學(xué)生自我探究的一個(gè)案例

張曉東 王志和

【摘要】

學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題并進(jìn)行自我探究，終于使問(wèn)題得以解決.教師及時(shí)給予肯定和贊賞，從而引起多位同學(xué)的探究熱情，并得到統(tǒng)一的簡(jiǎn)潔解決方法.整個(gè)案例實(shí)施過(guò)程中，教師不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行總結(jié)和演講，使得學(xué)生群情激昂、思維專(zhuān)注，從而得到兩點(diǎn)啟示.

【關(guān)鍵詞】提出問(wèn)題；解法探究；簡(jiǎn)潔證明

1? 探究起源

高三復(fù)習(xí)到解析幾何綜合題的時(shí)候，一天兩位學(xué)生找到筆者，說(shuō)他們有一個(gè)驚奇的發(fā)現(xiàn)，接著拿出一道例題和一道作業(yè)題，即引例1和引例2.

圖1

引例1? 過(guò)橢圓x24+y23=1上一點(diǎn)P（1，32）作兩條直線

與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求證直線AB的斜率是定值.

答案：直線AB的斜率是定值12.解法略.

圖2

引例2? 過(guò)拋物線y2=x上一點(diǎn)P（1，1）作兩條直線與

拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求證直線AB的斜率是定值.

答案：直線AB的斜率是定值-12.解法略.

兩位同學(xué)說(shuō)：“我們證明了，對(duì)于雙曲線，也有這樣題

目.”他們拿出本子，把雙曲線的題目和作法給我看，兩位

學(xué)生很激動(dòng).出于鼓勵(lì)他們好好學(xué)習(xí)的想法，我也表現(xiàn)出

激動(dòng)的神情，并在第二天上課時(shí)表?yè)P(yáng)了這兩位同學(xué)善于總

結(jié)、努力鉆研的精神.

這天晚上自修課，這兩位同學(xué)又到辦公室找到我，說(shuō)

他們又有新的發(fā)現(xiàn)：在如上述引例中橢圓、雙曲線、拋物線的

題目中，過(guò)點(diǎn)P的曲線切線的斜率與直線

AB的斜率之和也是0，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的曲線

切線的斜率容易求出，就可以預(yù)知直線AB的斜率.

我顯示出格外的新奇，我跟兩位同學(xué)說(shuō)，我還沒(méi)想過(guò)有

這樣的結(jié)論，你們太了不起了！但這只是一種猜測(cè)，能否有

一般的結(jié)論，還要證明.這件事老師就委托你們完成，如果

有好的成果，我們?cè)诮淌铱块T(mén)口的展示窗上展出.

2? 探究過(guò)程

第二天，兩位學(xué)生得到定理1及其證明.

定理1? A，B，C，D是拋物線y2=2px（p>0）上橫坐標(biāo)互不相同的四點(diǎn)，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0中有一個(gè)等式成立，則另兩個(gè)等式也成立（其中kAB表示直線AB的斜率，其余的表示意義相同）.

證明? 不妨設(shè)kAB+kCD=0且直線AB與直線CD交于點(diǎn)P，并設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由已知和拋物線特征，可知四邊形ABCD各邊及對(duì)角線所在直線的斜率都存在且都不為0，可設(shè)直線AB方程是x-x0=m（y-y0），與拋物線方程y2=2px聯(lián)立，得y2-2mpy+2mpy0-2px0=0，

則y1+y2=2mp.

因?yàn)閗AB+kCD=0，可設(shè)直線CD方程為x-x0=-m（y-y0），

同樣可得到y(tǒng)3+y4=-2mp.

因而得y1+y2=-（y3+y4），此式可變?yōu)閥1+y3=-（y2+y4），也可以變?yōu)?/p>

y1+y4=-（y2+y3）.

kAC=y3-y1x3-x1=y3-y1y232p-y212p，即kAC=2py1+y3，同理kBD=2py2+y4，所以得到

kAC+kBD=0；同樣，kAD+kBC=0.

當(dāng)點(diǎn)A，D，P重合時(shí)（如圖3），便是引例2的猜測(cè)情況.

圖3

但類(lèi)似于橢圓和雙曲線的結(jié)論，兩位同學(xué)卻陷入僵局，用兩個(gè)晚自修時(shí)間抽空演算，也沒(méi)有實(shí)現(xiàn)突破.但巧合的是，第三天拓展內(nèi)容，筆者給學(xué)生介紹了下面的結(jié)論1，主要是為學(xué)生對(duì)解析幾何問(wèn)題減少計(jì)算量提供一個(gè)途徑，而且近幾年的高考題和各地模擬題解答中可以多次用到這個(gè)結(jié)論［2］，沒(méi)想到竟意外的為他們成功解決問(wèn)題提供了助推器.

結(jié)論1? 設(shè)A（acosθ1，bsinθ1），B（acosθ2，bsinθ2）是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的不同兩點(diǎn)，ti=tanθi2（i=1，2），當(dāng)A，B都不是左頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)A，B的直線方程是

b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2）.

當(dāng)a=b時(shí)橢圓變成圓，結(jié)論也成立；b>a>0時(shí)這個(gè)結(jié)論亦成立.

經(jīng)過(guò)兩個(gè)同學(xué)思維碰撞，他們終于茅塞頓開(kāi)，他們得到定理2及其證明.

定理2? 已知橢圓：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上有橫坐標(biāo)互不相同的四點(diǎn)A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0這三個(gè)等式中有一個(gè)等式成立，則另兩個(gè)等式也成立.

圖4

證明不妨設(shè)kAB+kCD=0.當(dāng)A，B，C，D中有一個(gè)點(diǎn)是左頂點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)B是左頂點(diǎn)，可知四邊形ABCD是等腰梯形，此時(shí)命題成立.以下設(shè)A，B，C，D中沒(méi)有點(diǎn)是左頂點(diǎn).設(shè)A（acos θ1，bsin θ1），B（acos θ2，bsin θ2），C（acos θ3，bsin θ3），

D（acos θ4，bsin θ4），ti=tan θi2（i=1，2，3，4），則

直線AB方程是b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2），

直線CD方程是b（1-t3t4）x+a（t3+t4）y=ab（1+t3t4），

所以，kAB=-ba·1-t1t2t1+t2，kCD=-ba·1-t3t4t3+t4，

因?yàn)閗AB+kCD=0，即1-t1t2t1+t2+1-t3t4t3+t4=0.①

整理得，（t1+t2+t3+t4）-（t1t2t3+t1t2t4+t1t3t4+t2t3t4）=0.②

可以看出，②式是關(guān)于t1，t2，t3，t4的輪換對(duì)稱式.

在t1，t2，t3，t4中任取不同的兩個(gè)數(shù)，可得形如1-t1t2t1+t2的式子共有C24=6個(gè)，兩兩配對(duì)，即可得形如①式的等式有三個(gè)，亦即②式除能變形為①式外，還有如下兩種變形：

1-t1t3t1+t3+1-t2t4t2+t4=0以及1-t1t4t1+t4+1-t2t3t2+t3=0.

于是由kAB+kCD=0可得kAC+kBD=0以及kAD+kBC=0.

于是定理2得證.

為了證明雙曲線的類(lèi)似結(jié)論，他們證明了如下結(jié)論2.

結(jié)論2? 設(shè)A（asecθ1，btanθ1），B（asecθ2，btanθ2）是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上的不同兩點(diǎn)，ti=tan θi2（i=1，2），當(dāng)A，B都不是左頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)A，B的直線方程是

b（1+t1t2）x-a（t1+t2）y=ab（1-t1t2）.

證明方法見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.

由此得定理3.

定理3? 已知雙曲線：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有橫坐標(biāo)互不相同的四點(diǎn)A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0這三個(gè)等式中，有一個(gè)成立，則另兩個(gè)也成立.

證明方法與定理2一樣，此處略.

筆者把這兩位同學(xué)的研究結(jié)果張貼在展覽窗，并給予贊賞.兩位同學(xué)得到了其他同學(xué)的熱烈掌聲，因而讓他們信受鼓舞.這件事對(duì)他們兩人來(lái)說(shuō)，可能會(huì)銘記終身，也可能對(duì)他們學(xué)業(yè)發(fā)展起到推波助瀾的作用.

三個(gè)定理的統(tǒng)一簡(jiǎn)潔證明

第二天上數(shù)學(xué)課，在講桌的醒目處放著一頁(yè)紙，赫然寫(xiě)著：《三個(gè)定理的統(tǒng)一簡(jiǎn)潔證明——曲線系方法的運(yùn)用》.這是一位被稱為數(shù)學(xué)“學(xué)霸”的同學(xué)的杰作.

原來(lái)昨天晚上在展覽窗展出的文稿，引起了幾位同學(xué)的興趣，他們仔細(xì)閱讀品位，感覺(jué)證明太費(fèi)周折，于是他們開(kāi)始思考問(wèn)題能否有更好的解決方案，最后由一位同學(xué)用建立曲線系的方法，給出了三個(gè)定理的統(tǒng)一證明，以下先以橢圓情形為例.

證明? 設(shè)直線AB：y=kABx+b1，直線CD：y=kCDx+b2，直線AC：y=kACx+b3，直線BD：y=kBDx+b4.現(xiàn)在我們?cè)谝阎猭AB+kCD=0的情況下，來(lái)證明：kAC+kBD=0及kAD+kBC=0.

分別把兩直線AB，CD及兩直線AC，BD看成是二次曲線，橢圓經(jīng)過(guò)以上兩條曲線的交點(diǎn)，可設(shè)：

（y-kABx-b1）（y-kCDx-b2）+λ（y-kACx-b3）（y-kBDx-b4）=μ（x2a2+y2b2-1），

比較y2項(xiàng)系數(shù)得1+λ=μb2.

比較xy項(xiàng)系數(shù)，得-kAB-kCD+λ（-kAC-kBD）=0，

即-（kAB+kCD）=λ（kAC+kBD）.③

若λ=0，由1+λ=μb2得μ=b2，由曲線系的構(gòu)成，可知此時(shí)橢圓可以表示為兩條直線AB，CD，不可能，于是λ≠0.這樣，由③式可知：若kAB+kCD=0，則kAC+kBD=0.

若分別把兩直線AB，CD及兩直線AD，BC看成是二次曲線，橢圓經(jīng)過(guò)這兩條曲線的交點(diǎn)，用建立曲線系的方法，同樣可得若kAB+kCD=0，則kAC+kBD=0.

綜上可知命題成立.

用一模一樣的方法，可證定理1和定理3.

教師感嘆：原來(lái)千回百轉(zhuǎn)的證明，經(jīng)這樣寥寥幾筆就大功告成，真是神來(lái)之筆！妙！妙！著名數(shù)學(xué)家美籍華人張益唐先生推進(jìn)了孿生素?cái)?shù)猜想，把“無(wú)限”變到了“7000萬(wàn)”，而陶哲軒等數(shù)學(xué)家進(jìn)一步推進(jìn)，已經(jīng)把7000萬(wàn)變成了246.數(shù)學(xué)需要猜想，需要?jiǎng)?chuàng)造，更需要簡(jiǎn)化和再創(chuàng)造，以讓更多人閱讀和理解.更期待同學(xué)們以后在數(shù)學(xué)上、在科學(xué)上有成就，有創(chuàng)造，為祖國(guó)的建設(shè)和發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn).

同學(xué)們神采奕奕，意氣風(fēng)發(fā)，有的同學(xué)甚至把拳頭握緊并往下一揮，以表示加油的意思.3? 兩點(diǎn)啟示

第一，把握學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)意的機(jī)會(huì)，及時(shí)鼓勵(lì)、激勵(lì)、誘導(dǎo)，讓創(chuàng)新的種子深植于學(xué)生的心靈深處，形成質(zhì)疑、解惑、反思、總結(jié)的好習(xí)慣，為以后學(xué)業(yè)發(fā)展提供動(dòng)力源泉.習(xí)慣成自然，不失時(shí)機(jī)的扶植學(xué)生創(chuàng)新的火花，學(xué)生形成樂(lè)于思考、不斷進(jìn)取的思維品格，將受益終身.

第二，帶著問(wèn)題聽(tīng)課，帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)可能是解決問(wèn)題的很好機(jī)會(huì).筆者提供的結(jié)論1目的是當(dāng)直線點(diǎn)斜式方程使用難以為繼的時(shí)候，可以用橢圓上兩點(diǎn)確定的直線的雙參數(shù)方程，而且這種雙參數(shù)方程在解答問(wèn)題中很好用［2］，目的是為學(xué)有余地的同學(xué)登高望遠(yuǎn).其他同學(xué)可能是就事論事，想著如何在解題中運(yùn)用這個(gè)結(jié)論，而我們的兩位同學(xué)是在尋機(jī)解決他們提出的猜想，一些蛛絲馬跡都可能引爆他們思維的火花，筆者無(wú)意中提供的工具，成為他們思維導(dǎo)火索的燃點(diǎn)，靈感驚現(xiàn).言者無(wú)意，聽(tīng)者有心.“折磨”他們兩天的猜想終于得到解決，他們激動(dòng)的心情是任何詞語(yǔ)都難以形容的.這也許是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種經(jīng)歷：帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，帶著問(wèn)題思考，尋芳采獵，艱苦跋涉，不經(jīng)意間可能有意想不到的收獲.

經(jīng)查證，文獻(xiàn)［1］中最后的命題15、命題16就是這里的定理2、定理3，文［1］未寫(xiě)出證明過(guò)程.這里由學(xué)生自行猜測(cè)出結(jié)論，引起多個(gè)同學(xué)的探究熱情，學(xué)生自發(fā)地拓展了知識(shí)視野（如曲線系的方法等），并給出簡(jiǎn)單證明，甚是難得.教師的鼓勵(lì)和趁機(jī)的激情演講，為學(xué)生蕩舟學(xué)海起到了推波助瀾的作用.

參考文獻(xiàn)

［1］? 楊蒼洲.圓錐曲線的一組優(yōu)美定值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（12）：32-34.

［2］? 王妍雯，王志和.三角換元辟蹊徑，直線方程換新裝［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（01）：49-52.

作者簡(jiǎn)介張曉東（1983—），男，中學(xué)高級(jí)教師，碩士;區(qū)名教師，區(qū)學(xué)科中心組成員；在市區(qū)級(jí)教學(xué)比賽、論文比賽中多次獲獎(jiǎng);研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)表論文數(shù)篇.

王志和（1962—），男，上海市特教師，正高級(jí)教師，上海市園丁獎(jiǎng)獲得者；主要研究高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和數(shù)學(xué)文化，輔導(dǎo)的學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽多人次獲獎(jiǎng)，發(fā)表文章130余篇.