數學建模:理論與實踐

王嬌 張燦

基金項目：2022年度安徽省蕪湖市教學研究重點課題“雙減背景下促進核心素養發展的數學實驗教學實踐與研究”（項目編號：2022JK062）.

摘? 要：在初中數學中，綜合與實踐課常以數學廣角、數學活動或數學習題的方式編寫，本節課以全等三角形的證明方法為理論，通過數學實驗的方式，引導學生通過操作與實踐，從“坐中學”轉變為“做中學”，從“聽數學”轉變為“主動探究”.文章以“手拉手模型之全等三角形”的教學設計為例，闡述了如何動手“做”數學.

關鍵詞：數學實驗；動手操作；“做”數學；數學建模

史寧中教授在《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》中提出，義務教育數學課程改革面臨的問題是“綜合與實踐”領域的教學沒有得到有效落實.針對此問題，筆者嘗試從書本習題出發，將三角形全等的理論知識與學生動手實踐相結合，培養學生理論與實踐相結合，建立數學模型思想.

在實踐活動中，數學實驗是目前在教學中比較行之有效的教學形式，通過引導學生動手動腦“做”數學來達到教學目標的實現.課堂上用模型、測量、計算機軟件，激發學生的學習熱情，幫助學生從以往的教學中的“聽數學”“當觀眾”轉變為“主動探究”“當演員”，變“機械學習”為“自己研究”.學生在實驗過程中，發揮內驅力，形成了良好的數學思維，尤其是在這一過程中，教師與學生之間的互動，使學生了解數學知識、數學體系的建構過程，對所學的知識產生興趣，打破初中數學學習刻板的印象.

1? 復習舊知，引入新課

教師幫助學生構建全等三角形知識框圖，探討從哪些角度證明兩個三角形全等.并給出課本習題，學生練習，引出本節課實踐內容.

【設計說明】對于學生來說，全等三角形是學生剛剛學過的知識，并不陌生，通過回顧舊知的方式幫助學生為全等三角形知識的應用鋪設臺階.

2? 實驗探究，驗證結論

2.1? 等邊三角形中的手拉手問題

實驗1：

（1）請拿起手邊的兩個等邊三角形，分清三角形的左底角與右底角和頂點，將兩個三角形的頂點重合；

（2）將一個三角形繞頂點旋轉不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個三角形的左底角連接，右底角連接，并標注字母；

（4）用量角器測量由頂點和兩左底角（或兩右底角）構成三角形的內角.

（電腦演示：三角形旋轉后，測得頂點和兩左底角（或兩右底角）構成三角形的內角以及邊長）

問題1

（1）根據測量結果，你發現這兩個三角形有什么關系？

（2）當一個三角形旋轉到任意位置，兩個三角形全等是否仍然成立？你能應用全等三角形的知識證明它嗎？

【設計說明】讓學生實際操作，感受三角形的旋轉過程，記錄相對應的位置.通過學生測量、教師利用幾何畫板演示測量角度和線段長度，引導學生猜想兩個三角形的關系，并從理論上對兩個三角形的全等加以證明，從中體會變化中存在的不變關系.

小結：當兩個等邊三角形的頂點重合時，運動其中一個三角形，連接線段，所得的△ABE和△CBD形狀發生變化，但兩個三角形的全等關系不變，說明運動圖形中存在不變性.

實驗2

（1）請拿起兩個任意形狀的三角形，確定好兩三角形的頂角和底角，將兩個三角形的頂角重合；

（2）將一個三角形繞頂點旋轉不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個三角形的左底角連接，右底角連接，并標注字母；

（4）用量角器測量由頂點和兩左底角（或兩右底角）構成三角形的內角.

（電腦演示：三角形旋轉后，兩三角形形狀）

問題2

（1）從記錄的數據看，實驗1得出的兩個三角形還全等嗎？為什么？

（2）這說明兩圖形運動的不變性是有條件的，要想實現兩個三角形的全等，對這兩個三角形的性狀有什么要求？

【設計說明】學生動手操作，連線、度量、猜想，得出要想保證兩個三角形全等這條性質，兩個三角形的形狀是有要求的，體會變化中存在的不變關系需要滿足的條件.

2.2? 等腰三角形中的手拉手問題

實驗3

（1）請拿起手邊的兩個等腰三角形，確定好兩三角形的頂角和底角，將兩個三角形的頂角重合；

（2）將一個三角形繞頂點旋轉不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個三角形的左底角連接，右底角連接，并標注字母；

（4）用量角器測量由頂點和兩左底角（或兩右底角）構成三角形的內角.

（電腦演示：三角形旋轉后，兩三角形形狀）

問題3? 實驗3得出的兩個三角形全等嗎？如何證明？若將等腰三角形換成等腰直角三角形還成立嗎？

【設計說明】將兩個等邊三角形換成等腰三角形，學生通過操作、猜想、證明，感受到通過旋轉兩個等邊三角形得出的結論，可推廣到旋轉一般的等腰三角形.

3? 抽象概念，生成知識

3.1? 形成概念

問題4? 這種運動圖形中存在的不變性，針對的兩個三角形需要滿足什么特征？得出的是什么結論？

特征：等腰三角形（或等邊三角形、等腰直角三角形、正方形）共頂點，等頂角.

結論：存在兩三角形全等.

如果我們形象地把一個等腰三角形的頂點看作“頭”，左底角看成“左手”，右底角看成“右手”，那么可描述成“頭對頭，左手拉左手，右手拉右手”，那么這種能得到全等的圖形的模型就叫做“手拉手模型”.

【設計說明】讓學生經歷觀察、動手操作等一系列活動，提高學生合情推理和演繹推理的能力，讓學生用自己的語言概括出“手拉手模型”的概念.

3.2? 概念辨析

練習1? 如圖1，已知AC=AD，AB⊥BC，∠BAE=12∠CAD，利用“手拉手模型”構造全等三角形.

圖1

【設計說明】通過讓學生構建左手拉左手，右手拉右手，更好地理解全等三角形的作法.

練習2? 如圖2，將兩等邊三角形旋轉至A，B，D在一條直線的位置關系，你能得出哪幾組三角形全等？

圖2

追問? 若連接FG，你還能得出什么結論？連接HB呢？

FG∥BD，∠CHF=60°，HB平分∠FHG.

【設計說明】通過實驗操作，讓學生明白當關注更多的點，就可以得出除上述實驗得到的全等三角形外其他兩組全等三角形，為接下來“手拉手模型”知識的拓展做好鋪墊工作.

3.3? 知識延伸

^^（2023·安師大附外城東校區初二月考第10題）&&如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，點E是BC上一點，過點E作∠AEB=∠AED，連接AD，使∠ADE=∠ACB，連接CD，則下列結論中不正確的是（? ）.

圖3

A. AD=AC

B. DE=CE+2BE

C. ∠DAC=∠BAE

D. ∠CDE=∠CAE

解析：如圖4，延長EB至點M，使得BM=BE，連接AM.

在△AMB和△AEB中，

圖4

BM=BE，

∠ABM=∠ABC=90°，

AB=AB，

∴△AMB≌△AEB（SAS），

∴AM=AE，

∠AMB=∠AEB.

∵∠AEB=∠AED，

∴∠AMB=∠AED，

在△AMC和△AED中，

∠ACB=∠ADE，

∠AMB=∠AED，

AM=AE，

∴△AMC≌△AED（AAS），

∴AD=AC，DE=MC=EC+2BE，∠MAC=∠EAD，

∴∠MAC-∠CAE=∠EAD-∠CAE，即∠MAE=∠CAD，∴∠AED=∠AEB=∠ACD，

∴∠CDE=∠CAE.

∴選項A，B，D均正確.故選C.

【設計說明】通過這個問題，讓學生明白在遇到問題時，可以嘗試從尋找兩個等腰三角形的角度來構建“手拉手模型”，進一步體會“變”與“不變”的數學思想.

4? 歸納總結，深度思考

問題5

（1）如何判別圖形是“手拉手模型”？

（2）由“手拉手模型”可以得出哪兩個三角形全等？

（3）圖形在旋轉過程中得出的三角形全等用到了什么數學思想？

（4）通過今天的學習，你積累了哪些學習經驗？

（5）你還有哪些疑惑？

【設計說明】通過提出一系列問題，進行有針對性的小結，幫助學生回顧本節課的學習過程，構建本節課的知識框架，提煉本節課的重難點，從而更好地內化本節課內容.

5? 教學反思

本節課是義務教育教科書人教版八年級上冊“全等三角形”應用的內容，之前已經學習了三角形全等的判定以及角平分線的性質，因此，本節課作為全等三角形的應用，有鞏固相關知識的目的.筆者根據學生喜歡動手的特征，選擇不同的三角形紙片，讓學生在課堂中動手操作，得出圖形，再對自己畫的圖形觀察、度量、猜想、證明，體會“手拉手模型”得出的兩個三角形的由來.在數學課堂中，教師尊重學生的主體地位，從學生已有的認知發展水平、數學知識及數學思維能力出發，引導學生對圖形作創造性的構建，體會圖形中存在的不變性.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“教學活動應注重啟發式，激發學生的學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問題，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題.”學生在學習新知的過程中，經歷了動手操作、觀察歸納，從兩個具體的三角形中找出全等三角形，歸納兩個三角形全等時滿足的條件，建立數學模型思想.

參考文獻

［1］ 陳超.數學實驗在初中數學教學中的運用研究［J］.理科愛好者，2022（3）：44-46

［2］ 董林偉.數學實驗：促進初中生數學學習的一種有效方式［J］.中國數學教育，2012（5）：2-5

［3］ 林群.義務教育教科書（人教版）數學八年級上冊［M］.北京：人民教育出版社.

［4］ 史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.