再以“作y = sin x，x ∈ R的圖象”這一核心任務展開思維活動，讓學生經歷了直觀想象的感性認識，并在特定邏輯線索和數學關系中提出更聚集、更連貫的問題鏈（從問題1至問題9），通過連貫的問題鏈將問題引向縱深，引導學生用數學的思維分析問題，用數學的方法解決問題. 在問題鏈的驅動下，學生不斷進行著對問題的探究與思考，尋求著解決問題的策略與方法，積極自主地進行著數學交流與表達. 在此過程中，學生的思維品質得到了較好的提升，更為重要的是融入了直觀想象、邏輯推理、數學抽象等多種素養.

需要注意的是，問題鏈及問題與學生的經驗之間，也應該具有關聯性和遞進性，問題鏈指向學生內隱思維的深度，能將學生在探究過程中學習的困難、障礙、差異等展現出來，充分暴露學生真實的思維狀態，為教學時生生和師生的互動提供互動性資源.

實踐表明，在單元教學實施中以結構化處理驅動知識生成，以先行組織者推進認知發展，以驅動問題鏈促進學生思維提升，會使教學的邏輯變得更加清晰，教學組織和實施的過程也會更流暢和連貫，教學目標的達成也更具有整體性.

參考文獻：

［1］艾義國. 地理“四線交融”的教學主線設計策略［J］. 教學與管理，2017（6）：59-60.

［2］石志群. 例談“先行組織者”的途徑與功能［J］. 數學通報，2016，55（2）：9-12.

［3］黃翔，童莉，李明振，等. 從“四基”“四能”到“三會”：一條培養學生數學核心素養的主線［J］. 數學教育學報，2019，28（5）：37-40.