基于改進(jìn)平滑L0范數(shù)的壓縮感知重構(gòu)算法

趙友瑜 羅桂寧 王姣 馮俊杰

關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏信號(hào)重構(gòu)；平滑L0范數(shù)；負(fù)指數(shù)函數(shù)

0 引言

隨著信息時(shí)代的到來，如圖像、語音、視頻等信號(hào)的傳輸與處理技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，同時(shí)對(duì)信號(hào)傳輸、采集、處理等提出了更高的要求。因此，如何對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的采樣壓縮，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)，成為信號(hào)處理領(lǐng)域的重要問題。奈奎斯特采樣定理指出，如果要從采樣信號(hào)中無失真地恢復(fù)出原始信號(hào)，則采樣率至少是信號(hào)頻帶的兩倍以上。隨著信息技術(shù)的發(fā)展和對(duì)信息需求的增加，信號(hào)帶寬不斷擴(kuò)大，采樣率和處理速度也隨之提高，相應(yīng)地增加了信號(hào)采樣的成本以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、傳輸?shù)拇鷥r(jià)，這導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中的硬件要求和傳輸壓力增加。傳統(tǒng)的信息獲取與處理流程通常是先對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，再對(duì)獲得的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮處理，但采集與壓縮過程中去除大量冗余數(shù)據(jù)會(huì)造成采樣資源的浪費(fèi)。

近年來，充分利用信號(hào)的稀疏性或可壓縮性特征，壓縮感知（Compressive Sensing， CS） 理論作為一種基于信號(hào)稀疏性的采樣理論被提出。相比傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣理論，該理論在采樣中完成了數(shù)據(jù)壓縮的過程，從而顯著降低了系統(tǒng)采樣的硬件需求和時(shí)間損耗 [1]。壓縮感知理論是基于數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，針對(duì)海量數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣、編碼和優(yōu)化重構(gòu)的新理論。該理論指出，如果被測信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的或者信號(hào)是可壓縮的，則可采用低于奈奎斯特采樣頻率的方式對(duì)信號(hào)進(jìn)行測量，并能通過測量值重構(gòu)原始信號(hào)。CS理論表明，對(duì)于稀疏信號(hào)或可壓縮信號(hào)，可以同時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣和壓縮，通過設(shè)計(jì)與稀疏基不相關(guān)的觀測矩陣將高維稀疏信號(hào)降為低維信號(hào)，然后通過最小范數(shù)優(yōu)化求解原始信號(hào)，極大地降低存儲(chǔ)空間和計(jì)算的復(fù)雜度，且質(zhì)量損失較小，實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)。該理論利用信號(hào)的稀疏性，實(shí)現(xiàn)了低采樣率采樣，從而降低了高速采樣、A/D 變換、變換編碼的成本。對(duì)于以低采樣率采樣得到的數(shù)據(jù)，壓縮感知理論通過在約束條件下對(duì)L1（或L0） 范數(shù)優(yōu)化重構(gòu)該稀疏信號(hào)。

壓縮感知理論主要分為三個(gè)步驟。首先，將信號(hào)稀疏化處理，使傳輸信號(hào)在某個(gè)稀疏域上呈稀疏表示。其次，通過設(shè)計(jì)與稀疏基不相關(guān)的矩陣，即觀測矩陣，將高維信號(hào)降維處理為低維信號(hào)。最后，利用稀疏重構(gòu)算法精確重構(gòu)出最原始的信號(hào)。CS理論一經(jīng)提出，就引起了廣泛學(xué)者的關(guān)注，成為研究的熱點(diǎn)，在圖像信號(hào)[2]、語音信號(hào)、陣列信號(hào)、雷達(dá)成像[3]等方面都有廣泛應(yīng)用。

稀疏信號(hào)重構(gòu)是壓縮感知理論的重要步驟，主要包括凸優(yōu)化算法、組合算法和貪婪重構(gòu)算法等。對(duì)于稀疏信號(hào)重構(gòu)處理所應(yīng)用的重構(gòu)算法實(shí)質(zhì)上是求解一個(gè)最小L0范數(shù)問題，但基于L0范數(shù)的稀疏求解是非凸優(yōu)化問題，求解復(fù)雜。因此，基于L1范數(shù)的算法較為常用，但基于L1范數(shù)的重構(gòu)算法計(jì)算成本很高。然而，L0范數(shù)比 L1范數(shù)更能描述稀疏性，如何得到L0函數(shù)作為代價(jià)函數(shù)的解具有非常重要的意義。由于L0范數(shù)是非光滑函數(shù)，直接基于L0函數(shù)的算法需要組合優(yōu)化，計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長。因此，如何兼顧計(jì)算量和重構(gòu)性能，得到接近L0代價(jià)函數(shù)的解具有很高的研究價(jià)值。計(jì)算量是指數(shù)上升的。如何兼顧計(jì)算量和重構(gòu)性能，得到接近 L0代價(jià)函數(shù)的解是很有研究價(jià)值的。

norm， SL0） 稀疏信號(hào)恢復(fù)算法，利用連續(xù)高斯函數(shù)序列Fσ （x） =Σiexp（-x ） 2i2σ2 作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)σ 由大到小變換，使平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)。該算法采用高斯函數(shù)作為平滑函數(shù)，將求解L0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)的優(yōu)化求解問題，解決了非連續(xù)函數(shù)求導(dǎo)的問題，具有運(yùn)算速率快、計(jì)算復(fù)雜度低、重構(gòu)精確度高等特點(diǎn)。

為了進(jìn)一步改進(jìn)稀疏信號(hào)重構(gòu)效果，在SL0算法的基礎(chǔ)上，本文采用了負(fù)指數(shù)函數(shù)Gσ （x） =Σi = 1N exp （-| x | ） i σ 作為平滑序列，逐漸減小控制參數(shù)，使得平滑序列逐漸趨近于L0范數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明所設(shè)計(jì)的算法比SL0算法具有較高的重構(gòu)精度，提高了稀疏信號(hào)重構(gòu)效果。

1 稀疏信號(hào)重構(gòu)模型

其中矩陣A 稱為感知矩陣。由于觀測值的維數(shù)M 遠(yuǎn)小于信號(hào)維數(shù) N，直接由y 求解x 為求解欠定方程問題，無法求出其確定解。由于信號(hào) x 是稀疏的，實(shí)際未知數(shù)的個(gè)數(shù)大大減少。運(yùn)用優(yōu)化理論對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)求解。

2 改進(jìn)稀疏信號(hào)重構(gòu)算法

采用負(fù)指數(shù)函數(shù)fσ （xi ） = exp（-| x | ） i /σ 作為平滑函數(shù)，記作Fσ （x） = N -Σi = 1Nfσ （x ） i ， x 0 表示向量x 中不為零元素的個(gè)數(shù)。當(dāng)σ → 0時(shí)，F(xiàn)σ （x） 趨近l0 范數(shù)的值， x0 = lim σ → 0Fσ （x）。對(duì)于任意的σ，Gσ （x）都可作為度量稀疏度的函數(shù)，較Fσ（x）具有較高的重構(gòu)概率。算法采用單循環(huán)結(jié)構(gòu)及通過控制參數(shù)σ 由大到小變化，采用遞減序列σ1，σ2，σ3…，把每個(gè)與σi 相對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。求Fσ （x）的梯度?Fσ （x），然后向負(fù)梯度上平移，即得到Fσ （x）的最小值。求得的最小值有可能不在可行集中，所以需要采用投影方式到可行集中。本文所設(shè)計(jì)算法稱為改進(jìn)平滑L0范數(shù)重構(gòu)算法，整個(gè)重構(gòu)算法結(jié)構(gòu)如下：

在最速下降方法中，步長因子的選擇非常重要。對(duì)于較大的步長，函數(shù)可能不會(huì)收斂；而對(duì)于較小的步長，計(jì)算效率較低。當(dāng)搜索點(diǎn)與最小值的距離較遠(yuǎn)時(shí)，考慮較大的步長；當(dāng)搜索點(diǎn)與最小值較近時(shí)，則考慮選擇較小的步長。最速下降法應(yīng)該每一步代價(jià)函數(shù)都下降才好，但實(shí)際求解過程中不一定為下降方向。因此，對(duì)于上述算法，在每次迭代過程中增加檢查所求的解是否下降步驟。如果沒有下降，則取前一點(diǎn)和當(dāng)前點(diǎn)的中點(diǎn)進(jìn)行修正，確保搜索方向沿著最速下降方向。

3 仿真結(jié)果及其分析

仿真一：一維信號(hào)重構(gòu)

本文通過MATLAB軟件對(duì)算法進(jìn)行測試，驗(yàn)證其算法的重構(gòu)性。稀疏信號(hào)模型為y = Φx + n，其中為稀疏信號(hào)，Φ為觀測矩陣，稀疏信號(hào)長度為256。改變稀疏信號(hào)的稀疏性，幾種算法的重構(gòu)時(shí)間曲線、重建概率和均方誤差（MSE） 變化曲線如圖1-圖3所示。對(duì)于SL0方法，外環(huán)數(shù)量為20，內(nèi)環(huán)數(shù)量為10。本文算法循環(huán)次數(shù)為200。本文將ISL0算法與OMP算法[5]、SL0算法、Laplace算法[6]和L1-Ls算法進(jìn)行了比較。

圖1表示不同信噪比情況下重構(gòu)時(shí)間的比較。可以看出，OMP、平滑L0范數(shù)和ISL0算法的重構(gòu)時(shí)間低于Laplace和L1-Ls。圖2表示不同信噪比條件下重構(gòu)概率隨著稀疏度的變化情況。可以看出，隨著稀疏度的增加，幾種算法的重構(gòu)概率逐漸降低；而信噪比增加時(shí)，在相同稀疏度情況下，重構(gòu)概率逐漸增加。在相同稀疏度下，本文算法較其他算法具有較高的重構(gòu)概率，重構(gòu)效果優(yōu)于其他算法。圖3表示稀疏信號(hào)均方誤差的比較。可以看出本文算法較其他算法具有較低的均方誤差。雖然L1-Ls是全局最小值算法，但由于ISL0選擇的平滑函數(shù)，局部最小值方法優(yōu)于全局最小值方法。

仿真二：圖像重構(gòu)

為驗(yàn)證本文算法的圖像重構(gòu)性能，利用Matlab2020a仿真平臺(tái)，對(duì)算法的二維圖像重構(gòu)性能進(jìn)行了驗(yàn)證，并完成實(shí)驗(yàn)仿真分析。選擇輸入源圖像為256×256的barbara 圖像作為測試圖像，采樣率為0.5。選取DCT矩陣作為稀疏變換矩陣，觀測矩陣為隨機(jī)高斯矩陣。本文算法與OMP 算法、SL0 算法、SP 算法、GPSR算法對(duì)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行比較，選取重構(gòu)時(shí)間、峰值信噪比和均方誤差作為性能指標(biāo)。

如圖4所示，可以看出本文算法的圖像重構(gòu)效果優(yōu)于其他算法。表1從峰值信噪比、相對(duì)誤差和計(jì)算時(shí)間對(duì)比了幾種算法的指標(biāo)，可以看出本文算法與其他算法相比，在重構(gòu)質(zhì)量和精度等各方面對(duì)傳統(tǒng)重構(gòu)算法有較大的提高。

4 結(jié)論

本文提出一種改進(jìn)的平滑L0范數(shù)壓縮感知重構(gòu)算法，采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)由大到小變化，逐步趨近L0范數(shù)。在每次迭代中增加一個(gè)比較步驟進(jìn)行修正，以確保在傳統(tǒng)平滑L0范數(shù)重構(gòu)算法的最快下降方向上搜索到最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明，在相同的測試條件下，該算法在重構(gòu)概率和重構(gòu)精度方面均優(yōu)于傳統(tǒng)稀疏信號(hào)重構(gòu)算法。