面向物理約束的機器人運動學標定最優位姿集規劃方法研究

摘要：在物理約束下的工業機器人運動學標定過程中，標定精度受到位姿集的影響，而位姿集的選取又受到標定裝置的約束，針對以上問題，提出了一種采樣區間評價結合位姿集優選的最優位姿集規劃方法。首先建立了機器人運動學模型及距離約束標定模型，計算了機器人系統參數誤差約束方程及誤差雅可比矩陣；然后對機器人工作空間進行空間網格劃分，應用拉丁超立方采樣結合可觀測指標對各個網格區間進行評價，得到最優采樣區間；再次基于離線數據建立標定精度預測模型，在最優采樣區間內實現最優位姿集的搜索；最后對中瑞RT-608機器人進行最優位姿集的規劃及驗證，結果表明：基于最優位姿集標定后的平均擬合球半徑為0.3947mm，較隨機位姿集減小了57.98%。

關鍵詞：工業機器人；運動學標定；物理約束；最優位姿集；區間評價

中圖分類號：TP242

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.03.009

0引言

為滿足工業機器人在高端制造領域的應用需求，如何提高其定位精度是國內外學者研究的重點問題［1］。如今國內工業機器人的重復定位精度可達±0.013mm，但絕對定位精度始終無法突破毫米級。運動學標定是提高機器人絕對定位精度的重要手段［2-3］。運動學標定主要針對機器人的運動學參數誤差進行建模及補償，而不能補償的未建模誤差會導致不同標定位姿集的辨識精度不同［4］。因此，選取最優位姿集進行運動學標定是提高機器人標定精度的一個主要手段。

目前針對機器人的運動學參數標定，主要采用可觀測指標作為標定位姿集優劣的評價標準。MENQ等［5］、DRIELS等［6］和NAHVI等［7］基于機器人誤差雅可比矩陣的奇異值，相繼提出了O1～O5這五個可觀測指標。SUN等［8］研究發現5個可觀測指標的選擇優先級受實驗目的的影響，O1不受非奇異線性變換的影響，具有比例不變性，是使用協方差矩陣時的最佳選擇；O3是最小化末端執行器姿態不確定性的最佳選擇。

基于可觀測指標，國內外學者提出了關于最優位姿集的局部搜索算法和全局搜索算法。最優位姿集的局部搜索指在已有位姿中搜索出理想位姿集：呂仲艷等［9］依據可觀測指標O1提出了一種改進的迭代位姿搜索算法，通過優化初始位姿集提高了搜索算法的效率，并用實驗證明了所選位姿集的標定效果；溫秀蘭等［10］采用行列式最大化（determinantmaximzation，DETMAX）算法確定最優標定位姿集，并通過測量不確定度和蒙特卡洛法進行機器人幾何參數和末端位置不確定度的計算及評估；ZHOU等［11］利用隨機化搜索改進了DETMAX算法，并基于所選最優位姿集進行標定實驗，證明了在機器人標定過程中，測量噪聲魯棒性受到測量位姿集選擇的直接影響。最優位姿集的全局搜索指在機器人的工作空間中尋找全局最優解：LE等［12］提出了一種基于可觀測指標O1的遺傳算法，依此進行最優標定位姿集的選擇，通過在YS100機器人上進行對比標定實驗證明了該方法的有效性；JIANG等［13］為了確保評價結果的穩健性和準確性，選擇O4作為位姿集的評價標準，并針對辨識參數的靈敏度劃分為兩個識別子空間，有效地改善了辨識效果；CHEN等［14］改進了多目標粒子群算法，并將O1和O3動態加權得到可觀測指標Oc，從而獲得最優標定位姿集，實驗證明相較隨機位姿集的標定精度提高了26.94%。

上述關于最優位姿集的研究成果主要面向基于外部測量的機器人運動學標定，該標定方法需要使用高精度的測量設備對機器人末端位置進行多點測量，然后構建機器人運動學參數誤差方程進行辨識補償，由于設備成本昂貴且需要專業技能人員操作，在一定程度上限制了該標定方法的應用推廣。而對于物理約束下的機器人運動學自標定，只需通過控制機器人與特定裝置構建點［15］、面［16］、距離［17］等約束，從而建立機器人運動學參數誤差方程即可實現標定，此方法標定成本低、耗時短，具有一定的研究意義和應用前景。

目前關于物理約束下機器人運動學標定最優位姿集的研究較少，主要面臨的問題是由于機器人的標定位姿集受到標定裝置的約束，導致通過全局搜索算法得到的最優位姿集脫離了給定的物理約束，而通過局部搜索算法得到的最優位姿集又不能保證全局最優。本文針對已知物理約束的運動學標定提出了一種采樣區間評價結合位姿集優選的最優位姿集規劃方法，在全局最優的采樣區間中利用位姿集優選模型進行最優位姿集的預測。

1多位姿探測器距離約束機器人標定系統

1.1標定模型的建立

首先基于MDH（modifiedDenavit-Hartenberg）方法建立六軸連桿機器人正向運動學模型，相鄰連桿間位姿變換關系如下：

根據圖1所示的標定原理，在機器人基座、末端和末端固接的激光器分別建立B系（指B坐標系，下同）、E系和L系。則由機器人B系到E系的位姿變換矩陣表達式為

在4個位置探測器（positionsensitivedetector，PSD）的光敏平面中心分別建立P1、P2、P3和P4系。控制機器人，使入射激光線分別到達PSD1和PSD3的光敏平面，并反射至PSD2和PSD4的光敏平面。通過對PSD間的相對位姿精準標定，得到各PSD上的激光光斑在P1系下的坐標。

1.2目標方程的建立

根據光斑坐標及機器人正逆運動學、空間幾何和幾何光學等知識，分別計算基坐標系下異面光線距離dB和PSD系下異面光線距離dO1［17］。理論上dB=dO1，但由于dB為基坐標系下兩入射光線間的實際距離，dB的解析式中包含的24個機器人本體參數和6個激光器系參數均由理論參數和參數誤差兩部分組成，所以對n組光線兩兩求距后的n2組光線距離的差值建立目標方程如下：

其中，Δη為待求的機器人本體運動學參數誤差及L系位姿誤差；Hd為距離參數誤差模型的擴展雅可比矩陣，其表達式分別為

2最優位姿集規劃方法

2.1可觀測指標

在對機器人運動學參數標定的過程中，選取的位姿集會影響最終的標定精度，因此，可觀測指標作為一項可以反映當前位姿對機器人運動學參數誤差敏感程度的指標，可用來衡量位姿集的優劣。根據標定誤差模型的擴展雅可比矩陣H′d的奇異值，得到常用的可觀測指標O1～O5的表達式：

式中，μ為采樣點個數；L為待辨識幾何參數的個數；σi為擴展雅可比矩陣H′d的奇異值（i=1，2，…，L），且σ1gt;σ2gt;…gt;σL。

從數學角度分析，以上五種可觀測指標雖然表達式不同，但主要思想均是為了最大化辨識雅可比矩陣所映射的超橢球體積，增強標定位姿誤差相對于運動學參數誤差的敏感度，降低非幾何誤差對最終標定精度的影響。由于待辨識模型參數的量綱和量級存在差異，對這些參數進行歸一化時，五種可觀測指標中僅有O1不受非奇異線性變換的干擾，故本文選擇可觀測指標O1作為標定區間規劃的評價標準。

在式（13）中，μ為采樣點個數，也表示根據機器人末端位姿構建μ個誤差約束方程。而根據本文提出的多PSD距離約束標定模型，任意兩個采樣點即可在仿真空間中構建一組距離誤差約束方程。此處設定將μ個采樣點均分為2組，兩組間的采樣點兩兩組合，即可創建（μ/2）2組誤差方程，因此，多PSD距離約束標定模型對應的可觀測指數O1表達式應為

2.2拉丁超立方采樣

拉丁超立方采樣是一種多維分層采樣法，可將采樣空間的分布特征最大程度地通過采樣變量體現出來［18］。拉丁超立方采樣分為采樣和排序兩個步驟：采樣是指為保證采樣點對采樣空間的高覆蓋性，對各個隨機變量的采樣；排序是指為了最小化各采樣值間的相關性，用一定手段對采樣值進行重新排序。

2.2.1采樣

假設采樣規模為N，采樣隨機變量維度為K，任意隨機變量表示為Ai（i=1，2，…，K），Ai的累積概率分布函數Pi=Fi（Ai）。

采樣方法如圖2所示，首先將縱軸Pi的值域依據采樣規模等分為N個長度為1/N的子區間；再選取每個子區間的中點為Pi，則可通過Ai累積概率分布函數的反函數得到Ai，表達式如下：

將所得的一維N列采樣值隨機排列，則所有采樣值組成K×N階的初始樣本矩陣如下：

矩陣AKN的各行代表某一采樣值變量的隨機排列，各列代表各個隨機初始樣本。

2.2.2排序

當使用拉丁超立方采樣得到的樣本進行多輸入隨機變量的分析計算時，計算結果的準確性受各采樣值間相關程度的影響。式（20）中各行元素隨機排序導致各采樣值間的相關性無法確定，因此采用排序的方法降低各個隨機變量之間的相關程度。

Cholesky分解法可降低矩陣的行相關性［19］，其主要思想是通過Cholesky分解不斷更新排列矩陣LKN，再將初始樣本矩陣各行元素按照排列矩陣中各行元素的大小順序進行重新排列，具體步驟如下：

（1）生成K行由整數1～N隨意排列的初始排列矩陣LKN，按照排列矩陣各行元素大小順序更新初始樣本矩陣。

（2）計算排列矩陣LKN的相關系數矩陣ρL，對正定對稱矩陣ρL進行Cholesky分解，得到可逆非奇異下三角矩陣D：

（3）求得行相關性更小的排列矩陣L′KN：

由于L′KN中不能直觀表示各行元素大小排列順序，故需對其進行順序排號，并依據打亂后的順序對樣本矩陣中的元素進行排列。不斷重復此步驟，即可大幅度降低樣本矩陣的行相關性。

本文選用拉丁超立方采樣生成區間評價所需要的樣本，既滿足了采樣樣本在區間內的均勻分布，又可以最小化樣本各維度間的相關性，保證了所選樣本盡可能反映各個區間在同一種標定模型下對幾何參數誤差的敏感度。

2.3最優標定區間

基于多PSD距離約束標定模型的采樣區間規劃方法主要包括機器人工作空間的網格化劃分以及評價網格區間所需的樣本點位姿和數量的確定。首先，基于實際閉環標定裝置的尺寸將機器人的工作空間劃分為一定數量的網格；然后，確定評價任意一個網格區間所需的樣本點的數量和位姿，實現對最優采樣區間的規劃。具體流程如圖3所示。在區間規劃流程中，以全空間下可觀測指標O1達到穩定時的采樣點個數作為評價各網格區間的采樣點個數，其原因如下：雖然不能保證各網格區間所需評價的采樣點個數相同，但由于評價子區間所需采樣點個數一定不大于父區間，故評價全空間所需的采樣點個數一定滿足各個網格區間的最低要求。同時，后續實驗也證明了過多的采樣點不會對O1的變化產生明顯影響。

2.4位姿集優選模型

離線訓練位姿集優選模型是為了在最優采樣區間的基礎上進一步搜索最優位姿集。模型的建立主要包括特征數據的獲取以及回歸模型的訓練兩部分。

特征數據的獲取指利用灰度關聯算法對構成位姿集的關節角進行特征提取，并將機器人工作空間大量采樣點的理論坐標與補償后坐標的平均歐氏距離作為標簽，然后采用支持向量回歸（supportvectorregression，SVR）預測模型對特征提取后的數據集進行訓練。有關數據處理及模型訓練的具體過程詳見本課題組的前期工作成果［20］。

3實驗與分析

3.1確定最優標定區間

本文所采用的6軸連桿機器人中瑞RT-608的理論MDH參數見表1。需要對機器人末端固接激光器，其理論激光器系參數見表2。

根據表1和表2中的參數建立機器人正運動學模型，在機器人的全工作空間內采用拉丁超立方采樣得到采樣點，并依據誤差雅可比矩陣計算可觀測指標O1。

拉丁超立方采樣時，為降低樣本各維度間的相關性，應用Cholesky分解法對樣本矩陣更新。如圖4所示，隨機選擇四組樣本矩陣，其相關系數矩陣ρ非對角線元素的均方根ρRMS的變化趨勢可以證明，Cholesky分解法對降低樣本矩陣的行相關性具有明顯效果，且樣本矩陣迭代約50次后ρRMS趨于穩定。

為了避免選取采樣點的隨機性，將重復采樣10次后計算得到的O1均值作為該采樣點個數條件下的穩定O1值。在區間［0，2000］內等梯度增加采樣點的個數，并觀察O1值的變化趨勢。如圖5所示，當采樣點個數為900時O1值趨于穩定，即評價機器人整個工作空間約需要基于拉丁超立方采樣得到900個采樣點。

圖6所示為本次區間規劃實驗所使用的多PSD距離約束標定裝置，該標定裝置的實際尺寸約為480mm×300mm×240mm。為了進行空間網格劃分，首先需要利用MonteCarlo法得到機器人的工作空間，結果如圖7所示。

考慮到安放裝置需要的空間余量、機器人末端入射激光線長度及機器人工作空間的不規則性，將機器人的絕大部分工作空間劃分為64個500mm×500mm×500mm的網格子區間。應用拉丁超立方采樣在64個網格區間各取900個采樣點計算O1值，并將反復采樣10次后得到的O1均值作為最終的評價標準。評價結果如圖8所示，在機器人基坐標系下，網格區間{X∈［0，500］mm；Y∈［-1000，-500］mm；Z∈［-500，0］mm}為最優采樣區間。

3.2位姿集優選模型的建立

3.2.1構建仿真數據

在仿真環境下建立機器人運動學模型及多PSD距離約束標定系統。每次離線采集10組關節角數據組成一組位姿集，同時不斷改變PSD與機器人間的相對位置關系，將獲得的200組位姿集及標定后得到的對應標簽作為初始仿真數據集，部分關節角數據見表3。對初始數據進行處理后得到特征數據集，部分特征數據見表4。

3.2.2SVR預測模型訓練及驗證

將特征數據集的80%作為訓練集，其余20%作為驗證集。將訓練集輸入SVR模型中，設置懲罰因子c和核函數參數σ的范圍和步長，利用網格搜索方法得到最佳c和σ的過程如圖9所示。利用訓練好的模型對驗證集進行預測，結果如圖10所示。根據圖10中的數據計算得出，驗證集原始數據與預測數據間的回歸系數R2為0.7878，證明預測效果良好。

3.3實驗驗證

利用中瑞RT-608機器人分別在最優區間和隨機區間結合位姿集優選模型進行圖11a所示的標定實驗。最優區間的標定數據采集需先控制機器人末端達到最優采樣區間中心，即（250，-750，-250）mm，將多PSD標定裝置中心（約為PSD1中心和PSD3中心連線中點處）置于該位置。為了避免偶然性，需適當改變標定裝置的姿態和位置；為了保證機器人末端不超出最優采樣區間的范圍，需盡量縮短激光器至PSD1入射光線的長度。

同時，標定前利用圖11b所示繞點法得到機器人在某一固定位置下的100組關節角數據，根據示教器得到補償前后的100個末端位置離散點，采用最小二乘法計算擬合球的球心和擴散半徑，任意一組離散點數據的擬合結果如圖12所示。

擬合球的半徑可以反映擬合的數據集在三維空間中的離散程度，進一步反映機器人的絕對定位精度。因此，驗證最優標定位姿集的具體實驗流程如圖13所示。

依據圖13的流程進行20次標定實驗，對機器人本體運動學參數及末端激光器系參數進行辨識及補償。在補償后的機器人模型下計算100組位姿的擬合球半徑，最小擬合球半徑對應的補償數據即最佳標定數據，見表5、表6。

對圖14中的四組標定數據進行處理，得到標定后的擬合球半徑統計圖（圖15），可知：在最優區間內應用位姿集優選后的全局最優數據進行標定，其平均擬合球半徑為0.3947mm，較單獨在最優區間或使用位姿集優選模型標定后的平均擬合球半徑分別減小36.77%和26.30%，較隨機數據減小57.98%，同時利用全局最優數據標定后的擬合球半徑中位數和方差也明顯低于其余三組數據，由此證明了最優標定區間及位姿集優選模型均可有效改善標定精度，且將兩者結合可以進一步提高標定精度及其穩定性。

4結論

（1）針對物理約束下機器人運動學參數標定過程中的最優位姿集搜索問題，本文提出了一種采樣區間評價結合位姿集優選的最優位姿集規劃方法，實現了在受約束條件下全局最優位姿集的搜索，對提高運動學標定的精度具有顯著效果。

（2）以中瑞RT-608機器人為研究對象，基于MDH方法建立機器人運動學模型，并根據多PSD距離約束模型計算誤差雅可比矩陣，得到可觀測指標O1的特定表達式；然后將機器人的工作空間劃分為64個網格子區間，根據O1計算得出在拉丁超立方采樣下評價各個網格區間至多900個采樣點，從而對各個網格區間進行評價，得到最優標定區間；最后，利用基于離線數據訓練的位姿集優選模型，對最優標定區間內得到的位姿集數據進行優選。

（3）經實驗驗證，在最優區間內應用位姿集優選后的數據進行標定，其平均擬合球半徑為0.3947mm，較單獨在最優區間或使用位姿集優選模型標定后的平均擬合球半徑分別減小36.71%和26.06%，較隨機數據減小57.98%。結果表明，本文方法對提高機器人物理約束的標定精度有顯著效果，對一類基于物理約束的機器人標定系統具有重要的應用價值。

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