深挖條件 細悟思想

楊波

［摘? 要］ “數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，著名數學家華羅庚先生的這句話，常被教師用來提醒學生分析問題時要數形結合. 長久下來，學生確實會在很多情境中嘗試從數與形的角度分別去思考問題，優化問題解決過程.數學需要簡中求道，而數形結合恰恰做到了這點，但必要性有多強呢？文章用幾個例子做淺析.

［關鍵詞］ 數形結合；細化；優化；深化；深度思維

數形結合作為一種非常重要的數學思想，貫穿學生的整個學習生涯，尤其在高中，解析幾何的學習更是讓學生深刻體會到數與形結合起來的重要性與便捷性：從代數角度難理解的問題通過一張直觀的圖形可能就明顯簡化了；幾何上不太嚴謹的說法，通過代數的呈現方式可以讓其從“合情”演變為“合理”. 但是，反觀我們的教學過程，似乎很多時候都是偏重于數與形結合起來的結果，而忽視了為什么我們要將數形結合起來，按照我們平時在教學過程中所講的，“以形助數，以數解形”，這樣做的必要性有多強呢？筆者通過以下幾個問題做一些淺析（所有的例子都源于蘇教版教材）.

以數解形，細化分析

其實我們會在解析幾何的學習中感覺到，幾何方法的滲透往往可以簡化問題，所以很多學生就形成了固定套路，只要遇到這類問題，就一定要找到幾何方式簡化問題. 從初衷上講是不錯的，先從幾何的角度試探下，即使沒有完全解決問題，也能為后續代數解決提供思路，但這也有一定風險，比如思考問題的全面性.

當然，即使考慮到了上述兩種情況，如果從代數角度來看，是不是還存在別的情況呢？所以，我們要再次嘗試以下思考.

思考2從代數角度直接呈現了參數k與m之間的數量關系，通過代數恒等式求出定點坐標，運算量相對于三角形相似的幾何解法或許要多一些，但是我們發現，其結果呈現的全面性更加清晰，不容易出現丟根的情況. 其實原始圖形關于x軸的上下對稱性，也可以幫助我們分析出直線l經過的定點一定在x軸上.

以形助數，優化思考

解析幾何中的軌跡問題經常困擾著學生，因為很多時候我們需要以這樣的軌跡作為接下來解決問題的基礎，但是找尋軌跡又不是簡單的事情. 一般情況下，軌跡的發現就是兩個渠道：代數角度，找到軌跡上任意一點坐標滿足的等量關系，即用“方程”確定“曲線”；幾何角度，通過定義等幾何方式確定軌跡的形狀，進而用“曲線”確定“方程”，再解決相關問題.

這兩種思考一比較，就能發現代數的切入口更加符合解析幾何中用代數法解決幾何問題的思路，而幾何法的引入，很明顯在一定程度上減少了運算量，同時也能深入思考問題，讓數學思想滲透得更為廣泛，再次體現“數”與“形”結合的必要性.

數形結合，深化應用

問題來了，為什么要用這樣一個定義方式來呈現函數的單調性，而不是看函數圖象上升或下降呢？回答這個問題的一種比較經典的方式就是舉一些圖象變化趨勢不明顯或圖象不太容易得到的函數. 例如函數f（x）=0.000001x或f（x）=x+，尤其是函數f（x）=0.000001x，通過數學軟件畫出其圖象（不給解析式），學生就不太能明確其圖象是上升的還是下降的，更多會認為這是一條水平線. 通過這樣的“陷阱”設置，可以讓學生明白代數式定義的必要性. 這樣的認知過程同樣適用于后續的奇偶性和對稱性的代數式定義.

上述概念的代數化過程讓我們感覺到了“以數解形”的必要性，反過來看看這個問題：

已知函數f（x）=（3－a）x－3，x≤7，ax-6，x>7在（－∞，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍.

分析 這是一個分段函數，如果只是按照單調遞增的代數式定義去分析這個問題就有點不合適了.

從上述兩個問題可以看出，“以形助數”的必要性不言而喻，這也是單調性定義應用過程中體現出來的，所以需要教師去挖掘這樣的資源，通過這樣的資源整合讓學生真正理解到“數”與“形”結合起來的必要性，它的作用不僅僅是做對一道題，而是滲透數學思想方法.

通過上述幾個問題的梳理，可以明確的是，“數”與“形”的結合不是“偶然”的過程，而是根據題設條件與待求結論來解決問題的“必然”過程. 所以，在平時教學中，教師的確要摒棄數形結合的結論性小結，充分引導學生挖掘題目條件，分析解決方案，尤其在類似的問題中，探析用“數”解決問題的難點、切口在哪里，用“形”分析問題起到的輔助作用是什么. 數形結合不是僅為了追求簡化，而是真正結合數與形，多問幾個“為什么”. 這樣解決問題，才能讓學生體會數學思想的深遠性與延展性，引領學生思維朝著更遠大的方向發展.