對高三數學二輪復習中的解題教學的幾點認識

楊春雷

［摘? 要］ 解題教學是高三二輪復習的重要組成部分之一. 在二輪復習的解題教學中，教師應精心挑選題目，合理創設問題，讓學生在問題的引導下去思考、去探索、去建構，從而在鞏固一輪復習成果的同時，幫助學生建構完善的知識體系，有效提高學生解決綜合問題的能力.

［關鍵詞］ 解題教學；二輪復習；教學品質

在高三二輪復習中，不同學校、不同班級所采取的復習方式有所不同，大體可以分為兩類，一是以知識模塊為專題，通過模塊化的方式再復習各章節的重難點內容；二是以數學思想方法為專題，通過數學思想方法的滲透幫助學生認清數學本質，完成知識的梳理與鞏固. 無論是以知識模塊為專題，還是以數學思想方法為專題，其實都離不開習題，因此習題的設計與講解是提升二輪復習質量的“法寶”. 在實際教學中，教師應從學生實際學情出發，精心挑選例題，并在此基礎上優化例題講解方法，堅持“以生為本”的教學理念，重視學生主體性的激發，以此打造高品質復習課堂. 不過，在實際教學中，部分教師為了追求課堂的“速度”和“容量”，忽視了學生在課堂教學中的價值，常常通過“強塞”和“硬灌”的方式將自己認為的“最優”方案傳給學生，這樣不僅不利于學生理解，而且容易將學生帶入“題海”，影響教學效果，制約學生長遠發展. 因此，在教學中，教師要轉變傳統觀念，既要發揮教師的主導功能，又要發揮學生的主體作用，從而在“主導”和“主體”的協調發展中提升“教”與“學”的品質.

筆者在二輪復習時，致力于習題的設計和講解，通過設問、變式、小結等實踐活動來優化例題講解質量，有效激發學生的潛能.

精挑細選，減負增效

在二輪復習中，對例題的選擇應遵循“小巧精練”的原則，將題型小、結構巧、覆蓋廣、思維活的相似或相關問題串聯起來形成專題，通過基礎性訓練和發展性訓練相結合的方式培養學生的“四基”，提高學生解決問題的能力. 教師作為課堂教學的主導者，講解重點不是單純的解題過程，而是引導學生把握題目的本質和核心，挖掘題目中蘊含的思路和方法，讓學生在自主探索的過程中將知識轉化為技能，有效提高解題能力.

例1較為簡單，從練習反饋來看，大多數學生運用代數法就能得到正確答案. 不過，若僅是就題論題，則難以發揮本題的教學價值，因此筆者帶領學生挖掘題目背后的信息，以此豐富學生的解題經驗，優化學生的認知體系. 在講解過程中，筆者沒有直接點評學生的解題過程，而是帶領學生分析問題的背景：從代數角度分析，一次方程ax+by=1和二次方程x2+y2=1組成的方程組有解的充要條件為a2+b2≥1；從幾何角度分析，直線ax+by=1與圓x2+y2=1有公共點的充要條件為a2+b2≥1. 不過，例1中的直線是以截距式的形式給出的，而圓是以動點M（cosα，sinα）的形式給出的. 分析至此，筆者鼓勵學生重新思考解題過程. 經過幾分鐘的獨立思考，學生發現了不同的解決方案，其效果出乎筆者意料. 在這一過程中，通過對知識背景的挖掘發散了學生的思維，讓學生掌握了問題的本質，雖然其占用了一些時間，但是開闊了學生的視野，使學生的創造性思維能力得到了鍛煉.

在高三解題教學中，其重點不是追求題目的“新”與“難”，而是重視學生對問題本質的理解. 學生只有掌握了問題的本質與核心，才能以不變應萬變，有效提高解題能力. 因此，在實際教學中，教師應多帶領學生去探尋問題的知識背景，以此培養學生舉一反三的能力.

設置專題，融會貫通

部分教師認為，提高解題效率的唯一途徑就是“刷題”，唯有“多做”才能快速地形成解題思路，高效解決問題. 但是要知道“題海”無邊，在復習過程中有無數的高考真題和模擬題，若盲目“刷題”勢必出現低水平重復，這樣既會增加學生的學業負擔，又收獲甚微. 其實，提高解題效率的關鍵不在于“量”，而在于“質”，要引導學生“學會做題”，從而達到“解一題、會一類”的效果. 為了提高解題品質，教師在例題講解時可以將類似的題目放在一起進行講授，這樣通過對比分析不僅可以給學生留下深刻的印象，還可以提高解題效率. 例如復習“函數的零點”時，筆者以專題的方式進行集中講授，以此讓學生對此類問題形成深刻的認識，完善認知體系.

例5 已知函數f（x）=－x2+8x，g（x）=6lnx+m. 是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有3個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由.

以上例題是筆者精心挑選的幾道典型習題，其題型和解法都具有一定的代表性. 這樣通過不同方式加以呈現，讓學生明白此類問題的特點：①所涉及的函數既可以是具體函數，又可以是分段函數，還可以是復合函數等；②審題時要注意對“存在零點”“有零點”“有幾個零點”等關鍵詞的理解；③常用的解題方法為數形結合、零點定理等，尤其在解決零點個數問題時一般需要畫圖觀察. 這樣通過一類問題的分析，幫助學生找到解決此類問題的常用方法.

巧設問題，引領復習

在二輪復習中，常常出現遠離課本的情況，因為部分教師認為，在一輪復習時已經對課本內容進行了重點講解，若二輪復習再以課本為依據，則難以調動學生學習的積極性. 為此他們更喜歡在各類復習資料中尋找新題、難題，以期通過變化的題目來開闊學生的知識面，達成鞏固一輪復習成果的目的. 但課本是復習的重要依據，若在復習時遠離課本勢必引起教學目標的偏移，影響教學的最終效果. 那么如何發揮課本價值，提高課本的吸引力呢？筆者認為，在實際教學中，教師應該認真地研究課本，通過創設問題串來彰顯課本的邏輯魅力，從而讓學生的思維在問題的驅動下走向深處. 例如復習“向量的三點共線”時，筆者充分挖掘課本資源，通過創設問題串引導學生進行有效復習.

例6完成證明后，筆者又引出了課本中的一道原題：

為了發揮例題的示范功能，發散學生的數學思維，在完成以上兩個例題的解答后，筆者對其進行了拓展延伸，通過變式進一步挖掘題目背后的價值.

在復習中，教師應從學生熟悉的課本內容出發，把層層遞進的問題串聯起來形成專題，幫助學生從整體上把握知識. 對于變式題，學生有既熟悉又新鮮、既觸手可及又深不可測的感覺，可以引導學生通過沉思，積極探尋解決問題的方法. 上述兩道教材例題讓學生獨立完成，兩道變式題引導學生合作完成，讓學生通過互動交流發現解決問題的突破口，順利解決問題. 當然，在探究中，教師要給予一定的指導，避免學生因走錯路而挫傷學習信心. 當學生完成變式題的求解后，教師還應引導學生對問題進行比較分析，將變式題中獲得的結論與原認知結構相融合，將知識、方法、經驗統一起來，形成新的認知結構.

在日常教學中，教師要認真研究教材，通過合理的整合和拓展來開闊學生的視野. 同時，為了誘發學生思考，教師要結合學情創設問題，從而讓學生在問題的驅動下學會思考和探索.

合理引導，落實“四能”

數學學習離不開解題，其關系著知識的鞏固、技能的提升、能力的培養和思維的發展. 在解題教學中，要打破傳統的“灌輸”模式，為學生提供一個可以展示思維能力的舞臺，教師可以創設一些啟發性問題用來提高學生的參與熱情，提高學生學習的主動性和積極性，使學生的思維能力和心理都能得到和諧發展.

例8 若實數a，b，c，d滿足（b+a2－3lna）2+（c－d+2）2=0，求（a－c）2+（b－d）2的最小值.

審題后學生感覺已知條件太少，字母太多，由此產生了畏難情緒. 此時教師要做的不是給學生解題過程，而是培養學生敢于直面問題的勇氣. 為了讓學生能夠自己找到解決問題的出路，教師可以創設引導性問題幫助學生厘清思路. 那么思路從何而來呢？筆者認為，應該從已知和結論的聯系上來. 基于此，筆者設計了如下問題進行引導：

（1）（a－c）2+（b－d）2有何特點？由此你聯想到了什么？

設計意圖 引導學生由數思形，聯想到（a，b）與（c，d）兩點間距離的平方.

（2）（b+a2－3lna）2+（c－d+2）2=0有何特點？

設計意圖 引導學生換元，從而將條件轉化為x2+y2=0的形式，得到x=y=0，即c－d+2=0，b+a2－3lna=0.

（3）c－d+2=0對于點（c，d）意味著什么呢？

設計意圖 引導學生聯想到點（c，d）在直線x－y+2=0上，同時聯想到點（a，b）在函數y=－x2+3lnx的圖象上.

（4）通過以上分析，本題的本質是什么？

設計意圖 通過以上問題的逐層分析，幫助學生認清本題的本質，即求曲線y=－x2+3lnx上的點到直線x－y+2=0的最短距離.

（5）若滿足以上條件，則此時曲線y=－x2+3lnx上的點應在什么位置？

設計意圖 引導學生借助經驗發現過該點的直線是y=－x2+3lnx的切線，且與直線x－y+2=0平行.

（6）該題與教材中的哪類問題類似？

設計意圖 引導學生回歸教材，通過聯想教材中相似的問題來尋求解決該題的突破口.

將復雜的問題拆分成若干個“起點低、梯度小”的小問題，讓學生通過小問題的解決逐漸發現問題的本質，找到正確解決問題的方法. 在實踐教學中容易發現，學生融會貫通的能力相對較差，因此教師在講解問題時不要急于求成，而應遵循循序漸進的規律，通過由淺入深的問題來降低思維的難度，讓學生分析和解決問題的能力在潛移默化中得以提升.

歸納小結，完善認知

在高三二輪復習中，大多數師生喜歡埋頭苦干——學生拼命做，教師賣力講，忽視了歸納小結的價值，使得學生做得苦，教師講得累，收獲卻甚微. 其實歸納小結既是重要的學習方法，又是學生應具備的學習習慣；既是一個整理思路的過程，又是一個吸收知識的過程，還是一個數學抽象的過程. 其有利于學生學習能力的提升，有利于學生核心素養的落實.

總之，在高三二輪復習中，教師既要精心挑選例題，又要合理設計問題，通過由淺入深的問題來啟發學生的思維、激發學生的潛能，讓學生的學習能力和思維能力在獨立思考和合作探究中穩步提升.