導熱方程反問題在醫學紅外熱像診斷中的應用

龐 娜，柯 玲，亢 婷

（寧夏大學新華學院，寧夏回族自治區 銀川 750000）

對于熱傳導方程反問題，可以利用已知的溫度分布，逆推出物體內部的導熱系數、內部熱源強度等未知量。而對于熱傳導正問題，則是已知物體內部的某些未知量，求解其相應的溫度分布。這兩個問題都是非常重要且實用的領域，在材料科學、機械工程、地質勘探等領域都有廣泛應用。在熱傳導反問題中，需要使用數值方法來求解，例如有限元法、有限差分法和反演方法等。這些方法可以根據已知的溫度數據來逆推出未知參數，并且可以用于工業生產中的非接觸式測量技術。可見，熱傳導反問題是一個復雜的跨學科領域，它在許多領域具有廣泛的應用，例如材料科學、能源系統和環境保護等。在實際應用中，物體的特性和邊界條件通常是未知的，人們無法測量或者很難測量，只能以外界測量到的某些溫度信息為基礎，借助一些反演分析法進行辨識從而解決問題。

工業設備的故障診斷對于生產至關重要，因為設備出現故障會導致生產線停滯，影響企業的正常運營。紅外熱診斷學是一門新興的設備故障診斷科學，它結合了現代紅外檢測技術、計算機科學和傳熱反問題研究等多個領域的知識。通過使用紅外相機等設備采集被測物體表面的熱像圖像數據，并利用計算機處理這些數據，可以實現對工業設備內部故障的準確診斷。未來，紅外熱診斷技術將不斷完善和發展，并廣泛應用于各個領域，為研究者提供更加準確、高效、可靠的設備故障診斷服務。文章旨在探究導熱方程反問題在醫學紅外熱像診斷中的應用。

1 紅外熱診斷學的理論基礎

在本研究模型中，考慮了熱傳導方程、邊界條件和初始條件等多個因素，并利用數值方法對其進行求解。通過這些分析，可以更好地理解非穩態導熱過程，并為相關工程問題提供參考。通過結合紅外熱診斷由表及里的診斷功能，能夠更好地進行問題求解，其可被簡要概括為兩個方面。

1.1 表面溫度場的輻射理論

任何物體都會產生熱輻射，這是因為它們具有一定的溫度。熱輻射是指物體將能量以電磁波的形式傳遞出去。其中，紅外部分的波長在0.76～1.00 mm 之間，因此也被稱為紅外輻射。這種輻射在日常生活中非常常見，例如太陽光、地球表面和人體等都會發出紅外線。維恩定律明確顯示，物體紅外輻射的峰值波長λm與其自身的絕對溫度T有關。

式中，C為常量（2 8988μmK）。利用紅外光譜分析技術可以對這種變化進行監測和分析，從而得知設備內部是否存在缺陷。在實際應用中，可以使用紅外相機等設備對工業設備進行拍攝，然后通過對圖像中不同區域的紅外輻射強度進行比較和分析，來確定是否存在異常情況。同時，還可以通過對光譜位置的分析來進一步確定異常情況所在的具體位置和性質。可見，在工業生產過程中，利用維恩定律和紅外光譜分析技術可以有效檢測和診斷設備缺陷問題，提高生產效率和產品質量。

1.2 表面溫度場采集的理論基礎

被測物體表面接受的紅外輻射功率可用紅外熱輻射理論的下式表示：

式中：dA為瞬時視場被掃描物體表面面積，)Mbλ為普朗克輻射函數，ε(λ)為光譜發射率，λ1,λ2為輻射波長范圍。黑體輻射函數表顯示，當物體被視為灰體時ε(λ)為一常數，此時F(λT)表示為：

σ為斯蒂芬——玻爾茲曼常數。上式表明，利用熱像儀可以對各種設備和材料進行非接觸式檢測和分析，例如在建筑、電力、制造等領域中應用廣泛。通過對設備表面溫度進行監測，可以及早發現潛在問題并采取相應措施，從而提高設備運行效率和安全性。

2 正問題數學模型

在滿足條件的前提下，將一塊導熱平板近似看作一塊無限大平板是一個有效簡化模型，在這種情況下，平板的邊緣效應可以忽略不計，因此只需考慮平板中心區域內的導熱特性即可。在實際應用中，這種簡化方法被廣泛應用于許多領域，比如建筑物、電子設備、汽車等。通過將三維問題轉化為一維問題，可以更加準確地預測和控制物體內部溫度分布。需要注意的是，在使用這種簡化方法時，需要保證平板長度和寬度確實遠遠大于其厚度，否則可能會影響計算結果的準確性。

考慮非線性瞬態熱傳導問題，其控制方程表示為：

上式中，x i是在空間坐標系下x∈Ω的第i 個分量，?為與溫度相關的導熱系數。?為溫度，?為時間ρ為密度，c為比熱。

初始條件為：

式中0T為已知函數。邊界條件為：

式中：Γ1∪Γ2=Γ,Γ1∩Γ2=? ,Γ=?Ω。(x,t)和(x,t)分別表示已知的邊界溫度和熱流。

3 反問題模型及其數值求解方案

導熱反問題與導熱正問題是熱傳導領域中的兩個重要問題。導熱正問題是指已知物體內部的熱源分布和邊界條件，求解物體內部的溫度場分布；而導熱反問題則是指已知物體表面的溫度場分布和邊界條件，求解物體內部的熱源分布，在此定義下，導熱反問題的求解難度要遠大于導熱正問題。而在工業生產過程中，溫度的監測和控制是非常重要的。而針對某些情況下無法直接測量內部溫度的問題，可以采用紅外測溫技術。通過在外邊界進行紅外測溫，可以得到隨時間變化的溫度值數據。而根據這些數據，可以反推出內部邊界隨時間變化的未知溫度分布情況，其邊界條件為：

紅外測溫溫度條件：

對流換熱條件：

而內邊界條件TA(t)待求，為未知邊界。

在處理非齊次邊界條件下的熱傳導反問題時，由于其復雜性使得很難通過解析方法獲得精確的結果。因此需要采用數值計算方法進行求解。文獻[4] 、文獻[5] 提出了反問題差分求解方法，通過與文章中正問題數值求解相結合，可以給出反問題數值求解的差分格式。這種方法不僅能夠有效處理非齊次邊界條件下的熱傳導反問題，并且還能夠保證結果的精確性。通過對各節點溫度位置進行重排，在計算過程中可以采用向后差分格式來同步地求解內壁的溫度條件，并且保證計算結果的穩定性。這一結論對于實際問題的解決具有重要價值，可以為相關領域的研究和應用提供有力支持。實驗結果表示，該模型可以有效應用于復雜非齊次邊界條件下的熱傳導反問題數值求解，并取得良好結果。

4 一維瞬態導熱反問題差分方程的求解過程

（1）首先，熱設備的外壁溫度是非常重要的參數，它能夠反映出設備內部工作狀態的穩定性和安全性。而這個溫度值可以通過紅外熱像儀進行測定，從而得到各個時刻外邊界節點上的溫度值(t)。使用紅外熱像儀進行測定，不僅能夠提高測量精度，還能夠節省人力和時間成本；

（2）醫學紅外熱成像技術在臨床醫學中得到了廣泛應用。根據已建立的外節點的溫度條件及對流換熱條件的向后差分公式，可以推出緊鄰外壁的節點（B-1）節點的溫度(t)所滿足的遞推公式為：

其中，T表示溫度，n表示時間步長，該遞推公式可以用于計算緊鄰外壁的節點（B-1）節點在不同時間點上的溫度變化情況。這對于醫學紅外熱成像技術在診斷中起到了重要作用。

（3）由此可求出任意n時刻（B-1）節點的溫度(t)；以此類推，得到任意時刻N內壁節點溫度分布，并將其用對角矩陣表示：

由此可以得到醫學紅外熱成像在內壁（x=0處）的任一時刻的溫度分布規律。

5 結論

近年來，隨著科技的不斷發展，熱傳導領域的研究也越來越受到人們的關注。在這個背景下，文章成功建立了一維瞬態熱傳導反問題模型，該模型適用于無限大導熱平板。其主要結論如下：首先，發現該模型能夠準確地描述導熱平板內部溫度分布的變化規律。其次，在求解過程中，采用了一種高效且精確的算法，使得計算結果更加可靠和準確。最后，在實際應用中，當平板沿方向線度較大時，誤差將會被傳遞到內部，并且隨著傳遞距離的增加而不斷增加。這將導致內部溫度值的誤差也不斷增加，這可以為工程師們提供重要參考信息，從而優化設計方案、提高工作效率。