一種多層組合梁自由振動分析的混合有限元法

蔣佳卿 王云 陳偉球 徐榮橋

摘要： 基于截面等效，提出了多層組合梁的二維分析模型。使用混合能變分原理，以包含頻率函數的節點位移及其能量對偶的應力分量為單元節點未知量，引入混合元對梁長方向進行離散，建立動力學狀態空間控制方程；接著引入微分求積法（Differential Quadrature Method， DQM）對控制方程進行梁高度方向的離散，求得組合梁在不同軸力與邊界條件下的動力學方程。以混凝土?木材組合梁、波形鋼腹板梁和鋼?混組合梁為例進行驗證。該方法基于二維理論，可為梁理論提供假設依據和誤差分析的基準。

關鍵詞： 自由振動； 組合梁； 混合有限元； DQM； 狀態空間法

中圖分類號： O327??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2024）05-0856-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.014

引? 言

組合梁的動力特性是組合梁計算分析中的重要內容，利用自振頻率可以識別結構可能出現的損傷。基于Timoshenko梁理論，Xu等 ［1］推導了考慮層間滑移的組合梁解析表達式，分析了其靜力、動力與屈曲特性。考慮高階剪切效應的影響，Vo等［2］提出了使用高階多項式和非多項式函數的高階剪切變形理論。Carrera等［3］比較多種不同高階函數，包括多項式、三角級數、指數函數和Zig?zag函數，分析多層組合梁自振特性的異同。基于Zig?zag理論，胡霖遠等［4］通過引入分段的位移線性分布假設與橫向剪應力拋物線分布假設，建立了適用于分析波形鋼腹板梁的自由振動分析理論。Shen等［5?6］基于狀態空間架構，給出了考慮部分組合作用的組合梁自由振動控制方程，并分析了軸力的影響。通過引入“動力折減系數”與“頻率折減系數”，侯忠明等［7］提出了鋼?混組合梁動力問題的簡便計算方法。考慮到鋼?混組合梁在鋼梁翼緣存在剪力滯效應，陳玉驥等［8］通過假設結構的縱向位移函數，提出了考慮剪力滯與層間滑移效應的組合梁一階自振頻率計算方法。

除了解析方法，有限元方法在組合梁動力分析中得到了較多應用。基于經典梁理論，Vo等［9］使用一維有限元單元分析了薄壁組合梁的動力特性。Chakrabarti等［10］提出了考慮層間滑移的高階梁單元。Chalak等［11］提出了基于Zig?zag理論的有限元單元，并用其分析了包含柔軟夾層的三明治結構組合梁的動力特性。

以上研究都基于一維梁理論，若將組合梁近似為二維結構，則無須假定截面上的變形或應力的分布，適用于截面材料特性變化較大、層數較多，或是邊界條件沿梁高分布較為復雜的情況。Chen等［12］基于二維彈性理論，提出了使用狀態空間法與微分求積法的組合梁自由振動分析方法。基于狀態空間法，Xu等［13］給出了簡支條件下考慮層間滑移的組合梁自由振動與屈曲荷載解析解，并使用微分求積法給出了在其他邊界條件下的半解析表達式。因為將位移與其能量對偶的應力分量作為基本未知量，因此狀態空間法在分析多層組合結構時具有獨特優勢。

本文在組合梁統一的二維模型基礎上，推導了哈密頓體系下考慮固有頻率與軸力作用的混合能量泛函。然后通過梁長方向的有限元離散，求得沿梁高度方向的狀態空間方程。接著利用微分求積法（Differential Quadrature Method， DQM）對狀態方程在梁高方向上進行分解。最后使用二分法解得組合梁的各階自振頻率。通過對混凝土?木材組合梁、波形鋼腹板梁和鋼?混組合梁的分析，驗證了該方法的正確性。

1 組合梁的二維模型

不同形式的組合梁，包括鋼?混組合梁與波形鋼腹板梁，均可通過截面等效轉化為寬度為的矩形截面組合梁。參考胡霖遠等［4］、Johnson等 ［14］ 以及Xu等［15］的工作，通過把波形鋼腹板等效為正交各向異性材料，可模擬波形鋼腹板橫向和縱向剛度的巨大差異。同時根據截面抗彎剛度與軸向剛度一致原則，對不同寬度的混凝土截面或鋼梁截面進行材料參數轉換，使其統一等效為矩形截面。

為保持模型的一致性，組合梁的層間部分組合作用通過引入厚度極小的虛擬粘接層進行模擬。如圖1中高度為（其值遠小于其他層的高度）的薄層，其剪切模量為：

（1）

式中為剪力連接件的抗剪剛度，該式可方便地根據能量相等原則推導得到。如果需要考慮實際情況下剪力連接件在梁長方向的離散分布特性，那么虛擬粘接層的剪切模量也可在梁長方向作相應的設置。通過一個等效的薄層材料模擬由于剪力連接件剛度有限產生的層間相對滑移，使得所有的等效截面成為統一的層間完美連接的二維模型。

2 混合有限元與DQM結合解法

2.1 混合能泛函

考慮組合梁在軸力作用下的自由振動問題，假設梁的振動頻率為，則二維系統的拉格朗日函數可表示為：

式中為位移振幅列陣，u和v分別對應x方向和y方向的位移振幅；若變量下標中包含逗號，則表示該變量對逗號后面坐標的偏導數；表示材料的密度；矩陣的取值可參考胡霖遠等 ［4］的工作。

選取方向作為傳遞方向，通過勒讓德變換［16］可得到如下自由振動問題的哈密頓函數：

式中? 為法線方向與x軸平行的平面上的應力振幅矢量，以及：

求得哈密頓函數表達式后，混合能泛函可表示為：

式中表示平面區域。該混合能泛函以位移振幅和應力振幅矢量為自變函數，使得該泛函取極值的可能位移振幅和應力振幅是精確解。出于簡便性，后面的文字描述中統一省略“振幅”。

2.2 混合有限元離散

對結構沿x方向進行有限元離散，y方向保持不變，并對自由振動下的單元內位移與應力做如下假設：

（6a）

（6b）

式中表示位移與應力隨時間的變化函數，i和t分別表示虛數與時間變量；和分別表示單元節點上的位移和應力分量；和分別表示單元內部位移與應力的分布形函數。

有限元離散后，系統的混合能泛函也可以寫為：

式中? H為整個梁高；m為x方向單元數量；和為第e個單元所占的區域。

將式（3）代入式（7），并結合式（6），得：

式中

求得單元內部的系數矩陣后，按節點號組裝全部矩陣，可得系統的混合能泛函為：

式中和表示系統全體位移與應力分量；，，，，表示根據有限元節點號組裝后的各系數矩陣。

對式（10）取變分為零，可得如下控制方程：

式中

考慮到位移與應力具有不同的量綱，為提高數值精度，可按下面方式進行無量綱化。首先引入：

式中為特征長度，可取為；E為具有彈性模量量綱的量。

按式（13）無量綱化后，式（11）可改寫為：

式中

2.3 三節點單元

有限元離散采用三節點有限元單元，如圖2所示，并取中間節點k為首節點i與末節點j之間的中點。形函數表達式如下：

（16）

式中

表示單元內的局部坐標，與全局坐標x的關系為：

由于形函數由參考坐標給出，因此根據復合函數求導規則：

（19）

將形函數表達式代入式（9），可得各單元系數矩陣的表達式如下：

2.4 狀態方程的DQM求解

狀態方程（14）為微分方程，雖可用傳遞矩陣直接求解，但是由于引入有限單元后維數較大，容易導致數值穩定問題。為此，可采用微分求積法［17?18］求解狀態方程（14）。首先， 在組合梁第i層上布置k個離散點，其局部坐標為（）。根據DQM法，在離散點c上，狀態向量的導數滿足：

式中和表示第i層內和點處的狀態量；為DQM權重系數，一種取法為［18］：

對于第i層上任一離散點上的狀態量，式（14）可以改寫為：

式中表示式（14）中矩陣A在第i層的取值。將式（21）代入式（23），可得在任一離散點c上滿足：

組合第i層上所有離散點之間的關系，可得：

（25）

式中

式中? I表示與維數相同的單位矩陣。

考慮到原組合結構具有n層，將各層系數矩陣依次代入式（25），并組合可得：

（27）

式中

式中? 系數矩陣表示組合梁的自身動力特性，還需針對不同邊界條件進行相應修改。

2.5 邊界條件引入

邊界條件通過有限元分析方法中常用的“乘大數法”進行引入，并記大數為。設邊界條件共約束f個狀態量，即：

，（29）

式中表示給定狀態量；表示給定值。

通過“乘大數法”引入邊界條件式（29）后，式（27）可改寫為：

（30）

式中? I表示與維數相同的單位矩陣；表示維數為的列向量，其中n表示材料層數，k表示每層的DQM離散點個數，M表示有限元節點數。滿足：

式中表示狀態量在總體狀態量矢量中的位置。

結合式（12），（15）和（26b），可知式（30）中的系數矩陣為頻率項和軸力的函數。為使得方程（30）有非零解，系數矩陣應滿足：

（32）

計算組合梁在無軸力作用下的自振頻率，可通過設置式（12）中的軸力項，然后通過二分法求得滿足式（32）的組合梁各階自振頻率。通過設定式（12）中的頻率，可相應求得組合梁的屈曲荷載。

3 算? 例

3.1 混凝土?木材組合梁

混凝土?木材組合梁由上層混凝土與下層木梁組成。上層混凝土的材料參數為，，下層木梁的材料參數為，，層間具有剪切剛度。表1展示了四種不同邊界條件下，即兩端簡支（SS）、一端簡支一端固支（SC）、兩端固支（CC）、一段固支一段自由（CF），組合梁的前五階自振頻率，并將計算結果與Xu等 ［1］解析解的結果進行對比。

混凝土與木梁間通過剪力連接件相連接，連接件剛度決定了組合作用的強弱。當連接件剛度較小時，組合作用較弱，此時組合梁的固有頻率較低；當連接件剛度逐漸增大時，組合作用隨之增強，固有頻率也相應提高。當連接件剛度很大時，層間近似完美連接，此時固有頻率達到穩定的最大值。

圖3反映了四種不同邊界條件下，組合梁一階頻率隨剪切剛度而變化的趨勢圖。不同支座條件下，一階頻率發生顯著變化時對應的連接剛度區間不同。兩端簡支（SS）下，其頻率敏感的連接剛度變化區間為，而在兩端固支（CC）條件下，其頻率敏感的連接剛度變化區間為。

3.2 波形鋼腹板梁

基于二維分析模型，組合梁內部位移與應力的分布滿足傳遞方程式（14），因而無須預先引入其分布的假設函數，適用于分析具有各向異性特征的波形鋼腹板梁結構。參考胡霖遠等［4］、Johnson等［14］ 以及Xu等［15］的工作，波形鋼腹板可轉換為等效正交各向異性材料，并將波形鋼腹板梁（Corrugated Steel Web Beams， CSWB）等效為單位寬度下的矩形三層組合結構。各層的材料參數如下：混凝土頂板的等效彈性模量為，泊松比為，密度為。波形鋼腹板的等效彈性模量為，，；泊松比為，；密度為。混凝土底板的等效彈性模量為，泊松比為，密度為。波形鋼腹板梁長，高，其中混凝土頂板與底板厚度均為0.25 m。

基于式（32）求得的各階自振頻率結果，與Zig?zag理論（Zig?zag Beam Theory， ZBT）［4］和有限元數值方法計算所得的結果對比如表2～5所示。表中f表示自振頻率，括號內表示該方法與有限元結果的相對誤差（%）。有限元結果來自于ABAQUS軟件使用八節點平面應力單元的計算結果，上、下混凝土板的單元尺寸均為0.025 m×0.450 m，波形鋼腹板層的單元尺寸為0.200 m×0.450 m，在建立波形鋼腹板梁的平面應力有限元模型后計算其動力特性。

不同邊界條件下，基于此方法的計算結果與有限元結果吻合度較高，各階頻率值均與有限元結果接近。而Zig?zag理論的結果在低階頻率上精度較高；隨著頻率階數的升高，其精度有所下降。這是由于隨著振型階數升高，組合梁內的剪切變形呈現出更顯著的非線性特征，因此使用Zig?zag理論所得結果的誤差將逐漸增大。基于二維模型的傳遞方程式（14），無須引入變形和應力的預先分布假設，因此對于各階頻率均能保持較低的誤差水平。為了保證總體精度，本算例統一選用較大的DQM離散點數（k=20）并在材料界面附近加密布置離散點，偏多偏密的離散點布置使得低階頻率的誤差反而偏大。

3.3 鋼?混組合梁

鋼?混組合梁在橋梁工程中應用廣泛。通過在界面處布置抗剪連接件，鋼?混組合梁將鋼材與混凝土進行組合，發揮其各自優勢。考慮一跨徑的鋼?混凝土試驗組合梁。鋼梁為的標準H型鋼，容重，彈性模量和泊松比分別為和。混凝土厚，寬，容重，彈性模量和泊松比分別為和。混凝土與鋼梁之間通過栓釘（直徑）連接，并沿跨徑方向每間隔0.2 m布置一排，每排2個，產生的界面抗剪強度。參考胡霖遠等［4］和Xu等［15］的工作，可將該組合梁等效為單位寬度下的矩形五層組合結構。對于五層結構的分析，體現了該方法可方便地處理任意多層結構的特點。

由于栓釘沿梁長方向為間隔布置，采用兩種方式對其進行模擬。方式（Ⅰ）首先計算每排栓釘處的界面抗剪強度：

式中表示梁長方向的栓釘排數；表示等效界面的寬度，即。求得抗剪強度后，可按式（1）求得栓釘位置處虛擬粘接層的剪切模量。而其他無栓釘處的剪切模量則取為一較小值（）。在進行有限元離散時，通過設定單元間不同的剪切模量，體現了該方法可處理材料特性沿梁長變化的優勢。方式（Ⅱ）則不考慮栓釘的間隔布置，由式（1）直接求得對應于的全梁長等效剪切模量。

表6給出了兩種計算方式下組合梁的固有頻率計算結果，并與有限元數值結果以及張云龍等 ［19］的室內試驗結果進行對比。有限元數值計算基于ANSYS軟件，工字鋼與混凝土使用實體單元（SOLID65）進行離散，栓釘使用梁單元 （BEAM188） 模擬。對比表明，采用方式（Ⅰ）的計算值與試驗實測結果吻合度較高，誤差僅為0.64%。而不考慮栓釘間隔布置的全梁長等效方式（Ⅱ），其頻率計算結果較試驗實測值偏低。這是由于將抗剪強度進行全梁長均勻化等效，降低了端部處的連接剛度，使得組合梁的固有頻率下降。

4 結? 論

基于組合梁統一的二維分析模型，導出了哈密頓體系下組合梁動力分析的混合能量泛函。以包含頻率函數的節點位移及其能量對偶的應力分量為單元節點未知量，使用有限元離散建立了狀態空間法下的混合有限元控制方程。狀態空間法建立了狀態量在傳遞方向上解析的傳遞關系，將復雜的多層結構界面連接關系轉換為簡單的矩陣相乘，對分析任意多層組合梁具有顯著優勢。而通過引入梁長方向的有限元離散，可方便地處理材料特性沿梁長變化的問題。最后，通過在傳遞方向上引入DQM方法，可有效防止由于引入有限元離散而導致的待解矩陣過大產生的數值穩定性問題。

部分連接的組合梁以及具有正交各向異性特征的波形鋼腹板梁是工程中常見的組合梁形式，該方法準確分析了其在多種邊界條件下的自振頻率。對比分析波形鋼腹板梁常用的Zig?zag理論，由于基于二維分析模型，該方法對高階頻率的計算十分準確，且隨著頻率的升高，其優勢更加明顯。而對于二層、三層及五層組合結構的分析，表明分析過程具有通用性，并可方便地適用于任意多層組合結構的自由振動分析。通過設置梁長方向上有限元單元之間不同的材料參數，可精細化處理材料特性沿梁長方向非均勻分布的情形，使計算模型及其結果與實際情況更加符合。

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A mixed finite element method for free vibration analysis of multilayer composite beams

Abstract： In this paper， a two-dimensional analytical model for composite beams is first proposed through the equivalent transformation of the cross-section. Based on the mixed variational principle， the dynamic state equations are derived through finite element meshing and interpolation along the length of the beam， with frequency contained nodal displacements and their energy-conjugated stresses as element nodal variables. The differential quadrature method （DQM） is introduced to discretize the equations along the height of the beam， and natural frequencies of composite beams under different axial forces and boundary conditions are obtained. This method was verified by numerical examples about natural frequencies of three beams， i.e. a concrete-wood composite beam， a concrete beam with a corrugated steel web and steel-concrete composite beam. Since the proposed method is based on the two-dimensional theory， it can provide benchmarks for beam theories and error analyses.

Key words： free vibration；composite beam；mixed finite element；DQM；state space method